精品解析：湖南常德市临澧县2025年下学期期末质量监测八年级数学试卷

2025年下学期期末质量监测试卷 八年级数学 （本试卷共6页．时量120分钟．满分120分．） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若分式的值为0，则实数的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. -3 2. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，用尺规作“一个角等于已知角”的过程中，作出的依据是（ ） A. 边边边 B. 边角边 C. 角边角 D. 角角边 5. 如图，，则度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，若测得木棍长为6米，且点P是木棍的中点，则O，P两点间的距离为（　　） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 3米 7. 在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 平分 8. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（ ） A B. 7 C. D. 10 10. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（ ） A. 1013 B. 2027 C. 2026 D. 2025 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 因式分解：______． 12. 一个三角形的两边长为2和3，则第三条边的长可以是______  写出一个即可 13. 把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果那么”的形式：__________． 14. 图2是图1折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度，则______． 15. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接．若，，则的长为_____． 16. 在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为___． 17. 在中，，点在射线上，，连接，，则________度． 18. 如图，，，平分，，交延长线于，且垂足为，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有__________（填写序号）． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程：． 20. 计算：． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，四边形的对角线交于点，．若_________，则． 从①，②，③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 23. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成角． （1）求端点到底座的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座距离减少了多少？ 24. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式：． （2）已知、、分别是三边的边长且满足，请判断的形状，并说明理由． 25. 如图，在中，，为边上一点，且，，，点是边上的动点，连接． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的长； （3）当是直角三角形时，求的长． 26. （1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：； （2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末质量监测试卷 八年级数学 （本试卷共6页．时量120分钟．满分120分．） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 若分式的值为0，则实数的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 2. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式运算、分式的乘方及同底数幂的除法法则，需根据各运算法则逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：∵与不是同类二次根式，不能合并， ∴A选项错误； ∵===2≠， ∴B选项错误； ∵=≠， ∴C选项错误； ∵==， ∴D选项正确； 故选：D． 4. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，用尺规作“一个角等于已知角”的过程中，作出的依据是（ ） A. 边边边 B. 边角边 C. 角边角 D. 角角边 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定．根据尺规作图的过程可知，，，再根据全等三角形的判定定理得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，，， ∴ ∴的依据是边边边． 故选：A． 5. 如图，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 故选：B． 6. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，若测得木棍长为6米，且点P是木棍的中点，则O，P两点间的距离为（　　） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 3米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，点P是的中点， 则（米）， 故选：D． 7. 在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A B. C. D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 8. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 9. 如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（ ） A. B. 7 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出．根据题意得出，得出正方形的面积为． 【详解】解：顶点在数轴上表示的数为1，，点所表示的数为， ， 正方形面积为， 故选：． 10. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（ ） A. 1013 B. 2027 C. 2026 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了“勾股树”中的规律问题，找出第代勾股树中所有正方形的面积和为，即可求解． 【详解】解：第１代勾股树中所有正方形的面积和为， 第２代勾股树中所有正方形的面积和为， 第３代勾股树中所有正方形的面积和为， 第代勾股树中所有正方形的面积和为， 第2026代勾股树中所有正方形的面积和为， 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式a进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 一个三角形的两边长为2和3，则第三条边的长可以是______  写出一个即可 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，理解三角形三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系，第三边大于两边之差且小于两边之和． 【详解】解：设第三边长为c，根据三角形三边关系，有，即， 因此，第三边的长可以是2． 故答案为：2（答案不唯一）． 13. 把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果那么”的形式：__________． 【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等． 【解析】 【分析】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，解题的关键是熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论． 根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解． 【详解】解：∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，结论是：对应角相等， ∴命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等． 故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等． 14. 图2是图1折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度，则______． 【答案】36 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，以及三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理．利用定理判定，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵O是和的中点， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：36． 15. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了基本作图-作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质即可得到，求得的长，进而可得到的长． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 16. 在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据第一列和第一行相乘得到同样的结果，列出方程，解出即可． 【详解】解：由题意，第一列和第一行相乘得到同样的结果，即， ∴， 故答案为：． 17. 在中，，点在射线上，，连接，，则________度． 【答案】45或65 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和问题，分点在线段上和在射线的延长线上两种情况讨论，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当点在线段上时， ，， ， ， ， 在中，； 如图：当点在射线的延长线上时， ，， ， ， ， 在中，； 综上所述，或度， 故答案为：或． 18. 如图，，，平分，，交延长线于，且垂足为，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有__________（填写序号）． 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理． 证明，可知，即；由平分得到，进而可知；过D作于Q，则，根据角平分线的性质定理得到，即，根据的边上的高和的边上的高相同可知；证明，得到，即可求出；证明，得到，进而可知． 详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴由三角形内角和定理得：， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴，①错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴，②正确； 过D作于Q， 则， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相同， ∴，④错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在直角和直角中，，， ∴（）， ∴， ∴，③正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∵， ∴，⑤正确； 故答案为：②③⑤． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，在方程两边同时乘以得一元一次方程，解方程，检验，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得， 解得， 检验：当时，， 原方程的解为． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数混合运算，二次根式乘除、负指数幂、零指数幂；先进行二次根式乘除运算、负指数幂运算、零指数幂运算，再进行加减运算，即可求解． 【详解】解：原式 ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 22. 如图，四边形的对角线交于点，．若_________，则． 从①，②，③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】①（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由边的关系与角的关系得到三角形全等是解决本题的关键． 选择①：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得，再由角边角的证明方法即可证明与全等，由此可得结论； 选择②：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得，再由角角边的证明方法即可证明与全等，由此可得结论． 【详解】解：选择①， ∵， ∴， ∵，且， 在与中， 由， ∴≌， ∴； 故答案为：①． 选择②， ∵， ∴， ∵， 在与中， 由， ∴≌， ∴． 故答案为：②． 23. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点到底座的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）过点C作于点F，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）过点C作于点F，利用直角三角形的性质求出旋转后点C离底座的距离，即可求出降低了多少． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点C到底座的距离为：． 【小问2详解】 解：过点C作于点F，如图所示： 旋转后， ∵， ∴， ∴点C到底座的距离为：． ∴端点到底座的距离减少了． 24. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式：． （2）已知、、分别是三边的边长且满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，因式分解，用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，平方差公式及完全平方公式，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是解题关键． （1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解； （2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 等边三角形，理由如下： ， ， ， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， ， ． 的形状是等边三角形． 25. 如图，在中，，为边上一点，且，，，点是边上的动点，连接． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的长； （3）当是直角三角形时，求的长． 【答案】（1）是直角三角形，理由见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理和等腰直角三角形的性质，解决此题的关键是注意分类讨论； （1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案； （2）根据勾股勾股定理即可得到答案； （3）不知道哪个角是直角，所以要分情况讨论； 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下： ∵， ，， ∴， ， ∴， ∴ ∴是直角三角形且； 【小问2详解】 解：∵， ， ∴， 由（1）可知：； 又， 在中， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得：， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，\ 综上可知：当是直角三角形时，的长为或． 26. （1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：； （2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． （1）考虑一线三垂直模型，先推导得到，然后证明； （2）先大胆猜想，然后证明，利用推导得到，证得，进而得到，，通过等量替换进而完成证明； （3）作辅助线，过点作交的延长线于点，过点作于点，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】解：（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ； （2），理由如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ； （3）过点作交延长线于点，过点作于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ，同理可证明：， ， ， ， 的面积等于40． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $