精品解析：湖南省衡阳市衡山县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024年下期期末质量监测 八年级数学 注意事项： 1．请考生将答案填写在答题卡上． 2．考生不得使用科学计算器参加考试． 3．本学科试题卷共三道答题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 有理数这个概念最早源自《几何原本》，以下各数中，有理数为（ ） A. B. C. D. 2.024002400024… 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 无理数是无限不循环小数，根据定义判断即可． 【详解】解：A、是分数，为有理数，故本选项符合题意； B、开方开不尽，是无理数，故本选项不符合题意； C、是无限不循环小数，是无理数，故本选项不符合题意； D、2.024002400024…是无限不循环小数，是无理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法运算，积的乘方，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则逐一运算判断即可． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D． 3. 如图，在中，，． 尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；②分别以D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③作射线．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的作图、角平分线的定义，根据三角形外角的性质求出的度数，再由平分即可得到答案． 【详解】解∶∵，， ∴， 由题意知： 平分， ∴， 故选：B． 4. 用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方和公式的几何意义，根据图形，结合选项即可得到答案，数形结合，熟记相关代数公式是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，四个图形拼成了正方形，他们面积相等，则 ， 故选：B． 5. 与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 6. 如图，，则有（ ） A. 与互相垂直平分 B. 垂直平分 C. 垂直平分 D. 以上答案都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质；由题意得，则有，然后根据等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴根据“三线合一”可知：垂直平分； 故选：C． 7. 下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查平方差公式，熟练掌握形如的结构是解题关键 根据平方差公式特点判断各选项是否符合该形式即可 【详解】解：A、， 第二个括号可提取负号，得，原式变为，属于完全平方公式，不符合题意； B、 调整顺序为，即（其中，），符合平方差公式，符合题意； C、即，属于完全平方公式，不符合题意； D、，提取负号得，属于完全平方公式，不符合题意； 故选：B 8. 若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的宽是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据长方形面积等于长乘以宽可知，只需要用长方形面积除以其一边长即可得到答案． 【详解】解： ， ∴这个长方形的宽是， 故选：D． 9. 如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E．液压杆．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查等腰三角形的性质及平行线的性质，根据题意得出，确定，再由对顶角及平行线的性质即可求解 【详解】解：∵等长的支架交于它们的中点E，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D 10. 如图，、分别表示边长为x、y的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得：，，然后利用完全平方公式进行变形即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积为： ． 图中阴影部分面积为：． 故选：C． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景．完全平方公式为：，，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握计算公式是解题的关键． 直接利用同底数幂的乘法计算公式求解． 详解】解：， 故答案为：． 12. 请把“36的平方根是正负6”翻译成数学式子表示出来：____________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义即可得到答案. 【详解】解：“36的平方根是正负6”用数学式子表示为： 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解决本题的关键是熟记平方根的定义. 13. 一组数据经整理后分成四组，第一、二、三小组的频率分别为0.1，0.3，0.4，第四小组的频数是5，那么这组数据共有 _____个． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要频率、频数等知识点，各小组频数之比等于各小组频率之比成为解题的关键． 根据各组的频率和等于1可求出第四小组的频率，再根据它和第四组的频率关系求得其频数即可． 【详解】解：根据题意，得：第四小组的频率是， 因为第四小组的频数是5， 所以这组数据共有（个）． 故答案为：25． 14. 如图，小聪利用最近学习的全等三角形知识，在测量妹妹保温杯的壁厚时，用“x型转动钳”工具按如图方法进行测量，其中，,测得，，则保温杯的壁厚为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握等三角形判定以及性质是解题的关键． 通过证明得到的长度，即可得到答案． 【详解】解：在和中， ∴． ∴， ∵， ∴保温杯的壁厚． 故答案为：1． 15. 如图，已知，要用“”判定，则只需添加一个适当的条件是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定：三边对应相等的两个三角形全等，即可． 【详解】∵全等三角形的判定“”：三边对应相等的两个三角形全等， ∴当和中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定：三边对应相等的两个三角形全等． 16. 若的结果中不含x的一次项，则__________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则得出，结合题意得出，计算即可得解． 【详解】解：， ∵的结果中不含x的一次项， ∴， 解得：， 故答案为：． 17. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此应假设． 故答案为：． 18. 如图，，射线、上有一系列点、、、…、，满足，当时，____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是规律探究，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，先证明，可得，，归纳可得，再结合垂直可得结论． 【详解】解：∵， ∴，，，，都是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题，第19题16分，第20题8分，第21、22、23题每题10分，第24题12分，满分66分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 19. 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式因式分解即可； （2）提公因式，再利用平方差公式分解即可； （3）利用完全平方公式因式分解即可； （4）利用完全平方公式因式分解即可； 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ； 【小问3详解】 解：， ； 【小问4详解】 解：， ， ． 20. 小聪和小明同做一道题：已知，求，的值． 小聪的思路是：将左边化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得，的值． 小明的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的取同一个值时，等式成立．他将，分别代入，可以得到关于a，b的一个二元一次方程组，从而求得，的值． （1）请用小聪和小明的思路（两种不同的方法）分别求出a，b的值，你有什么发现？ （2）将代数式表示成的形式，请选择其中一种方法求出，的值． 【答案】（1），；发现：用两种思路求得，的值一样，即小聪和小明的思路都是正确的； （2）；，． 【解析】 【分析】本题考查了代数式的运算，灵活利用题目在所给的信息是解题的关键． （1）分别根据小聪和小明的思路进行运算求解即可； （2）选用小明的思路，分别把和代入运算求解即可． 【小问1详解】 解：小聪的思路：， ∴， ∴，； 小明的思路： 把代入可得：， ∴， 把代入可得：， ∴ 把代入可得：， ∴； 发现：用两种思路求得的，的值一样，即小聪和小明的思路都是正确的； 【小问2详解】 解：选用小明的思路 ∵， ∴把代入可得：， ∴， 把代入可得：， ∴， ∴把代入可得：， ∴． 21. 某校七年级在实施数学作业分层布置方案前，对学生某次考试的数学成绩进行了随机抽样调查，并将获得的名学生的数学成绩（单位：分）绘制成不完整的频数分布直方图，数据分为组，：，：，：，：，：． （1）请补全频数分布直方图； （2）本次考试的数学成绩在______组的学生最多，求出该组学生占总人数的百分比； （3）为给学生分层布置作业，需要确定一个分层标准，将本次考试的数学成绩为的学生认定为优秀学生，已知抽样结果中，组的名学生的成绩依次为：，，，，，，，，，，．若要将占总人数的学生认定为优秀学生，请写出一个合理的的值，并说明理由． 【答案】（1）图见解析 （2）， （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，有理数的运算等知识点，熟练掌握频数分布直方图的相关知识是解题的关键． （1）先用学生总人数减去，，，组的学生人数，即可得到组的学生人数，据此即可补全频数分布直方图； （2）由频数分布直方图即可直接看出哪一组的学生最多，用该组学生人数除以总人数，即可得出该组学生占总人数的百分比； （3）用总人数乘以，即可得出应认定为优秀学生的人数，根据优秀学生的人数以及分数由高到低的各组人数，即可得出一个合理的的值． 【小问1详解】 解：组的学生人数学生总人数，，，组的学生人数 （人）， 补全后的频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：由频数分布直方图可以看出：组的学生最多， 组学生占总人数的百分比组学生人数总人数； 【小问3详解】 解：，理由如下： 应认定为优秀学生人数总人数 （人）， 组的学生人数为， 组的优秀学生人数应认定为优秀学生的人数组的学生人数 （人）， 又组的名学生的成绩由高到低依次为：，，，，，，，，，，， ． 22. 如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． （1）若，，求的度数； （2）若，，求与的周长和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【小问1详解】 解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 23. 【问题解决】 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高，救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两处个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离为多少米才能把完成处救援任务？ 【答案】消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：过点作， 由题意，得， A，B，D三点在同一直线上． ，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得 ． 答：消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务． 24. 【问题原型】在数学活动课上，徐老师给出如下问题：如图①，在中、，，以为斜边作直角三角形，点D在边上方，与交于点O，连接，过A作于点E．求证：（不需证明）： 【解决问题】如图②，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．根据小明同学的思路证明； 【应用】 （1）在图①中，的大小为__________度； （2）若O是的中点，且，则四边形的面积为__________． 【答案】解决问题：见解析；应用：（1）135；（2）12 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 解决问题：通过证明即可得出结论； 应用（1）：利用三角形全等得到，结合三角形内角和定理求出的度数进而求出结果； （2）通过证明得到，通过求出角的度数得到，利用等腰三角形的性质即可得出，求出结果即可． 【详解】解：解决问题：如图②，在上截取，连接， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； 应用：（1）， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：135； （2）是中点，即， ，， 在与中， ， 。 ， 由（1）得， ， ， ， 是等腰的高， ， ， ， ， ， 故答案为：12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期期末质量监测 八年级数学 注意事项： 1．请考生将答案填写在答题卡上． 2．考生不得使用科学计算器参加考试． 3．本学科试题卷共三道答题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 有理数这个概念最早源自《几何原本》，以下各数中，有理数为（ ） A. B. C. D. 2.024002400024… 2. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 如图，在中，，． 尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；②分别以D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③作射线．则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 与相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，则有（ ） A. 与互相垂直平分 B. 垂直平分 C. 垂直平分 D. 以上答案都不对 7. 下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 8. 若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的宽是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E．液压杆．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 10. 如图，、分别表示边长为x、y的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 计算：_________． 12. 请把“36的平方根是正负6”翻译成数学式子表示出来：____________________________． 13. 一组数据经整理后分成四组，第一、二、三小组频率分别为0.1，0.3，0.4，第四小组的频数是5，那么这组数据共有 _____个． 14. 如图，小聪利用最近学习的全等三角形知识，在测量妹妹保温杯的壁厚时，用“x型转动钳”工具按如图方法进行测量，其中，,测得，，则保温杯的壁厚为_____． 15. 如图，已知，要用“”判定，则只需添加一个适当的条件是_____． 16. 若的结果中不含x的一次项，则__________ 17. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 18. 如图，，射线、上有一系列点、、、…、，满足，当时，____． 三、解答题（本大题共6个小题，第19题16分，第20题8分，第21、22、23题每题10分，第24题12分，满分66分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 19. 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 小聪和小明同做一道题：已知，求，的值． 小聪的思路是：将左边化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得，的值． 小明的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的取同一个值时，等式成立．他将，分别代入，可以得到关于a，b的一个二元一次方程组，从而求得，的值． （1）请用小聪和小明的思路（两种不同的方法）分别求出a，b的值，你有什么发现？ （2）将代数式表示成的形式，请选择其中一种方法求出，的值． 21. 某校七年级在实施数学作业分层布置方案前，对学生某次考试的数学成绩进行了随机抽样调查，并将获得的名学生的数学成绩（单位：分）绘制成不完整的频数分布直方图，数据分为组，：，：，：，：，：． （1）请补全频数分布直方图； （2）本次考试的数学成绩在______组的学生最多，求出该组学生占总人数的百分比； （3）为给学生分层布置作业，需要确定一个分层标准，将本次考试的数学成绩为的学生认定为优秀学生，已知抽样结果中，组的名学生的成绩依次为：，，，，，，，，，，．若要将占总人数的学生认定为优秀学生，请写出一个合理的的值，并说明理由． 22. 如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． （1）若，，求的度数； （2）若，，求与的周长和． 23. 【问题解决】 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高，救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两处个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离为多少米才能把完成处救援任务？ 24. 【问题原型】在数学活动课上，徐老师给出如下问题：如图①，在中、，，以斜边作直角三角形，点D在边上方，与交于点O，连接，过A作于点E．求证：（不需证明）： 【解决问题】如图②，小明同学从结论角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．根据小明同学的思路证明； 【应用】 （1）在图①中，的大小为__________度； （2）若O是的中点，且，则四边形的面积为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $