精品解析：湖南衡阳市衡山县2025-2026学年上学期期末质量监测八年级数学试卷

2025年下学期期末质量监测 八年级数学 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，准确分析判断是解题的关键． 无理数是无限不循环小数，据此逐数判断即可． 【详解】解：是无限不循环小数， 是无理数， （整数），（分数），（分数），均为有理数． 故选：． 2. “3的算术平方根”用符号表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的表示，解题的关键是掌握算术平方根的定义． 算术平方根是指非负数的非负平方根，因此3的算术平方根是正平方根． 【详解】解：∵ 算术平方根定义为非负平方根， ∴ 3的算术平方根为， 故选：B． 3. 下列各运算中，结果等于的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出四个选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 4. 已知等腰三角形两边长分别是和，则该三角形的周长是（ ） A. 9cm B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，解题关键是分类讨论并验证三边是否构成三角形． 根据等腰三角形的性质和三角形三边关系，分类讨论两种情况：当腰为时，三边为、、，不满足两边之和大于第三边；当腰为时，三边为、、，满足条件，即可求解周长． 【详解】解：∵等腰三角形两边长分别为和， ∴可能情况： ①腰为，底为，则三边为、、， ∵，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）， ∴此情况不成立； ②腰为，底为，则三边为、、， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为， 故该三角形的周长是， 故选：C． 5. 下列多项式乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式适用于形式为的乘法运算，即两个二项式中一项相同，另一项互为相反数．检查各选项是否符合此条件． 【详解】∵ 平方差公式要求 ． A：，不符合平方差形式； B：，符合平方差公式； C：，符合平方差公式； D：令 ，则 ，符合平方差公式． ∴ 不能用平方差公式计算的是A 故选A． 6. 已知整式，整式．若是完全平方式，则a的值（） A. B. 1 C. 1或 D. 或7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键． 先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得值即可； 【详解】解： ， 为完全平方式 ， 或； 故选C． 7. 对于任意整数n，多项式都能被（ ）整除 A. 被6整除 B. 被7整除 C. 被8整除 D. 被9整除 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式分解因式，数的整除，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用平方差公式分解因式，化简后即可判断． 【详解】解：=， ，， ∴原式． ∵为整数， ∴为整数， ∴原式能被9整除． 故选：D． 8. 平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A. 7尺 B. 尺 C. 8尺 D. 尺 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 设水池的深度为尺，利用勾股定理，列出关于的方程求解． 【详解】解：设水池的深度为尺， 则， 解得：， 故选：B． 9. 如图，中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为24，则的周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，，求出即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选B． 10. 如图，用四个完全一样的长、宽分别为的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．若，，判断以下关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】利用大正方形的边长长方形的长长方形的宽，小正方形的边长长方形的长长方形的宽，大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积，完全平方公式，进而判定即可． 【详解】解：由图形可得：①大正方形的边长长方形的长长方形的宽，故，正确； ②小正方形的边长长方形的长长方形的宽，故，正确； ③大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积，故，错误； ④根据①知， 根据②知，则，正确； ⑤，错误． 所以正确的有①②④，共有个． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点有：完全平方公式如、 、平方差公式如，以及通过图形(由长方形围成的大、小正方形)分析边长关系，进而结合公式进行代数运算与等式推导的数形结合思想． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 化简：__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0． 根据立方根的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 比较大小：____（填“”、“”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，根据，且，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键．根据积的乘方的逆运算计算即可；利用指数运算法则，将原式转化为 进行计算. 【详解】原式 = = = = = = 故答案为：． 14. 若一个三角形的底边为，底边上的高为，则面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积公式和多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．根据三角形面积公式列式，再按照多项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的底边为，底边上的高为， ∴该三角形的面积为 ． 故答案为：． 15. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线，这里构造全等三角形的依据是________（从“”中选择一个回答）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理．根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出答案即可． 【详解】解：在和中， ∴， ∴， 即就是的平分线， 故答案为：． 16. ______． 【答案】246 【解析】 【分析】本题考查利用平方差公式进行简算，逆用乘法分配律和平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：246 17. 以下结论中：①命题一定有逆命题，②真命题一定是定理，③真命题的逆命题一定是真命题，④假命题的逆命题一定是假命题．正确的结论共有__________个． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了命题、逆命题及定理的概念，熟练掌握命题与逆命题的关系、定理的定义是解题的关键．逐一分析四个结论，结合命题、逆命题、定理的定义判断正误，统计正确结论的数量． 【详解】解：因为逆命题是交换原命题的条件和结论得到的，每个命题都有条件和结论， 所以命题一定有逆命题，故①正确． 因为定理是经过证明的真命题，但真命题不一定经过证明（如未被证明的真命题）， 所以真命题不一定是定理，故②错误． 因为原命题“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题， 所以真命题的逆命题不一定是真命题，故③错误． 因为原命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”是假命题，其逆命题“如果两个角是对顶角，那么它们相等”是真命题， 所以假命题的逆命题不一定是假命题，故④错误． 综上，正确的结论有1个． 故答案为：1． 18. 如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是75，则的周长为________． 【答案】50 【解析】 【分析】连接，过点O作于点E，，作于点F，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解； 本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：连接，过点O作于点E，作于点F， 由，分别平分，，于点，． 故， 故， ， 解得， 故答案为：50． 三、解答题（本题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 19. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为： 20. 先化简，再求值： 其中 ，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，化简求值，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据多项式乘多项式展开再合并同类项，然后根据多项式除以单项式运算法则计算，得，最后把，代入计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴． 21. 已知，，请你利用所学知识用含的代数式表示． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方运算及代数式的变形，解题的关键是将转化为以为底数的幂，再结合与的关系进行代换．通过幂的乘方将转化为，再利用得到，代入的表达式后化简，即可用含的代数式表示． 【详解】解：，， ， 把代入上式： ． 22. 与按如图所示摆放，边分别与，交于点M，O，边与交于点N，若，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证，再运用“ASA”证明两个三角形全等． 【详解】证明：∵，， ∴，即， 在和中， ∴． 23. “湘超”足球赛正在火热进行中！上周我市的比赛共销售40000张票，赛后主办方对购票渠道和实际到场情况分别进行了统计，其中通过渠道购票后的实际到场率为，根据从，，，共四个渠道分别售票的情况和实际到场人数情况绘制了如图1，图2两幅不完整的统计图． （1）通过渠道销售的票数为_____张，扇形统计图中渠道对应的圆心角为_____．； （2）通过渠道的实际到场人数为_____人，并将图2补充完整； （3）请计算，并说明实际到场率排在前两名的是哪两个购票渠道． 【答案】（1）， （2），统计图见解析 （3）购票渠道 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，正确读懂统计图是解题的关键． （1）先算出通过渠道销售的票数的占比，再由总票数乘以占比，以及乘以占比即可求解； （2）根据总票数乘以渠道售票数占比再乘以实际到场占比即可渠道的实际到场人数，即可画出条形统计图； （3）分别计算到场率，再比较即可． 小问1详解】 解：（张）， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， 补全条形统计图为： 故答案为：； 【小问3详解】 解：A渠道：； B渠道：； C渠道：； D渠道：， ∴到场率排在前两名的是购票渠道． 24. 如图，在大型徒步定向越野比赛中，选手和选手从起点同时出发，选手以每小时7.5千米的速度沿北偏东方向徒步，选手以每小时4千米的速度沿另一方向徒步，2小时后选手分别到达打卡点，此时两名选手相距17千米．试确定选手的徒步方向． 【答案】选手的徒步方向是南偏东方向 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及方位角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先选手和选手的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后再根据R在P北偏东方向，可得选手的徒步方向是南偏东方向． 【详解】解：由题意得：选手经2小时的路程：（千米）， 选手经2小时的路程：（千米）， ∵， 即 ∴， ∵R在P北偏东方向， ∴ ∴Q在P南偏东方向． ∴选手的徒步方向是南偏东方向． 25. 先阅读下面的内容，再解决问题． 材料一：若，求和的值． 解：∵， ∴，∴， ∴，且， ∴， 材料二：方程就可以这样来解： 解：原方程可化为， ∴或，∴原方程的解为或， 请根据上述材料解决下列问题： （1）若，求和的值． （2）已知：、、为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． （3）若， 则__________，__________，__________． 【答案】（1）， （2）为等腰三角形，理由见解析 （3），， 【解析】 分析】（）根据材料一方法解答即可； （）根据材料二方法解答即可； （）由已知可得，即得，得到，进而得到，再根据非负数的性质解答即可求解； 本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，完全平方公式的变形运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴且， ∴，； 【小问2详解】 解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴, ∵、、为的三边长， ∴， ∴，即， ∴为等腰三角形； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴且， ∴，， 把代入，得， ∴， ∴， 综上，，，， 故答案为：，，． 26. 如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）直角三角形，理由见解析 （3）当等于或或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识. ()根据全等三角形的性质得到，再证明，即可证明是等边三角形； ()先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； ()分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解. 小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 【小问3详解】 解：由题意得：，， ∴； ①若，则，即， ∴； ②若，则，即， ∴； ③若，则，即， ∴； 综上，当等于或或时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末质量监测 八年级数学 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. “3的算术平方根”用符号表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各运算中，结果等于的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知等腰三角形两边长分别是和，则该三角形的周长是（ ） A 9cm B. C. D. 或 5. 下列多项式乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知整式，整式．若是完全平方式，则a值（） A. B. 1 C. 1或 D. 或7 7. 对于任意整数n，多项式都能被（ ）整除 A. 被6整除 B. 被7整除 C. 被8整除 D. 被9整除 8. 平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A. 7尺 B. 尺 C. 8尺 D. 尺 9. 如图，中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为24，则的周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 10. 如图，用四个完全一样的长、宽分别为的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．若，，判断以下关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 化简：__________ ． 12. 比较大小：____（填“”、“”或“=”）． 13. 计算：________． 14. 若一个三角形的底边为，底边上的高为，则面积为________． 15. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线，这里构造全等三角形的依据是________（从“”中选择一个回答）． 16. ______． 17. 以下结论中：①命题一定有逆命题，②真命题一定是定理，③真命题逆命题一定是真命题，④假命题的逆命题一定是假命题．正确的结论共有__________个． 18. 如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是75，则的周长为________． 三、解答题（本题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 19. 因式分解： 20. 先化简，再求值： 其中 ，． 21. 已知，，请你利用所学知识用含的代数式表示． 22. 与按如图所示摆放，边分别与，交于点M，O，边与交于点N，若，，．求证：． 23. “湘超”足球赛正在火热进行中！上周我市的比赛共销售40000张票，赛后主办方对购票渠道和实际到场情况分别进行了统计，其中通过渠道购票后的实际到场率为，根据从，，，共四个渠道分别售票的情况和实际到场人数情况绘制了如图1，图2两幅不完整的统计图． （1）通过渠道销售票数为_____张，扇形统计图中渠道对应的圆心角为_____．； （2）通过渠道实际到场人数为_____人，并将图2补充完整； （3）请计算，并说明实际到场率排在前两名的是哪两个购票渠道． 24. 如图，在大型徒步定向越野比赛中，选手和选手从起点同时出发，选手以每小时7.5千米的速度沿北偏东方向徒步，选手以每小时4千米的速度沿另一方向徒步，2小时后选手分别到达打卡点，此时两名选手相距17千米．试确定选手的徒步方向． 25. 先阅读下面的内容，再解决问题． 材料一：若，求和的值． 解：∵， ∴，∴， ∴，且， ∴， 材料二：方程就可以这样来解： 解：原方程可化为， ∴或，∴原方程的解为或， 请根据上述材料解决下列问题： （1）若，求和的值． （2）已知：、、为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． （3）若， 则__________，__________，__________． 26. 如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $