精品解析： 江西省赣州市章贡区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年第一学期期末考试 九年级数学试题卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查判断点是否在反比例函数图象上．根据将点的横坐标代入反比例函数，得到的结果是否等于该点的纵坐标，即可求解判断． 【详解】解：A、当时，，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； B、当时，，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； C、当时，，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； D、当时，，则点在反比例函数图象上，故本选项符合题意； 故选：D 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式即可求解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4. 已知点与点关于原点对称，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，负整数指数幂，熟练掌握关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解此题的关键．根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数求出，，再求值即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 5. 在一个不透明的盒子中装有n个除颜色外完全相同的球，其中有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则n的值大约为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：由题意可得，， 解得：， 经检验是原方程的根，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 6. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣ ，结合图象分析下列结论： ①abc＞0； ②3a+c＞0； ③当x＜0时，y随x的增大而增大； ④＜0； ⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2． 其中正确的结论有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时相应a、b、c之间的关系，进行综合判断即可． 【详解】解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣可得， 9a﹣3b+c＝0，﹣＝﹣，即a＝b，与x轴的另一个交点为（2，0），4a+2b+c＝0， 抛物线开口向下，a＜0，b＜0， 抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0， 所以，abc＞0，因此①正确； 由9a﹣3b+c＝0，而a＝b， 所以6a+c＝0，又a＜0， 因此3a+c＞0，所以②正确； 抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，因此当x＜﹣时，y随x的增大而增大， 所以③不正确； 由于抛物线的顶点在第二象限，所以＞0，因此＜0，故④正确； 抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）（2，0）， 因此当y＝﹣3时，相应的x的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧， 因此m＜﹣3，n＞2，所以⑤正确； 综上所述，正确的结论有：①②④⑤， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系，从图象中获取有效信息是解答的关键． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为， 故答案为：． 8. 如果两个相似三角形的相似比是2:3，那么它们的周长比是_______． 【答案】2：3 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可解得． 【详解】∵两个相似三角形的相似比为2：3， ∴它们周长比为2：3． 9. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系是_____（用“”号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据，得反比例函数分布在第一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，，同号，据此即可解答． 【详解】解：∵中，， ∴反比例函数图象分布在第一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，，同号， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 10. 我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x步，那么根据题意列出的方程为_____． 【答案】x（x﹣12）＝864 【解析】 【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程． 【详解】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步． 根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝864． 故答案为：x（x﹣12）＝864． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意根据面积公式列出方程是解题的关键． 11. 如图，一段抛物线：记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于另一点；将绕点旋转得，交轴于另一点；……如此进行下去，则的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，规律型：点的坐标，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题目中的函数解析式可以得到的顶点坐标和的坐标，利用旋转转化为中点坐标方法，分别可以得到、、的顶点坐标，从而可以得到抛物线顶点坐标的变化特点，从而可以得到的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴的顶点坐标为， 令， 解得：，， ∴， ∴的顶点坐标绕旋转得的顶点坐标为，即，绕旋转得，即， 同理可得：的顶点坐标为，的顶点坐标为，， ∴的顶点的横坐标为，当为奇数时，的顶点的纵坐标为， ∴的顶点坐标是，即， 故答案为：． 12. 如图，为边长为的等边三角形，，，P为边上动点，以的速度从B向C运动，假设P点运动时间为，当______s时，与相似． 【答案】12或16或21 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是分类讨论． 先根据等边三角形的性质得，再分和两种情况求出答案即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ， 当时，， 即， 解得：或； 当时，时， 即， 解得：． ∴或16或21． 故答案为：12或16或21． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）如图，在中，，两点分别在，边上，，如果，，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，平行线分线段成比例，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤、平行线分线段成比例定理是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：（1）， 移项，得：， 因式分解，得：， 得：或， 解得：，； （2）∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得：． 14. 为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是　 　． （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率． 【答案】（1）；（2）见解析，. 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解； （2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率＝； （2）列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数为6种， 所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率为. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率 15. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线． 【答案】见解析. 【解析】 【分析】如图①中连接PA，根据等弧所对得圆周角相等，易知∠APB=∠APC，所以PA就是∠BPC的平分线；如图②中，连接AO延长交⊙O于E，连接PE，由垂径定理和圆周角定理易知∠EPB＝∠EPC． 【详解】如图①中，连接PA，PA就是∠BPC的平分线． 理由：∵AB＝AC， ∴＝， ∴∠APB＝∠APC． 如图②中，连接AO延长交⊙O于E，连接PE，PE就是∠BPC的平分线． 理由：∵AB＝AC， ∴＝， ∴＝， ∴∠EPB＝∠EPC． 【点睛】本题主要考查圆周角定理和垂径定理，根据等弧所对圆周角相等得到角平分线是关键. 16. 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度：y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… （1）在整改过程中，当时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 【答案】（1） （2）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 【解析】 【分析】（1）由表格可推得：为定值，即当时，y是x的反比例函数，进而求得结果； （2）将代入反比例函数关系式，从而求得y的值，进而根据反比例函数图象性质，得出结论． 【小问1详解】 解：， y是x的反比例函数， 【小问2详解】 解：该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下： 当时，， y随x的增大而减小， 该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式的求法以及反比例函数图象性质，解题的关键是正确求出反比例函数解析式并且熟练掌握反比例函数以及有关性质． 17. 如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD． （1）求证：； （2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）先利用旋转的性质证明△ABD为等边三角形，则可证，即再根据平行线的判定证明即可． （2）利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解． 【详解】（1）证明：由旋转性质得： 是等边三角形 所以 ∴； （2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1， 所以A，C两点经过的路径长之和为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、弧长公式等知识，熟练掌握这些知识点之间的联系及弧长公式是解答的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平行四边形中，连接DB，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得出，结合可得出，再由即可证出； （2）由，利用相似三角形的性质可求出BF的长度，由可得出，再利用相似三角形的性质及即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∵， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用两角对应相等，两个三角形相似证出；（2）牢记相似三角形对应边的比相等． 19. 如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．E是AB下半圆弧中点，连接CE交AD于F． （1）求证：CD与⊙O相切． （2） AF=8，EF=2，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析 （2）⊙O的半径为6． 【解析】 【分析】（1）如图，作辅助线，证明∠OCD=90°即可解决问题； （2）连接OE，证明EO⊥AB，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程，解方程即可解决问题． 【小问1详解】 证明：如图，连接OC；　 ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB； ∵AB是⊙O的直径， ∴∠A+∠OBC=90°， 而∠DCB=∠A，∠OBC=∠OCB， ∴∠DCB+∠OCB=90°， 即∠OCD=90°， ∴DC为⊙O的切线； 【小问2详解】 解：连接OE， ∵AB是⊙O的直径，E是AB下半圆弧中点， ∴==， ∴EO⊥AB， 设OA=OE=R，OF=8-R， 在Rt△OEF中，EF2=OF2+OE2， ∴（2）2=R2+（8-R）2， ∴R=6（不符合题意的根已经舍弃）． ∴⊙O的半径为6． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可． 20. 如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG=x mm，EF=y mm． （1）写出x与y的关系式； （2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值． 【答案】（1）y=120-x；（2）当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法是错误的. x=40mm，y=60mm时，矩形EGHF的面积最大，最大面积为2400平方毫米． 【解析】 【分析】（1）易证△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求解； （2）矩形EGHF面积S=xy，根据（1）中y与x的函数关系式，即可得到S与x之间的函数关系，根据函数的性质即可求解； 【详解】根据已知条件易知：EF∥BC，AD⊥EF，PN=GH=ymm，DK=EG=xmm， ∴△AEF∽△ABC． 从而有,即, ∴y=120-x； （2）设矩形EGHF的面积为S，则S=xy， 即S=x（120-x）， 当x=-=40时，S有最大值为2400 此时y==60 ∴x=40mm，y=60mm时，矩形EGHF的面积最大，最大面积为2400平方毫米． 故当矩形当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法是错误的.为正方形时S最大，这个说法是错误的. 【点睛】本题主要运用了相似三角形的性质，对应边的比等于对应高的比，同时考查了二次函数最值的求法. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系． （1）求抛物线表示的二次函数解析式； （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方处． 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 （3）1 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法即可求出抛物线表示的二次函数解析式； （2）当时，求出的值再与2.44比较，即可知球能不能射进球门； （3）设小明带球向正后方移动米，则可用含的式子表示移动后的抛物线解析式，把点代入求出得的值，即知当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处． 小问1详解】 ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数解析式为：； 【小问2详解】 当时，， 球不能射进球门． 【小问3详解】 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为：， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点正上方处． 故答案为：1． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． 22. 阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以 根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________． （2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值． 【答案】（1）；； （2）； （3）-1 【解析】 【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得． 【小问1详解】 ，； 故答案为；； 【小问2详解】 ，，且， 、可看作方程， ，， ； 【小问3详解】 把变形为， 实数和可看作方程的两根， ，， ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． 六、解答题（本大题共12分） 23. 小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有些与圆有关的几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 【学习感悟】 （1）如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点，必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到_______． 【问题解决】 （2）如图2，在四边形中，，，求的度数． 【问题拓展】 （3）抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，点在抛物线上，直线交轴于点，连接． ①若含角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与重合，直角顶点在上，另一顶点E在上，求点的坐标； ②若含角的直角三角板一个顶点与点重合，直角顶点在上，另一个顶点在上，点与点，点不重合，直接写出点的坐标： ____． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解； （2）由、、、共圆，得出； （3）①先求出抛物线顶点的坐标，再由点、、、共圆，得出，求出，即可求得点的横坐标，由点在抛物线上即可求得其纵坐标；②分两种情况，Ⅰ、当的角的顶点与点重合时，Ⅱ、当的角的顶点与点重合时，运用点、、、共圆，求出即点的横坐标，再代入抛物线求出点的纵坐标，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：，， 以点为圆心，为半径，点、、必在上， 是所对的圆心角，是所对的圆周角， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：取的中点， 四边形中，， ， 若以点为圆心，为半径作，点、、、都在上， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：①点为抛物线的顶点， 点的坐标为， 角的直角三角板如图所示放置，其中，一个顶点与重合，直角顶点在上，另一顶点在上， 取的中点，连接，， 若以点为圆心，为半径作，点、、、都在上， ， ， ， 点在抛物线上，直线交轴于点， 点的横坐标为4， 当时， ②Ⅰ、当的角的顶点与点重合时， 直角三角板角的顶点与点重合，直角顶点在上，另一个顶点在， 同理可证，点、、、共圆， ， ， ， 点的横坐标为， 当时，， Ⅱ、当的角的顶点与点重合时， 同Ⅰ可得，， ， ， 点的横坐标为， 当时，， 故答案为：或． 【点睛】本题为圆的综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，二次函数的图象与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期末考试 九年级数学试题卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 已知点与点关于原点对称，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的盒子中装有n个除颜色外完全相同的球，其中有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则n的值大约为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 6. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣ ，结合图象分析下列结论： ①abc＞0； ②3a+c＞0； ③当x＜0时，y随x的增大而增大； ④＜0； ⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2． 其中正确的结论有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的表达式是______． 8. 如果两个相似三角形的相似比是2:3，那么它们的周长比是_______． 9. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系是_____（用“”号连接）． 10. 我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x步，那么根据题意列出的方程为_____． 11. 如图，一段抛物线：记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于另一点；将绕点旋转得，交轴于另一点；……如此进行下去，则顶点坐标是______． 12. 如图，为边长为的等边三角形，，，P为边上动点，以的速度从B向C运动，假设P点运动时间为，当______s时，与相似． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）如图，在中，，两点分别在，边上，，如果，，求的长． 14. 为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是　 　． （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率． 15. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线． 16. 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度：y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… （1）在整改过程中，当时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）该企业所排污水中硫化物浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 17. 如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD． （1）求证：； （2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平行四边形中，连接DB，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且． （1）求证：； （2）如果，求的长． 19. 如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．E是AB下半圆弧中点，连接CE交AD于F． （1）求证：CD与⊙O相切． （2） AF=8，EF=2，求⊙O的半径． 20. 如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG=x mm，EF=y mm． （1）写出x与y的关系式； （2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8mA处射门，已知球门高为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系． （1）求抛物线表示的二次函数解析式； （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方处． 22. 阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以 根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________． （2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有些与圆有关的几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 【学习感悟】 （1）如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点，必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到_______． 【问题解决】 （2）如图2，在四边形中，，，求度数． 【问题拓展】 （3）抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，点在抛物线上，直线交轴于点，连接． ①若含角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与重合，直角顶点在上，另一顶点E在上，求点的坐标； ②若含角的直角三角板一个顶点与点重合，直角顶点在上，另一个顶点在上，点与点，点不重合，直接写出点的坐标： ____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$