精品解析：江西赣州市章贡区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年第一学期期末考试 九年级数学试题卷 满分120分 考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 车辆随机到达路口，遇到绿灯 B. 校园排球比赛，九年级一班获得冠军 C. 掷一枚硬币时，正面朝上 D. 四边形内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、车辆随机到达路口，遇到绿灯，是随机事件，故此选项不符合题意； B、校园排球比赛，九年级一班获得冠军，是随机事件，故此选项不符合题意； C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故此选项不符合题意； D、四边形内角和是，是必然事件，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下面图形不能通过旋转变换得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 3. 已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系．点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外⇔；②点在圆上⇔；③点在圆内⇔，由此即可判断； 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离是， ， ∴点在外， 故选：A． 4. 抛物线是由某个抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，则原抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， ∴将向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到， 故选：B． 5. 瓷板画是我国非物质文化遗产最早可追溯到秦汉时期．如图是其实物及平面设计图．已知A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，则圆心到桌面距离的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离．先根据，，可得，，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理得，即可得出答案． 【详解】解：∵，，分别垂直于点B，D， ∴，. ∵， ∴． 在中，根据勾股定理得， ∴． 故选：C． 6. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为： ③菜园面积可以达到． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用；设边长为，则边长为长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据矩形的面积，解方程求出的值可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解析式和方程是解题的关键． 【详解】解：设边长为，则边长为长为， 当时，， 解得：， ∵的长不能超过， ，故①不符合题意； ∵菜园面积为， ， 整理得：， 解得：或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②符合题意； 设矩形菜园的面积为， 根据题意得：， ， ∴当时，有最大值，最大值为，故③不符合题意． ∴正确的有个， 故选：B． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知、是方程的两个实数根，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，可直接求出x1+x2的值 详解】根据题意得x1+x2=−=−=4 故答案为4 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键 8. 若二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数的图像确定相应方程的根，二次函数图像上点的纵坐标相等时，横坐标关于对称轴对称是解题关键. 根据二次函数图像上点的纵坐标相等时，横坐标关于对称轴对称，可得答案. 【详解】解：二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线， 关于的一元二次方程的一个解. ∵与关于对称， , 即， ∴. 故答案为：. 9. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形以及圆周角定理，根据圆内接四边形的对角互补，以及直径所对的圆周角为直角，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：35． 10. 某学习平板厂商推广新品时，统计了其销量数据：9月份销售400台，11月份销售576台，且9月到11月销量的月增长率保持相同，则该学习平板销量的月增长率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该学习平板销量的月增长率为x，依题意正确列出方程即可． 【详解】解：设该学习平板销量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（舍去）， 答：该学习平板销量的月增长率为， 故答案为：． 11. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线l=______． 【答案】． 【解析】 【详解】扇形的弧长和圆锥的底面周长相等，即：，解得：l＝ 考点： 圆锥的底面周长与侧面展开图的弧长关系. 12. 在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，是线段的中点，点在坐标轴上，若以为顶点的三角形与相似，则点的坐标为___________． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键； 首先求出直线与坐标轴的交点和的坐标，以及中点的坐标，然后根据点在坐标轴上分类讨论，利用直角相似条件求出点的坐标即可． 【详解】解：∵直线与轴，轴分别交于两点， ∴令，得，解得，令，得， ∴，， ∴，，， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵中，， ∴中必须有一个角是， ∵点坐标轴上， ∴①当点在轴上时，设， 如图，若， 当时，， ∴，解得， ∴点的坐标为； 如图，若， 当时，， ∴，解得， ∴点的坐标为； ②当点在轴上时，设， 如图，若， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为，，， 故答案为：，，． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 已知关于的方程． （1）当时，求原方程的解． （2）若原方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程解法，一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）将代入，解方程即可； （2）先求出的值，再根据的符号即可得出答案． 【小问1详解】 解：当时，原方程为， ， 即，， 解得：，； 【小问2详解】 解：该一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：． 14. 已知与成反比例函数关系，且当时，． （1）求与的函数关系式； （2）求当时，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法是解题关键； （1）与的函数关系式为，将，，代入计算即可； （2）将代入函数关系式即可求解． 【小问1详解】 解：∵与成反比例函数关系， ∴设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ∴的值为． 15. 如图，是的边上的一点，连接，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． （1）根据，即可得出结论； （2）设，，根据△和△相似得，将，，代入比例式整理得，由此解出即可得的长． 【小问1详解】 证明：，， ； 【小问2详解】 解：设， ，， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 16. 如图，是的直径，是半圆的三等分点，请仅用无刻度的直尺，按要求作图．（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作的中点； （2）在图2中，作的中点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，三角形中位线定理，平行线分线段成比例． （1）连接、相交于点，作射线交于点，此时点为的中点； （2）连接、相交于点，连接、相交于点，连接并延长交于点，作射线交于点，此时点为的中点． 【小问1详解】 解：如图，点即为所作； ； 【小问2详解】 解：如图，点即为所作； ． ∵是半圆的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴是的中位线， ∴， ∴，即， ∴点为中点． 17. 随着人工智能技术的兴起，越来越多的人开始尝试用它进行创作．小华计划课余时间利用人工智能辅助自己进行小说创作，于是他对人工智能软件进行了一定的了解． （1）小华先寻找了一些能够帮助他梳理小说脉络结构的人工智能软件：、通义千问、智谱清言、文心一言，他计划从这四款软件中随机选择一款软件进行学习并应用，选到“”的概率为___________； （2）小华还想在小说中加入一些插图，因此他又找到四款具备辅助绘图功能的人工智能软件：悠船、可灵、即梦，他准备从这四款软件中随机选择两款软件进行学习并应用，请用列表或画树状图的方法求他恰好选中“可灵”与“即梦”这两款软件的概率． （四款软件：悠船、可灵、即梦，依次记为） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，涉及的知识点是“古典概型的概率公式（）”“用列表法或树状图法列举等可能事件”．解题方法是：第（1）题直接利用古典概型公式计算；第（2）题通过列表或树状图列举所有选两款软件的可能结果，再找出符合条件的结果数，代入概率公式计算．解题关键是准确列举所有等可能结果，避免重复或遗漏．易错点是列举结果时出现重复、遗漏，导致概率计算错误．解题思路为：（1）确定总软件数和“DeepSeek”的数量，代入概率公式；（2）用列表法列出选两款软件的所有组合，数出包含“可灵AI”和“即梦AI”的组合数，计算概率． 【小问1详解】 总共有4款软件，“DeepSeek”是其中1款，根据古典概型概率公式： 【小问2详解】 根据题意，列表如下：5分 第二种 第一种 Y K W J Y K ） W J 或 由列表（或画树状图）可知，共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中，选中两种软件的结果有2种． （选中两种软件） 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一次函数分别与反比例函数，交于点和点，已知点的横坐标为，点的纵坐标为6． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积等， （1）将点的横坐标代入即可得，再将代入，即可得，最后将的纵坐标6代入，即可得，问题随之得解； （2）设与轴交于点，根据，即可作答． 【小问1详解】 当时，， ， 把它代入得：， 解得， ， 当时，， 解得， ， ， ； 【小问2详解】 设与轴交于点， 当时，， 则， ∵，， ． 19. 某旅游村一家特色菜馆，希望在五一节期间获得好的收益．经测算知，某“特殊菜”的成本价为每份30元，若每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元，则平均每天少销售2份．五一节期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高于75元．设每份“特色菜”的售价上涨元（为正整数），每天的销售利润为元． （1）当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润3000元？ （2）五一节期间，求每份“特色菜”售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元 （2）每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）设每份“特色菜”的售价上涨x元（x为正整数），根据题意列一元二次方程求解即可； （2）根据物价局规定可得，再列出关于的二次函数，求出最值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，每份售价为元，销售量为份． 利润 令，得． 整理得：，解得， 售价不能高于75元，即，， ∴舍去． 答：当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元． 【小问2详解】 解： ， ，抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，且x为正整数，对称轴为直线在取值范围内， ∴当时，（元）．此时售价为（元） 答：每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元． 20. 【课本再现】人教版九年级上册P74数学活动：把点绕原点分别顺时针旋转，，，，点的对应点的坐标分别是什么？将结果填入下表． 旋转角度 对应点的坐标 （1）完成表格剩余部分； 【迁移应用】 （2）新定义：现将点绕原点顺时针旋转，当时，旋转角度为，当时，旋转角度为，得到的对应点称作点的变换点． ① 求的变换点坐标_______________； ② 直线上所有点的变换点组成一个新图形记为，请求出的解析式． 【答案】【小问1】见解析 【小问2】①；② 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中坐标与图形的知识，涉及旋转的坐标特点与性质、一次函数的图象与性质等知识，分类讨论求解是解答本题的关键． （1）根据旋转中心为点O，旋转方向为顺时针，旋转角度作出点P的对应点A，可得所求点的坐标，同理画出旋转角度为、、时，点P的对应点B、C、D，进而得到所求点的坐标，进而填表即可； （2）①根据题中变换定义结合表格数据求解即可； ②设W上有一点，根据题意可知是直线上的点变换而来的，将代入中，有，则问题可得解． 【详解】（1）解：如图所示，设点的坐标在第一象限， 顺时针旋转得到点A的坐标为； 顺时针旋转得到点B的坐标为； 顺时针旋转得到点C的坐标为； 顺时针旋转得到点D的坐标为； 故完成表格如下： 旋转的角度 对应点的坐标 （2）解：①∵， ∴的变换点坐标为， 故答案为：； ②解：设上有一点， 直线上的点，均是横坐标大于纵坐标， 点是直线上的点绕原点顺时针旋转， 将代入中，有， 在上，且满足， ∴的解析式为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，的顶点，在上，与相交于点，连接，，半径，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线判定定理、圆周角定理、平行线的性质以及相似三角形的判定与性质． （1）连接，得，结合已知及圆周角定理可得，根据三角形内角和定理可得，进而得到，最后根据平行线的性质即可证明直线是的切线； （2）由（1）得，则，根据平行线的性质得到，进而推得，又，证明，最后根据相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， , 在中， ， ， ， ， ， ， 直线是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ，， ， ， 又， ， ，即， ， ． 22. 在四边形中，点为的中点，分别连接． （1）如图1，若． ①求证：； ②若平分，求证：； （2）如图2，若，求的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据对应角相等证明，所以对应边成比例，再根据是中点，代入比例式即可求证； ②根据三角形内角和定理以及平角的定义求证即可； （2）过点作，交的延长线于点，连接，根据全等三角形的判定与性质，构造，在根据等腰三角形的判定得出为等腰三角形，最后根据勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 证明：①， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，即； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图（1），在中，，点为边上一动点，过点作，交于点．将沿折叠，点的对应点为，若的长为与重叠部分的面积为（点与点或点重合时，不妨设），与之间的函数关系如图（2）所示． （1）①的长为___________，的长为___________； ②当时，关于的函数解析式为___________． （2）当时，与之间的关系图象是抛物线的一部分，且时，取得最大值，求抛物线的解析式． （3）在（2）的条件下，若存在对应的值相等，且，求此时与重叠部分的面积． 【答案】（1）①，；② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，相似三角形的性质与判定，折叠问题； （1）根据函数图象可得时，则，当时，则点与点重合，此时是的中点，进而可得是的中位线，则，根据函数图象时，，进而根据三角形的面积公式求得，即可得出的长； ②根据得出，根据相似三角形的性质求得，进而根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解； （2）根据题意设抛物线解析式为：，根据函数图象可得，在抛物线上，待定系数法求解析式，即可求解； （3）分，两种情况讨论；当时根据对称性可得，联立，确定和的值，代入（2）中解析式，即可求解；当时，确定的范围，联立与求得的值，进而根据的取值范围取舍，即可求解． 【小问1详解】 解：①根据函数图象可得与重合时，时，则， 当时，则点与点重合，此时是的中点， 根据函数图象可得时，， 即时，，则 ∵ ∴ ∴ ∴是的中位线，则 ∴， 故答案为：，． ②∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴当时，， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵时，与之间的关系图象是抛物线的一部分，且时，取得最大值， ∴设抛物线解析式为：， 将，，代入， 得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问3详解】 解：∵时，，存在对应的值相等， ∴对称轴为直线① 又∵②， 联立①②解得： ∴此时与重叠部分的面积为． 当时， ∵，则 ∴ ∴ ∵当时， ∴当 整理得， 解得：或 ∵ ∴不存在此情形， 综上所述，与重叠部分的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末考试 九年级数学试题卷 满分120分 考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 车辆随机到达路口，遇到绿灯 B. 校园排球比赛，九年级一班获得冠军 C. 掷一枚硬币时，正面朝上 D. 四边形内角和是 2. 下面图形不能通过旋转变换得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 4. 抛物线是由某个抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，则原抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 瓷板画是我国非物质文化遗产最早可追溯到秦汉时期．如图是其实物及平面设计图．已知A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，则圆心到桌面距离的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为： ③菜园面积可以达到． 其中，正确结论个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知、是方程两个实数根，则________． 8. 若二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解____________． 9. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则_______． 10. 某学习平板厂商推广新品时，统计了其销量数据：9月份销售400台，11月份销售576台，且9月到11月销量的月增长率保持相同，则该学习平板销量的月增长率为_______． 11. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线l=______． 12. 在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，是线段的中点，点在坐标轴上，若以为顶点的三角形与相似，则点的坐标为___________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 已知关于的方程． （1）当时，求原方程的解． （2）若原方程有两个相等的实数根，求的值． 14. 已知与成反比例函数关系，且当时，． （1）求与的函数关系式； （2）求当时，的值． 15. 如图，是的边上的一点，连接，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 16. 如图，是的直径，是半圆的三等分点，请仅用无刻度的直尺，按要求作图．（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作的中点； （2）在图2中，作的中点． 17. 随着人工智能技术的兴起，越来越多的人开始尝试用它进行创作．小华计划课余时间利用人工智能辅助自己进行小说创作，于是他对人工智能软件进行了一定的了解． （1）小华先寻找了一些能够帮助他梳理小说脉络结构的人工智能软件：、通义千问、智谱清言、文心一言，他计划从这四款软件中随机选择一款软件进行学习并应用，选到“”的概率为___________； （2）小华还想在小说中加入一些插图，因此他又找到四款具备辅助绘图功能的人工智能软件：悠船、可灵、即梦，他准备从这四款软件中随机选择两款软件进行学习并应用，请用列表或画树状图的方法求他恰好选中“可灵”与“即梦”这两款软件的概率． （四款软件：悠船、可灵、即梦，依次记为） 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一次函数分别与反比例函数，交于点和点，已知点的横坐标为，点的纵坐标为6． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积． 19. 某旅游村一家特色菜馆，希望在五一节期间获得好的收益．经测算知，某“特殊菜”的成本价为每份30元，若每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元，则平均每天少销售2份．五一节期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高于75元．设每份“特色菜”的售价上涨元（为正整数），每天的销售利润为元． （1）当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润3000元？ （2）五一节期间，求每份“特色菜”的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 20. 【课本再现】人教版九年级上册P74数学活动：把点绕原点分别顺时针旋转，，，，点的对应点的坐标分别是什么？将结果填入下表． 旋转的角度 对应点的坐标 （1）完成表格剩余部分； 【迁移应用】 （2）新定义：现将点绕原点顺时针旋转，当时，旋转角度为，当时，旋转角度为，得到的对应点称作点的变换点． ① 求的变换点坐标_______________； ② 直线上所有点变换点组成一个新图形记为，请求出的解析式． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，的顶点，在上，与相交于点，连接，，半径，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 22. 在四边形中，点为的中点，分别连接． （1）如图1，若． ①求证：； ②若平分，求证：； （2）如图2，若，求的长． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图（1），在中，，点为边上一动点，过点作，交于点．将沿折叠，点的对应点为，若的长为与重叠部分的面积为（点与点或点重合时，不妨设），与之间的函数关系如图（2）所示． （1）①的长为___________，的长为___________； ②当时，关于的函数解析式为___________． （2）当时，与之间的关系图象是抛物线的一部分，且时，取得最大值，求抛物线的解析式． （3）在（2）的条件下，若存在对应的值相等，且，求此时与重叠部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $