专题04 余弦、正切（型）函数的性质与图像十二大题型（高效培优专项训练）数学人教B版高一必修第三册

专题04 余弦、正切（型）函数的性质与图像十二大题型 题型一：五点作图法 题型二：余弦、正切（型）函数图像与其他函数交点个数问题 题型三：解余弦、正切（型）函数不等式 题型四：正切（型）函数的定义域 题型五：求单调区间 题型六：利用三角函数性质比大小 题型七：求三角函数的值域与最值 题型八：已知值域求参数 题型九：求周期，奇偶性，对称性 题型十、已知周期，奇偶性，对称性求参数 题型十一：与零点有关的问题 题型十二：求参数w 题型一：五点作图法 1．已知函数.画出在上的图象. 【答案】答案见解析 【详解】因为，所以列表如下： 0 π x 0 π y 2 4 0 0 2 2．已知函数. (1)求当取得最大值时，的取值集合； (2)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数在上的图象. 【答案】(1) (2)图象见解析 【分析】 【详解】（1）由题意，当取得最大值时，有，， 所以，，所以的取值集合为. （2）列表如下： x 0 0 0 2 则函数在上的图象，如图： 3．已知函数. (1)填写下表，并画出在上的图象； 0 (2)写出的解集. 【答案】(1)表格见解析，图象见解析 (2) 【分析】 【详解】（1） 0 0 0 （2）由，得，， 故的解集为 题型二：余弦、正切（型）函数图像与其他函数交点个数问题 4．当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为4个. 故选：B. 5．当时，曲线与的交点个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】由题得的最小正周期为，即在内，有3个周期， 又其值域为，且当时，， 在同一个坐标系内作出与的图象如图所示， 由图象知曲线与有6个交点．    故选：A. 6．当时，函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】作出函数在上的图象与在的图象，如图， 观察图象，得函数与函数的图象的交点个数为2. 故选：C 7．在平面直角坐标系中，曲线与单位圆的交点个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】的最小正周期为， 其中，故在单位圆上方， 同一坐标系内画出单位圆和的图象， 在左右两边会有两个交点，为④和⑤，可以看出共有8个交点. 故选：B 题型三：解余弦、正切（型）函数不等式 8．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以． 若，则，则，则，故充分性成立； 若，则，则， 此时未必有，故必要性不成立， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 9．函数y＝ 的定义域为 ． 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图所示， 由，即， 由图象及函数的周期性和单调性可知的解集为， 从而函数的定义域为：. 故答案为：. 10．在上，使不等式成立的的集合为 . 【答案】 【详解】由，则， 又，所以所求集合为． 故答案为：． 11．设，使且同时成立的x的取值范围 【答案】 【详解】因为，由正弦曲线，当时，则， 由余弦曲线，当时，则， 所以且同时成立的取值范围为. 故答案为：. 12．观察正切曲线，写出满足下列条件的x的取值范围. (1)； (2). 【答案】(1)（） (2)（） 【详解】（1）观察正切曲线， 在区间内，可知，此时满足的x的取值范围是， 又正切函数的最小正周期为，所以满足的x的取值范围是（）. （2）观察正切曲线， 在区间内，可知，. 此时满足的x的取值范围是， 又正切函数的最小正周期为，所以满足的x的取值范围是（）. 题型四：正切（型）函数的定义域 13．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，即， 解得，即， 所以函数的定义域为. 故选：D. 14．已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知函数的定义域为，对于，则有. 解得. 因为函数的定义域为，所以对于，有. 正切函数的周期是，在上单调递增，且，. 所以，. 解不等式，可得，即。； 解不等式，可得. 当时，；当时，. 综合前面两步，取与和的公共部分. 与的公共部分为；与的公共部分为. 所以函数的定义域为. 故选：B. 15．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由题知， 解得． 即函数的定义域为， 故答案为： 16．（1）函数的定义域为 . （2）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】 【详解】（1）由，得， 所以函数的定义域为. （2）由题意知，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：，. 题型五：求单调区间 17．函数和都是增函数的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 函数和在上的图像如图所示， 则由图像可知C选项符合题意， 故选：C. 18．奇函数的单调减区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题 为奇函数，需满足 . 代入得：, 利用余弦函数的性质，当且仅当 时等式对所有 成立. . 令. 解得：. 当 时，减区间为 ， 故选: A. 19．已知函数，则（    ） A．增区间为， B．增区间为， C．减区间为， D．减区间为， 【答案】C 【详解】由解得 . 因此，函数的单调递减区间为，. 故选：C. 20．（多选）下列函数中，在上为单调增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】时，，，， 是正弦函数的单调递增区间，和不是正弦函数的单调递增区间， 故AC选项错误，B选项正确； 是正切函数的单调递增区间，D选项正确. 故选：BD. 21．函数的严格增区间为 ． 【答案】 【详解】由， 令, 解得， 故的严格增区间为. 故答案为： 22．函数的严格增区间是 ． 【答案】 【详解】令， 则为减函数， 要求的严格增区间， 只需：，即，， 解得：， 所以函数的严格增区间是. 故答案为： 题型六：利用三角函数性质比大小 23．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即； 由，得，即； 又， 所以. 故选：C. 24．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 且正弦函数在上单调递增， 因为，所以，即， 又因为正切函数在上单调递增，且，故， 因此. 故选：A. 25．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知，，， 根据诱导公式，则，函数在上单调递增， 故，在上单调递增， 则，故. 故选：B. 26．下列不等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因，又在上递增， 则，可得A选项错误； 对于B，因，又在上递增，则， 可得B选项错误； 因.则，可得C选项正确； 因，又在上递减，则，可得D选项错误. 故选：C. 27．比较大小： . 【答案】> 【详解】∵，. 又，在内单调递增， ∴， ∴. 故答案为：> 题型七：求三角函数的值域与最值 28．已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：B 29．函数 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以当时，， 故选：B 30．关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【详解】因为在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为. 故选：B. 31．函数在上的值域为 ． 【答案】 【详解】由，可得， 根据正切函数的性质，可得， 即函数在上的值域为. 故答案为：. 32．已知函数，求函数的值域. 【答案】 【详解】由可得， 即，，， 根据三角函数的性质，， 因此，两边同时平方可得，即， 解不等式，有，，， 解得或. 故答案为： 题型八：已知值域求参数 33．已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【详解】由题意可知函数的周期，最大值点满足，解得， 最小值点满足，解得， 因为函数在区间上既有最大值又有最小值，区间的长度为9， 对A，若，当时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间内，故A正确； 对B，若，当时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间内，故B正确； 对C，若，当时，最大值点为2026，最小值点为2032，此时位于区间内，故C正确； 对D，若，当时，最大值点为2026，当时，最大值点为2038，此时不位于区间内，故D错误． 故选：D 34．已知在区间上的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，即， 又，所以，所以， 所以，． 故选：A． 35．若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为命题“，”为真命题，所以， 因为，所以，所以， 所以，即实数a的取值范围为. 故答案为：. 36．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】观察在上的图象， 当时，或， 当时，， 所以的最小值为：， 的最大值为：， 所以的取值范围为. 故答案为： 37．若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则 . 【答案】/-0.25 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，，则， 又因为函数在上的最大值为， 所以，即， 所以. 故答案为： 题型九：求周期，奇偶性，对称性 38．已知函数，若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】的定义域为． 令， 则，所以为奇函数， 又，所以， 则，所以． 故选：D 39．已知函数，则（   ） A．是最小正周期为的奇函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的偶函数 【答案】C 【详解】由诱导公式得， 因为， 所以是奇函数，其最小正周期为. 故为最小正周期为的奇函数. 故选：C. 40．函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据正切函数图象性质令, 解得， 若，不满足题意，A错误； 若，可得时，此时的对称中心为，B正确； 若，不满足题意，C错误； 若，不满足题意，D错误. 故选：B 41．函数的图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，，解得，， 当时，， 所以函数的图象的一条对称轴方程为. 故选：D. 42．（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．与的最小正周期相同 B．与在上单调性相同 C．与的零点相同 D．与的对称中心相同 【答案】AD 【详解】函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，故A正确， 当时，，所以函数在区间上单调递减， 当时，，所以函数在区间上单调递增，故B错误， 令，得到, 令，得到,两个函数零点不同，故C错误， 函数的对称中心满足，即对称中心为, 函数的对称中心满足，即对称中心为， 令，即对称中心为，与对称中心相同，故D正确. 故选：AD. 43．已知函数的部分图象如图所示（P为图象与x轴的一个交点，Q为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设函数的最小正周期为， 结合图象可知， 则，即， 且，则，解得，所以， 令，解得， 可知的一个对称中心为. 对于选项A：令，解得，故A错误； 对于选项B：令，解得，故B正确； 对于选项C：令，解得，故C错误； 对于选项D：令，解得，故D错误； 故选：B. 题型十、已知周期，奇偶性，对称性求参数 44．已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，函数的定义域为，关于原点对称， 因，则是偶函数，即充分性成立； 若函数为偶函数，， 则，，即必要性不成立. 所以“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A． 45．“，”是“函数关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由关于对称， 代入可得， 解得， 即与是等价的，所以必要性成立. 反之，若，当时，，故函数关于对称，所以充分性成立. 综上，两者互为充要条件. 故选： 46．设，若直线与函数图象的相邻两个交点的距离为，则的值为 ． 【答案】3 【详解】因为直线与函数图象的相邻两个交点的距离为， 所以，解得. 故答案为：3. 47．若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，为奇函数， 则，得， 因为，所以. 故选：D 48．已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，令函数， ，即函数是奇函数， 而函数是偶函数，则函数是奇函数， 因此，解得，又， 所以当时，取得最小值. 故选：C 49．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得的图象对应的函数为， 由题意知的图象关于原点对称，即函数为奇函数， 故， 即， 故， 即， 因为，故当时，m取最小值. 另解：由题意知的图象关于原点对称， 故，即， 因为，故当时，m取最小值， 故选：A 题型十一：与零点有关的问题 50．已知函数，且在上有且只有一个零点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【详解】函数，由，得，而，解得， 则，由，得， 由在上有且只有一个零点，得，解得， 而，因此，，所以. 故选：A 51．当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作出函数和在上的图象如下 从图像上可得：函数的图象和的图象在内有两个交点： ，即，得， ，，得， 所有交点横坐标之和为. 故选：A 52．函数的所有零点之和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】设，可得，其中， 可得， 则函数的零点，即为与在上交点的横坐标， 画出函数与在的图象， 可得两函数的图象共有7个公共点，且关于原点对称，所以7个零点之和为0， 即， 可得， 可得. 即原函数所有零点之和为. 故选：C.    53．已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，， 由题意函数在区间上恰好有3个零点， 则根据余弦函数的图象与性质知， 结合解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 54．设函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为 ． 【答案】8 【详解】首先由条件可知，函数关于轴对称， 又因为，所以函数关于直线对称 再根据当时，，可以画出函数的图像， 同一坐标系下再画出函数的图像， 由图可知，时，两个函数有8个交点，根据对称性可知，所有交点关于对称，所以所有零点和为8. 故答案为：8 题型十二：求参数w 55．已知函数的最小正周期为，且，若在上有且只有三个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 故， 故，即， 因为，所以，故， 当时，， 要想在上有且只有三个最值点， 则要，解得 即的取值范围是， 故选：B. 56．已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，由于，则， 因为在区间上单调递增，则， 所以，，解得，因此，的取值范围为. 故选：A. 57．若，函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 .（结果用区间表示） 【答案】 【详解】函数在上单调递增，且， 所以，使得，函数在上只有1个零点， 要使函数恰有4个零点，则函数在上只有3个零点， 由，得， 则，解得. 故答案为：. 58．已知函数（），若在区间上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，设； 在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点， 即在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点. 作出的图象如图. 由在区间上有且仅有个零点，得①； 又在区间上有且仅有个最大值点，得②； 依题意需同时满足①②式，于是得， 即，解得， 故的取值范围是. 故选：A 59．已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】当，， 若函数（）在区间上有定义， 则，解得， 函数的对称中心满足，，整理得，， 其图象在区间上至少有两个对称中心，则在区间上至少有两解， 整理得至少存在两个值使，， 故至少有两个取值，所以， 综上，的取值范围为. 故答案为:. 60．已知函数在上是增函数，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据题意，，解得，又，则； 当，， 由题可得，解得； 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 余弦、正切（型）函数的性质与图像十二大题型 题型一：五点作图法 题型二：余弦、正切（型）函数图像与其他函数交点个数问题 题型三：解余弦、正切（型）函数不等式 题型四：正切（型）函数的定义域 题型五：求单调区间 题型六：利用三角函数性质比大小 题型七：求三角函数的值域与最值 题型八：已知值域求参数 题型九：求周期，奇偶性，对称性 题型十、已知周期，奇偶性，对称性求参数 题型十一：与零点有关的问题 题型十二：求参数w 题型一：五点作图法 1．已知函数.画出在上的图象. 2．已知函数. (1)求当取得最大值时，的取值集合； (2)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数在上的图象. 3．已知函数. (1)填写下表，并画出在上的图象； 0 (2)写出的解集. 题型二：余弦、正切（型）函数图像与其他函数交点个数问题 4．当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．当时，曲线与的交点个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．当时，函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 7．在平面直角坐标系中，曲线与单位圆的交点个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型三：解余弦、正切（型）函数不等式 8．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．函数y＝ 的定义域为 ． 10．在上，使不等式成立的的集合为 . 11．设，使且同时成立的x的取值范围 12．观察正切曲线，写出满足下列条件的x的取值范围. (1)； (2). 题型四：正切（型）函数的定义域 13．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 14．已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 15．函数的定义域为 ． 16．（1）函数的定义域为 . （2）函数的定义域为 . 题型五：求单调区间 17．函数和都是增函数的区间是（    ） A． B． C． D． 18．奇函数的单调减区间可以是（    ） A． B． C． D． 19．已知函数，则（    ） A．增区间为， B．增区间为， C．减区间为， D．减区间为， 20．（多选）下列函数中，在上为单调增函数的是（    ） A． B． C． D． 21．函数的严格增区间为 ． 22．函数的严格增区间是 ． 题型六：利用三角函数性质比大小 23．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 24．若，，，则（    ） A． B． C． D． 25．若，，，则（   ） A． B． C． D． 26．下列不等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 27．比较大小： . 题型七：求三角函数的值域与最值 28．已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 29．函数 的最小值是（    ） A． B． C． D． 30．关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 31．函数在上的值域为 ． 32．已知函数，求函数的值域. 题型八：已知值域求参数 33．已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 34．已知在区间上的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 35．若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 36．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． 37．若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则 . 题型九：求周期，奇偶性，对称性 38．已知函数，若，则（    ） A．0 B． C．1 D． 39．已知函数，则（   ） A．是最小正周期为的奇函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的偶函数 40．函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 41．函数的图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 42．（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．与的最小正周期相同 B．与在上单调性相同 C．与的零点相同 D．与的对称中心相同 43．已知函数的部分图象如图所示（P为图象与x轴的一个交点，Q为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（    ） A． B． C． D． 题型十、已知周期，奇偶性，对称性求参数 44．已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 45．“，”是“函数关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 46．设，若直线与函数图象的相邻两个交点的距离为，则的值为 ． 47．若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 48．已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 49．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 题型十一：与零点有关的问题 50．已知函数，且在上有且只有一个零点，则（    ） A．0 B． C． D． 51．当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为（    ） A． B． C． D． 52．函数的所有零点之和为（    ） A．0 B． C． D． 53．已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是 ． 54．设函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为 ． 题型十二：求参数w 55．已知函数的最小正周期为，且，若在上有且只有三个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 56．已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 57．若，函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 .（结果用区间表示） 58．已知函数（），若在区间上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 60．已知函数在上是增函数，则的取值范围是 . 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $