专题01幂的乘除（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题01幂的乘除 【题型01 同底数幂相乘】.............................................2 【题型02 用科学记数法表示数的乘法】.................................4 【题型03 幂的乘方运算】.............................................5 【题型04 幂的乘方的逆用】...........................................7 【题型05 积的乘方运算】.............................................8 【题型06 同底数幂的除法运算】......................................11 【题型07 零指数幂】................................................12 【题型08 负整数指数幂】............................................14 【题型09 用科学记数法表示绝对值大于1的数】........................15 【题型10 用科学记数法表示绝对值小于1的数】........................17 【题型11 同底数幂乘法的逆用】......................................18 【题型12 积的乘方的逆用】..........................................20 【题型13 同底数幂除法的逆用】......................................22 【题型14 幂的混合运算】............................................23 【题型15 解答题6题】..............................................25 知识梳理 知识点01:幂的乘方 公式(am)n=amn 文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 注意：指数是乘法，不是加法。 知识点02:积的乘方 公式(ab)n=anbn 文字：积的乘方，等于把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 推广：(abc)n=anbncn 知识点03:同底数幂的乘法 公式aman=am+n 文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 前提：底数必须相同。 知识点04:同底数幂的除法 公式am÷an=am−n(a0, m>n) 文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 知识点05:零指数幂 a0=1(a0) 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1。 知识点06:负整数指数幂 (ap为正整数) 负指数 = 倒数正指数。 知识点07:易错点总结 1.混淆：(am)n 是指数相乘，aman 是指数相加。 2.符号：(−a)n 要看 n 奇偶，−an 只给 a 乘方。 3.前提：除法、0 次幂、负指数都要求 底数≠0。 【题型1.同底数幂相乘】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】该题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂的运算，解题关键是将常数转化为同底数幂，熟练运用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则． 先将8转化为以2为底的幂，再运用同底数幂的乘法法则计算，最后匹配选项得到结果． 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故选：D． 【跟踪专练2】若（a，b是常数），则a，b满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘的法则和幂的乘方法则，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据乘法的意义，乘方的意义，以及同底数幂相乘的法则和幂的乘方法则，分别将等号左右两边都转化成以2为底的幂的形式，即可得解． 【详解】解：， ， 且， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用． 由得，根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，∴ ∵ ∴，即，A正确 对于B∶，但，故，所以B错误 对于C∶，不是常数，且不等于2，故C错误 对于D∶，而，所以，故D错误 故选A． 【题型2.用科学记数法表示数的乘法】 【典例】用科学记数法表示： ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则求解，然后用科学记数法表示即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【跟踪专练1】U盘是闪存盘的简称，它可以方便地在不同设备间传输文件、照片、音乐等，实现数据共享，常见的盘有：、、等，若，，，则的盘容量是（   ） A．5 B．5 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的应用，理解题意及掌握此法则是解题的关键；把化为，再化为，最后化为即可求解． 【详解】解：； 故选：B． 【跟踪专练2】一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 【跟踪专练3】综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选D． 【题型3.幂的乘方运算】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方．根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 【跟踪专练1】若，则，的值分别为（    ） A．9，5 B．3，5 C．5，3 D．3，12 【答案】B 【分析】先根据积的乘方与幂的乘方法则，对等式左边进行化简，再通过等式两边对应字母的指数相等，建立方程求出 m 和 n 的值，最后与选项进行比对． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ 且 ， ∴ ，． 故选：B． 【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，解题关键是熟练掌握幂的运算法则，并通过指数相等建立方程求解． 【跟踪专练2】若，则．根据此结论，解决问题：若，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了幂的乘方的应用，包括正用与逆用，掌握幂的乘方法则是关键；将方程化为同底数幂的形式，利用指数相等求解． 【详解】解：由，得． 所以． 因此． 根据题意，若（，），则， 所以，解得． 故答案为：4． 【跟踪专练3】下列四个算式中，正确的有（   ） ①；②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方运算法则与符号处理，掌握幂的乘方指数相乘，以及多层符号的化简规则是解题的关键． 根据指数运算法则和符号规则，逐一判断每个算式的正确性． 【详解】解：① ∵ ，而原式写为 ，错误，不符合题意； ② ∵ ，且指数相乘过程正确，正确，符合题意； ③ ∵ ，∴ ，正确，符合题意； ④ ∵ ，∴ ，错误，不符合题意； ∴正确的有②和③，共个． 故选：C． 【题型4.幂的乘方的逆用】 【典例】若，，为正整数，则 ． 【答案】200 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算公式是解题的关键． 对进行变形可得，再计算即可． 【详解】解：∵，（m，n为正整数）， ∴ ． 故答案为：200． 【跟踪专练1】已知，则的值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，根据得到，将变形为，再整体代入求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：D． 【跟踪专练2】已知n是正整数，且，则 ． 【答案】184 【分析】本题考查幂的运算，根据积的乘方对式子化简，再逆用幂的乘方进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 【跟踪专练3】若，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】将所求表达式利用指数法则化简为，再根据已知条件求出的值． 本题主要考查了同底数幂除法以及幂的乘方的逆应用，熟练掌握并运用是解决问题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 【题型5.积的乘方运算】 【典例】 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算．应用积的乘方法则进行计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查指数运算法则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方以及负指数运算． 通过同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方以及负指数运算的运算法则去判断每一项即可． 【详解】解： A、，错误； B、，错误； C、，正确； D、，错误． 故选：C． 【跟踪专练2】若且为整数，能整除的有 个． 【答案】/四 【分析】本题考查了本题考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是正确推理计算．首先将表达式分解质因数，然后找出中能整除的整数即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故 ； ∵且为整数， 故的值可以为、、、、、、、； ，故能整除； ，故能整除； ，故能整除； ，故能整除； 综上，符合条件的为、、、，共个． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列结论中，正确的个数是（   ） ①当m为正整数时，等式一定成立；②等式，无论m为何值，都不成立；③等式，，都不成立；④等式，都不一定成立． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 分为正奇数、为正偶数两种情况进行讨论，即可判断结论①；分为奇数、为偶数两种情况进行讨论，即可判断结论②；当时，等式成立，无论取何值，等式，均成立，由此即可判断结论③；分别对为偶数、为奇数以及为偶数、为奇数两种情况进行讨论，即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：①当为正奇数时，等式一定成立， 当为正偶数时，，等式不成立， 故结论①错误； ②当为奇数时，，等式不成立， 当为偶数时，等式成立， 故结论②错误； ③当时，等式成立， 无论取何值，等式，均成立， 故结论③错误； ④当为偶数时，， 当为奇数时，， 等式不一定成立， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 等式不一定成立， 故结论④正确； 综上，正确的结论为，共个， 故选：． 【题型6.同底数幂的除法运算】 【典例】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则．利用同底数幂的除法法则，将指数相减转化为幂的除法，再代入已知值计算 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，且，，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂的除法法则，将已知条件、代入公式直接计算． 【详解】解：根据同底数幂的除法法则： 将、代入得： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法法则，解题关键是熟练掌握的变形，直接代入已知值计算即可． 【跟踪专练2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方和同底数幂的运算，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键． 利用指数法则和有理数运算规则，先将负数的偶次幂化为正，再合并底数相同的指数项进行计算． 【详解】解：原式为． 由于指数2026是偶数，因此． 原式化为． 根据指数运算法则，，得． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，若，则（   ） A．2025 B．4050 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法的定义，乘方的定义，同底数幂的除法，根据乘法的定义和幂的定义先计算等式，然后根据同底数幂的除法解答即可． 【详解】解：， ， ∴， 故选：D 【题型7.零指数幂】 【典例】计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了零指数幂．根据零指数幂的法则，任何非零数的零次幂都等于1． 【详解】解：因为， 所以根据零指数幂的定义，得． 故答案为：1． 【跟踪专练1】如果不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了零指数幂有意义的条件．根据零指数幂成立的条件是底数，当该等式不成立时，底数为0，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵不成立， ∴， ∴． 故选：D 【跟踪专练2】若等式成立，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了零指数幂以及乘方运算，掌握相关运算法则是解题关键，注意分类讨论．根据零指数幂的性质，乘方的运算法则分类讨论求解即可． 【详解】解：①当时，解得：， ∴ 此时，符合题意； ②当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； ③当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； 综上可知，x的值为或或． 故答案为：或或． 【跟踪专练3】已知：、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是有理数的比较大小，掌握乘方的意义、负指数幂的性质和零指数幂的性质是解题关键．根据乘方的意义、负指数幂的性质和零指数幂的性质求出、、的值，比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴，，, ∵ ∴ ． 故选：D． 【题型8.负整数指数幂】 【典例】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，利用负指数幂的定义直接计算，即可解题． 【详解】解：根据负整数指数幂的运算法则，（其中 ）， 所以． 故答案为：． 【跟踪专练1】计算，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了负整数指数幂．利用负指数幂的定义，将原式转化为其倒数的正指数幂形式，求其倒数即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 【跟踪专练2】当 时，成立． 【答案】或/或 【分析】本题可根据负整数指数幂的运算法则，将转化为常规方程，进而求解的值．本题主要考查了负整数指数幂的运算，熟练掌握负整数指数幂的运算法则“（，为正整数）”是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 当时，； 当时，． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先依据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂分别计算a、b、c的值，再比较大小． 【详解】解：，，， 则， 故选：A． 【题型9.用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【典例】火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约为55000000km，数据55000000用科学记数法表示为： ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法“（其中为整数）”的形式规则． 根据科学记数法的定义，将数字表示为的形式，其中，为整数 【详解】解：数字， 故答案为：． 【跟踪专练1】拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．将“3240万”转换为数字32400000，再根据科学记数法规则表示即可． 【详解】解：∵3240万， ∴， 故选C． 【跟踪专练2】2024年世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，是中国羽毛球协会、杭州市人民政府主办的世界羽联巡回赛体系中最高级别赛事，也是2024年世界羽联世界巡回赛事收官战，该赛事奖金总额达到万美元．数据万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，表现形式为的形式，其中，为正整数，据此即可求得答案． 【详解】解：万， 故答案为：． 【跟踪专练3】生物学指出，在生物链中大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第个营养级，），要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为（用科学记数法表示）（    ）． A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 【答案】B 【分析】根据的能量能够流动到下一个营养级可知：要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为千焦，以此类推．设需要提供的能量约为x千焦．根据题意列方程计算，即得． 本题主要考查了乘方的应用．熟练掌握乘方的意义及运算法则，是解决问题的关键． 【详解】设需要提供的能量约为x千焦． 根据题意得：， ∴， 解得，， ∴需要提供的能量约为千焦． 故选：B． 【题型10.用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【典例】将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，依题意解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据0.0000004用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据0.0000004用科学记数法表示为， 故选：A． 【跟踪专练2】中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米米，将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练3】一张纸的规格为，它的面积约为平方千米，该数据用科学记数法表示为平方千米，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可．也考查了一元一次方程的应用． 【详解】解：∵数据用科学记数法表示为平方千米， ∴， 解得：， 故选：C． 【题型11.同底数幂乘法的逆用】 【典例】若，，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据题意可知，然后将已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：15． 【跟踪专练1】的计算结果是（    ） A．0.5 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、同底数幂乘法的逆用及有理数的乘方，解答的关键是掌握积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用．逆用积的乘方公式和同底数幂乘法公式解答即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【跟踪专练2】已知，，则 ．（用含x，y的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查幂的乘方及同底数幂的乘法进行变形，进而解决问题．利用指数运算性质，将分解为，再分别用和表示各部分． 【详解】由已知 ，得 ； 由 ，且 ，得 ， 所以 ； 因此 ． 故答案为：． 【跟踪专练3】规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，同底数幂的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据规定将符号转化为指数形式，再利用 和同底数幂相乘的法则求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； 又 ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故选：A． 【题型12.积的乘方的逆用】 【典例】计算：= ． 【答案】1 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握积的乘方的逆运算是解决本题的关键． 根据积的乘方的逆运算进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1 ． 【跟踪专练1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，乘法运算律，先把原式变形为，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 故选：D 【跟踪专练2】计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． 先根据同底数幂乘法的逆用将改写成，再根据积的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解： ． 【跟踪专练3】当，时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，积的乘方的逆用，熟练应用积的乘方的逆用是解题的关键． 根据积的乘方的逆用把原式变形为，再代入求值即可． 【详解】解：， ∵，， ∴原式， 故选：D． 【题型13.同底数幂除法的逆用】 【典例】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键． 直接利用同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相除的逆运算，先整理，再把，分别代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：A 【跟踪专练2】若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，逆用幂的乘方和同底数幂的除法是解题的关键．利用指数运算法则，将转化为，再代入已知值计算． 【详解】解：由，得， 由，得． 故答案为． 【跟踪专练3】已知，均为正整数，且，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法．逆用幂的乘方和同底数幂的除法法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【题型14.幂的混合运算】 【典例】计算： 【答案】 【分析】按照先乘方后乘除的顺序计算即可 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，积的乘方运算法则，即可判断答案． 【详解】解：A、因为，所以选项A错误，不符合题意； B、因为，所以选项B错误，不符合题意； C、因为，所以选项C错误，不符合题意； D、因为，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法可得，再根据幂的乘方可得，然后再代入，求值即可． 【详解】解： ， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． 【跟踪专练3】已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 解答题 1．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的运算以及积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键； （1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、有理数的乘方运算法则、绝对值的性质分别化简，进而得出答案； （2）直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而合并同类项得出答案． （3）先把底数化为相同，再利用同底数幂的乘法计算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ； 2．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：， ； （2）解：，，， ． 3．比一比谁算得快． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)100000 (2)1 (3)1 (4)4 【分析】本题主要考查了积的乘方逆用，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则，“积的乘方等于积中各个因式分别乘方”．逆用积的乘方运算法则，逐项进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．1微米约为一根头发直径的六十分之一，一根头发的直径大约是多少米？一根头发的横截面积为多少平方米？一般人约有万根头发，把这些头发捆起来的横截面约为多少平方米？（约为1m的一百万分之一，取） 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积公式和长度单位之间的换算，熟练掌握长度单位之间的换算是解题的关键，根据题意分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题可得： 一根头发的直径约为：，则一根头发的半径为：， ∴一根头发的横截面积为：， ∴万根头发的横截面约为：， 答：一根头发的直径大约是，一根头发的横截面积为，万根头发的横截面约为． 5．计算： (1)（是正整数）； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法． (1)根据同底数幂相除，底数不为0，指数相减，进行计算； (2)根据同底数幂的乘法法则和同底数幂的除法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法； （2）先计算幂的乘方，再合并同类项； （3）先计算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01幂的乘除 【题型01 同底数幂相乘】.............................................2 【题型02 用科学记数法表示数的乘法】.................................2 【题型03 幂的乘方运算】.............................................3 【题型04 幂的乘方的逆用】...........................................3 【题型05 积的乘方运算】.............................................3 【题型06 同底数幂的除法运算】.......................................4 【题型07 零指数幂】.................................................4 【题型08 负整数指数幂】.............................................4 【题型09 用科学记数法表示绝对值大于1的数】.........................5 【题型10 用科学记数法表示绝对值小于1的数】.........................5 【题型11 同底数幂乘法的逆用】.......................................6 【题型12 积的乘方的逆用】...........................................6 【题型13 同底数幂除法的逆用】.......................................6 【题型14 幂的混合运算】.............................................7 【题型15 解答题6题】...............................................7 知识梳理 知识点01:幂的乘方 公式(am)n=amn 文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 注意：指数是乘法，不是加法。 知识点02:积的乘方 公式(ab)n=anbn 文字：积的乘方，等于把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 推广：(abc)n=anbncn 知识点03:同底数幂的乘法 公式aman=am+n 文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 前提：底数必须相同。 知识点04:同底数幂的除法 公式am÷an=am−n(a0, m>n) 文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 知识点05:零指数幂 a0=1(a0) 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1。 知识点06:负整数指数幂 (ap为正整数) 知识点07:易错点总结 1.混淆：(am)n 是指数相乘，aman 是指数相加。 2.符号：(−a)n 要看 n 奇偶，−an 只给 a 乘方。 3.前提：除法、0 次幂、负指数都要求 底数≠0。 【题型1.同底数幂相乘】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若（a，b是常数），则a，b满足的关系式是 ． 【跟踪专练3】设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 【题型2.用科学记数法表示数的乘法】 【典例】用科学记数法表示： ． 【跟踪专练1】U盘是闪存盘的简称，它可以方便地在不同设备间传输文件、照片、音乐等，实现数据共享，常见的盘有：、、等，若，，，则的盘容量是（   ） A．5 B．5 C． D．2 【跟踪专练2】一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 【跟踪专练3】综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【题型3.幂的乘方运算】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】若，则，的值分别为（    ） A．9，5 B．3，5 C．5，3 D．3，12 【跟踪专练2】若，则．根据此结论，解决问题：若，则x的值为 ． 【跟踪专练3】下列四个算式中，正确的有（   ） ①；②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型4.幂的乘方的逆用】 【典例】若，，为正整数，则 ． 【跟踪专练1】已知，则的值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 【跟踪专练2】已知n是正整数，且，则 ． 【跟踪专练3】若，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【题型5.积的乘方运算】 【典例】 ． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若且为整数，能整除的有 个． 【跟踪专练3】下列结论中，正确的个数是（   ） ①当m为正整数时，等式一定成立；②等式，无论m为何值，都不成立；③等式，，都不成立；④等式，都不一定成立． A．0 B．1 C．2 D．3 【题型6.同底数幂的除法运算】 【典例】已知，则的值为 ． 【跟踪专练1】若，且，，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【跟踪专练2】计算： ． 【跟踪专练3】已知，若，则（   ） A．2025 B．4050 C． D． 【题型7.零指数幂】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】如果不成立，那么a的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【跟踪专练2】若等式成立，则的值为 ． 【跟踪专练3】已知：、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型8.负整数指数幂】 【典例】计算 ． 【跟踪专练1】计算，正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】当 时，成立． 【跟踪专练3】如果，，，那么它们的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型9.用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【典例】火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约为55000000km，数据55000000用科学记数法表示为： ． 【跟踪专练1】拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】2024年世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，是中国羽毛球协会、杭州市人民政府主办的世界羽联巡回赛体系中最高级别赛事，也是2024年世界羽联世界巡回赛事收官战，该赛事奖金总额达到万美元．数据万用科学记数法表示为 ． 【跟踪专练3】生物学指出，在生物链中大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第个营养级，），要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为（用科学记数法表示）（    ）． A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 【题型10.用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【典例】将用科学记数法表示为 ． 【跟踪专练1】“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据0.0000004用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米米，将用科学记数法表示为 ． 【跟踪专练3】一张纸的规格为，它的面积约为平方千米，该数据用科学记数法表示为平方千米，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【题型11.同底数幂乘法的逆用】 【典例】若，，则 ． 【跟踪专练1】的计算结果是（    ） A．0.5 B． C．1 D． 【跟踪专练2】已知，，则 ．（用含x，y的代数式表示） 【跟踪专练3】规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 【题型12.积的乘方的逆用】 【典例】计算：= ． 【跟踪专练1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算： ． 【跟踪专练3】当，时，的值为（   ） A． B． C． D． 【题型13.同底数幂除法的逆用】 【典例】若，则 ． 【跟踪专练1】若，，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【跟踪专练2】若，，则 ． 【跟踪专练3】已知，均为正整数，且，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【题型14.幂的混合运算】 【典例】计算： 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，，则的值为 ． 【跟踪专练3】已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解答题 1．计算： (1) (2) (3) 2．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 3．比一比谁算得快． (1)； (2)； (3)； (4)． 4．1微米约为一根头发直径的六十分之一，一根头发的直径大约是多少米？一根头发的横截面积为多少平方米？一般人约有万根头发，把这些头发捆起来的横截面约为多少平方米？（约为1m的一百万分之一，取） 5．计算： (1)（是正整数）； (2)． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $