精品解析：湖南衡阳市祁东县2025-2026学年上学期期末教学质量监测九年级数学试卷

祁东县2025年下期期末教学质量监测试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题有唯一正确答案） 1. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 瓜熟蒂落 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 水中捞月 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、瓜熟蒂落是必然事件； B、守株待兔是随机事件； C、水涨船高是必然事件； D、水中捞月是不可能事件； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，根据二次根式的加减乘除运算法则计算解答即可． 【详解】解：A. 不是同类二次根式，无法计算，本选项运算错误； B. ，本选项运算错误； C. ，本选项运算正确； D. ，本选项运算错误； 故选：C． 3. 将函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”求出得到的抛物线的解析式即可． 【详解】解：将函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为． 故选：C． 4. 如图，点在上，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半进行解答即可． 【详解】解：∵与所对的弧相同，， ∴， 故选：B 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 故选：D． 6. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，把代入方程，求出k的值，然后结合一元二次方程定义求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得 ， ∵方程是一元二次方程， ∴ ， 解得 ∴ 故选 ：B． 7. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作于，首先根据勾股定理求出，然后在中即可求出的值． 【详解】如图，过作于，则， AC＝＝5． ． 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 8. 如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。 【详解】解：因为AD垂直BC， 则△ABD和△ACD都是直角三角形， 又因为 所以AD=， 因为sin∠C=， 所以AC=2， 因为EF为△ABC的中位线， 所以EF==1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键． 9. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A 10. 已知二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点B的坐标为其图象如图所示，下列结论：①； ②； ③一元二次方程的两个根是和1；④当时，；⑤当时，y随x的增大而增大；⑥若点，，是函数图象上的三点，则，其中正确的有（　　）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据开口向上，故，再由对称轴为，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，可得，，可得，①正确；根据对称轴为直线，通过变形可求出，②正确；求出抛物线与x轴的另一个交点为，然后可得③正确；观察图象得，当，即函数图象在x轴的上方时，或，④错误；根据对称轴是直线，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大可得⑤正确；由抛物线的对称性可知，和时的函数值相等，都是，然后根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：由抛物线的开口向上，可得， ∵对称轴是直线， ∴ a、b同号，即， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴， ∴，①正确； ∵对称轴是直线， ∴，即，②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点B的坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴一元二次方程的两个根是和1，③正确； 由图象可知：时，x的取值范围为或，④错误； ∵对称轴是直线，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大，⑤正确； 由抛物线的对称性可知，和时的函数值相等，都是，且在对称轴的左侧y随x的增大而减小， ∵， ∴，⑥错误； 综上所述，正确的结论有4个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线的对称轴公式以及对称性是解决问题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．由可设，再代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：6． 12. 已知x，y为实数，若满足，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：有意义， 故， 解得， 故， 故， 故答案为：5. 13. 二次函数的图象关于直线对称，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称轴，熟练掌握对称轴是解题的关键． 根据对称轴为直线，解方程即可求出的值． 【详解】解：根据题意可知二次函数的对称轴为直线， ， 即， 解得． 故答案为：2． 14. 在中，，则的度数为___________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，平方数的非负性，锐角三角函数值的计算，三角形内角和定理，根据非负性可得，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握特殊角的三角函数值的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠BAC=45°，则折叠后重叠部分的面积为_____cm2． 【答案】． 【解析】 【分析】如图，作CH⊥AB于H．首先证明AC-=AB，△ACH是等腰直角三角形，求出AB、CH即可解决问题． 【详解】如图，作CH⊥AB于H． ∵∠1=∠2，∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴AC=AB， ∵∠CAB=45°，∠AHC=90°， ∴∠CAH=∠HCA=45°， ∴AH=CH=1，AC=AB=， ∴S△ABC=•AB•CH=， 故答案为：． 【点睛】此题考查翻折变换、勾股定理、三角形的面积公式，熟知图形翻折不变性的性质是解题的关键. 16. 如图，四边形中，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点B重合），点分别为的中点，则长度的最大值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理；找出取得最值的条件是解题的关键；连接，，由三角形中位线定理得，当取得最大值时，取得最大值，当与重合时，取得最大值，由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，， 点分别为的中点， ， 当取得最大值时，取得最大值， 当与重合时，取得最大值， 此时 ， 取得最大值为， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，按照立方根，二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值以及化简绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将括号内式子通分，变分式除法为乘法，约分化简，再将代入求值． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式的运算法则． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值． 【答案】（1） 证明：， 不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）15 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论； （2）利用根与系数的关系求得，，代入，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ， ， ． 解得． 20. 我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题． （1）成绩为“B等级”的学生人数有 名； （2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中m的值为 ； （3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率． 【答案】（1）5（2）72°；40（3） 【解析】 【分析】（1）先根据“A等级”的人数及占比求出学生总人数，再减去各组人数即可求出成绩为“B等级”的学生人数； （2）根据“D等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C等级”的人数即可求出m的值； （3）根据题意画树状图，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）学生总人数为3÷15%=20（人） ∴成绩为“B等级”的学生人数有20-3-8-4=5（人） 故答案为：5； （2）“D等级”的扇形的圆心角度数为 m=， 故答案为：72°；40； （3）根据题意画树状图如下： ∴P（女生被选中）=． 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出学生总人数及概率的求解方法． 21. 某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，准备购买A，B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷3顶，则需4600元；若购买A种型号帐篷5顶和B种型号帐篷6顶，则需10000元． （1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格； （2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共28顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷数量不低于购买A种型号帐篷数量的3倍，请设计出最省钱的购置方案，并求出最少的费用． 【答案】（1）每顶种型号帐篷的价格为800元，每顶种型号帐篷的价格为1000元 （2）当种型号帐篷为7顶时，种型号帐篷为21顶时，总费用最低，为26600元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用及一次函数的应用，找出准确的等量关系及不等关系是解题的关键． （1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答案； （2）根据购买种型号帐篷数量不低于购买种型号帐篷数量的3倍，列出一元一次不等式，得出种型号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取种型号帐篷数量的最小值时总费用最少，从而得出答案． 【小问1详解】 解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元． 根据题意列方程组为：， 解得：， 答：每顶种型号帐篷的价格为800元，每顶种型号帐篷的价格为1000元． 【小问2详解】 解：设种型号帐篷购买顶，总费用为元，则种型号帐篷为顶， 由题意得， 其中，得， ∵， ∴随m的增大而减小， 故当种型号帐篷为7顶时，总费用最低，总费用为， 答：当种型号帐篷为7顶时，种型号帐篷为21顶时，总费用最低，为26600元． 22. 如图1是我们衡阳市的地标建筑 “首峰之眼”摩天轮．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是摩天轮垂直地面的直径，小颖想利用数学知识实地测量该摩天轮的高度，她在A处测得摩天轮顶端M的仰角为，接着沿水平方向向左行走米到达点B，再沿着坡度的斜坡走了米到达点C，最后再沿水平方向向左行走米到达摩天轮最低点N处（A，B，C，M，N均在同一平面内）． （1）求点C到的距离； （2）求摩天轮的高度．（结果精确到1米）（参考数据：） 【答案】（1）12米 （2）88米 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用． （1）过点作，垂足为．在中，，设，得到，解得，则米．米； （2）延长交于点，证明四边形是矩形．则米，米．得到米，在中，由得到，即可求出摩天轮的高度． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为． 在中， 设 解得 则米．米． 答：点到的距离是12米． 【小问2详解】 延长交于点， ∵，由题意知， 四边形是矩形． 米，米． （米） 在中，∵， （米）． （米）． 23. 如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， （1）当x为何值时，； （2）当时，求的值； （3）能否与相似，若能，求出AP的长，若不能，请说明理由． 【答案】（1）当时， （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质； （1）当时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于，，，的比例关系式，我们可根据，的速度，用时间表示出，，然后根据得出的关系式求出的值． （2）由可得，再根据等高求出，，最后根据求解即可． （3）本题要分两种情况进行讨论．已知了和对应相等，那么就要分成和对应成比例以及和对应成比例两种情况来求的值． 【小问1详解】 由题意得，，，，， ∵， ∴， ， ， 即当时，； 【小问2详解】 ∵， ，， ∴ ∴， ∴，， ∴, ∴ 即； 【小问3详解】 存在． ， ， 要使 只需． 此时， 解得：， ； 要使， ， ， （舍或， ， 即：的长为或． 24. 定义：在平面直角坐标系中，图形G上点的纵坐标y与其横坐标x的和称为P点的“船山和”，而图形G上所有点的“船山和”中的最大值称为图形G的“船山优值”． （1）①点的“船山和”为______． ②点是抛物线上的任意一点，当点M的“船山和”为抛物线的“船山优值”时，则点M的坐标是______． （2）某二次函数的“船山优值”为2，且对称轴位于y轴右侧，点与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“船山和”相反． ①直接写出_______（用含c的式子表示）： ②求此二次函数的表达式． ③若点P是该抛物线对称轴上一动点，点Q是x轴上一动点，是否存在以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①1；② （2）①；②；③或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，坐标与图形： （1）①根据“船山和”的定义进行求解即可；②先求出点M的“船山和”为，再由点M的“船山和”为抛物线的“船山优值”，得到取最大值，据此可得答案； （2）①先求出，再由点B与点C的“船山和”相反进行求解即可；②，把代入中得：，求出，再由二次函数的“船山优值”为2，得到的最大值为2，则，解得，再由对称轴位于y轴右侧，得到，则抛物线解析式为；③由（2）得，求出抛物线对称轴为直线，设，然后分当为对角线时，当为对角线时， 当为对角线时，三种情况由对角线的中点重合列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴点的“船山和”为1， 故答案为：1； ②∵点是抛物线上的任意一点， ∴点M的“船山和”为， ∵点M的“船山和”为抛物线的“船山优值”， ∴取最大值， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①∵点与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点， ∴， 又∵点B与点C的“船山和”相反， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 把代入中得：， ∴， ∵二次函数的“船山优值”为2， ∴的最大值为2，即的最大值为2， ∴， 解得， ∵对称轴位于y轴右侧， ∴，即， ∴， ∴抛物线解析式为； ③由（2）得， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， 当为对角线时，由于的中点重合， ∴ ， ∴， ∴； 当为对角线时，由于的中点重合， ∴ ， ∴， ∴； 当为对角线时，由于的中点重合， ∴ ， ∴， ∴； 综上所述，点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祁东县2025年下期期末教学质量监测试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题有唯一正确答案） 1. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 瓜熟蒂落 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 水中捞月 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，点在上，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 或2 7. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 9. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A. B. 4 C. D. 5 10. 已知二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点B的坐标为其图象如图所示，下列结论：①； ②； ③一元二次方程的两个根是和1；④当时，；⑤当时，y随x的增大而增大；⑥若点，，是函数图象上的三点，则，其中正确的有（　　）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若，则_____． 12. 已知x，y为实数，若满足，则的值为______． 13. 二次函数的图象关于直线对称，则___________． 14. 在中，，则的度数为___________ 15. 如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠BAC=45°，则折叠后重叠部分的面积为_____cm2． 16. 如图，四边形中，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点B重合），点分别为的中点，则长度的最大值为___________． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值． 20. 我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题． （1）成绩为“B等级”的学生人数有 名； （2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中m的值为 ； （3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率． 21. 某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，准备购买A，B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷3顶，则需4600元；若购买A种型号帐篷5顶和B种型号帐篷6顶，则需10000元． （1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格； （2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共28顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷数量不低于购买A种型号帐篷数量的3倍，请设计出最省钱的购置方案，并求出最少的费用． 22. 如图1是我们衡阳市的地标建筑 “首峰之眼”摩天轮．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是摩天轮垂直地面的直径，小颖想利用数学知识实地测量该摩天轮的高度，她在A处测得摩天轮顶端M的仰角为，接着沿水平方向向左行走米到达点B，再沿着坡度的斜坡走了米到达点C，最后再沿水平方向向左行走米到达摩天轮最低点N处（A，B，C，M，N均在同一平面内）． （1）求点C到的距离； （2）求摩天轮的高度．（结果精确到1米）（参考数据：） 23. 如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， （1）当x为何值时，； （2）当时，求的值； （3）能否与相似，若能，求出AP的长，若不能，请说明理由． 24. 定义：在平面直角坐标系中，图形G上点的纵坐标y与其横坐标x的和称为P点的“船山和”，而图形G上所有点的“船山和”中的最大值称为图形G的“船山优值”． （1）①点的“船山和”为______． ②点是抛物线上的任意一点，当点M的“船山和”为抛物线的“船山优值”时，则点M的坐标是______． （2）某二次函数的“船山优值”为2，且对称轴位于y轴右侧，点与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“船山和”相反． ①直接写出_______（用含c的式子表示）： ②求此二次函数的表达式． ③若点P是该抛物线对称轴上一动点，点Q是x轴上一动点，是否存在以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $