第24章数据的分析寒假预习讲义-2025-2026学年人教版八年级下学期数学（知识点归纳+题型解读+综合测试）.

第24章数据的分析寒假预习讲义（人教版） ✅ 预习内容概览 1.课前预习目标 2.重点知识梳理归纳 3核心考点精讲精练 4.巩固提升综合测试 💧 课前预习★目标 1.了解数据收集、整理、描述的基本过程，能识别统计表、统计图的基本结构； 2.知道平均数、中位数、众数的概念，初步理解其表示数据集中趋势的意义； 3.了解极差、方差的含义，知道其用于描述数据的离散程度与波动大小； 4.能从简单统计图表中提取有效信息，初步判断数据的基本特征。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1】算术平均数和加权平均数 1．算术平均数 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作．计算公式为．（反映数据的平均水平） 2．加权平均数 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数．（考虑权重不同时的平均水平） 【知识点2】中位数和众数 1．中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间 位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数． 2．众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 【知识点3】平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要． 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动； 当一组数据中有个别数据太高或太低，用中位数或众数则较合适．中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响； 众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述． 【知识点4】极差、方差和标准差 1．极差：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值． 2．方差：方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量．方差的计算公式是： 　　 3．标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： ；标准差的数量单位与原数据一致． 【知识点5】极差、方差和标准差的联系与区别 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大； 方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好． 所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差． 在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差． 【知识点6】统计图与数据分析 1.常见图表：条形图、折线图、扇形图、直方图 2.读图要点： （1）看清标题、单位、横轴、纵轴含义（2）提取总数、部分占比、变化趋势 3.用统计量做决策： （1）看平均水平：用平均数（2）看中游水平、不受极端影响：用中位数 （3）看最常见情况：用众数（4）看稳定性、整齐度：用方差 【知识点7】常考题型总结 （1）.求平均数、中位数、众数； （2）.求极差、方差、标准差 （3）.根据统计量判断数据特征 （4).从统计图中提取信息并分析决策 （5）.用样本估计总体 ✏ 核心考点★精讲精练 题型1求一组数据的平均数 例1．某小组6名同学的身高（单位：）分别为160、162、159、161、158、160，则这组数据的平均数是（   ） A．160 B．161 C．162 D．163 【答案】A 【分析】此题考查了平均数，根据平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：平均数为． 故选：A． 变式1．已知一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是平均数的求法，熟记公式是解决本题的关键． 根据平均数的定义，计算所有数据的和除以数据的个数． 【详解】解：这组数据的平均数为， 故答案为：10． 变式2．某城市六年级学生的平均身高为155cm，下表是某学校六年级一个小组的学生的身高与平均身高的比较情况高于平均身高用正数表示，低于平均身高用负数表示 姓名 小明 小丽 小杰 小强 小慧 小晶 身高情况 3 9 5 这个小组学生的平均身高比该城市六年级学生的平均身高高还是低?为多少 【答案】该组学生的平均身高比该城市六年级学生的平均身高低，为 【分析】此题考查了平均数的计算和意义．根据平均数的定义进行求解，比较后即可得到答案． 【详解】解： ． 答：该组学生的平均身高比该城市六年级学生的平均身高低，为． 题型2已知平均数求未知数据的值 例2．气象小组测得上周星期一至星期日的室外气温如下表所示，并算得平均气温为31℃，则星期三的气温是（    ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 气温/℃ 31 34 31 32 28 29 A．30℃ B．31℃ C．32℃ D．33℃ 【答案】C 【分析】本题考查了平均数，熟练掌握平均数的计算方法是解题的关键； 根据平均数倒推星期三的气温即可． 【详解】解：∵平均气温为 ∴这一周气温总和为 周三温度为： 故选：C． 变式1．有三个数，甲数和乙数的平均数是81，甲数和丙数的平均数是85，乙数和丙数的平均数是86．甲、乙、丙这三个数各是 ． 【答案】 80，82，90 【分析】本题考查数的和差问题，根据平均数求出每两个数的和，再通过三个和相加得到三个数总和的两倍，从而求出总和，最后分别减去每两个数的和得到每个数． 【详解】解：甲数和乙数的平均数是81，故甲数和乙数的和为； 甲数和丙数的平均数是85，故甲数和丙数的和为； 乙数和丙数的平均数是86，故乙数和丙数的和为； 将三个和相加：，这是甲、乙、丙三个数总和的两倍，故三个数总和为； 丙数为：；乙数为：；甲数为：． 故答案为：80，82，90． 变式2．甲、乙两所学校号召学生们向希望小学捐赠图书．已知甲校800名学生平均每人捐书4.5本，乙校学生比甲校少80人，如果要达到相同的捐书总量，求乙校学生平均每人要捐书多少本． 【答案】乙校学生平均每人要捐书5本 【分析】此题考查了算术平均数，熟练掌握运算公式是解题的关键．先求出甲校共捐的本书，再除以乙校的人数即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：（本）， 答：乙校学生平均每人要捐书5本． 题型3利用已知的平均数求相关数据的平均数 例3．如果一组数据的平均数是2，那么一组新数据的平均数是（　　） A．2 B．6 C．8 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了平均数．结合一组数据的平均数是2，得，则，即可作答． 【详解】解：∵一组数据的平均数是2， ∴， 即， 则 ， 故选：C 变式1．已知一组数据的平均数是2025，则另一组数据，，，的平均数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求平均数．利用平均数的定义，先求出原数据之和，再计算新数据之和，最后求新平均数． 【详解】解：原数据平均数为2025，数据个数为4，故原数据之和为． 新数据为，，，， 其和为． 新平均数为． 故答案为：． 变式2．某校为灾区开展了“献出我们的爱”赈灾捐款活动，八年级某班名同学积极参加了这次赈灾捐款活动，下表是小明制作的全班同学捐款情况的统计表： 捐款数元                          人数                          两处不慎被墨水污染，已无法看清，但已经知道全班平均每人捐款元． 根据以上信息，请帮助小明计算出被污染的数据，并写出解答过程． 【答案】被墨水污染捐款数为40元，人数为11人 【分析】所求人数减去表中已有人数，捐款数各类捐款钱数人数的和)前面算出的人数； 【详解】解：设被墨水污染捐款数为，人数为， (人)； 元． 答：为，为． 即被墨水污染捐款数为元，人数为人 【点睛】本题考查了平均数，熟练掌握求平均数的方法是解题的关键． 题型4利用平均数做决策 例4．六年级同学参加科普知识竞赛．男生组的平均成绩是86分，女生组的平均成绩是84分．男生组第一名与女生组第一名相比，（   ） A．男生成绩高 B．女生成绩高 C．成绩相等 D．无法确定谁成绩高 【答案】D 【分析】本题考查平均数的意义，根据平均数只能反映一组数据的平均情况解答即可，也是解题关键． 【详解】解：因为平均数只能反映一组数据的平均情况， 所以无法确定谁成绩高． 故选D． 变式1．意义：平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据 的一项指标． 【答案】集中趋势 【解析】略 变式2．张华与王强两人的期末6科考试成绩如下表： 政治 语文 英语 数学 物理 化学 张华 88 84 91 96 76 81 王强 83 95 89 93 89 67 (1)求两人的学习成绩的平均数； (2)现要从中选一人参加除政治外其他五科竞赛，应选谁去？说明理由． 【答案】(1)张华分，王强分 (2)选王强去，理由见解析 【分析】本题考查平均数的计算与应用，解题关键是熟练运用平均数公式，通过计算对比数据做决策． （1）根据平均数的定义，平均数等于所有数据之和除以数据的个数．分别将张华和王强的6科成绩相加，再除以6，即可得到两人的平均成绩． （2）依据平均数的计算方法，先筛选出除政治外的五科成绩，分别计算张华和王强这五科成绩的总和，再除以5得到各自的平均分，通过比较平均分来决定选谁参加竞赛，平均分高的更适合． 【详解】（1）解：张华∶ (分) 王强：(分) （2）解：选王强去，理由如下： 张华其他五科的平均分：85.6(分) 王强其他五科的平均分∶(分) 因为， 所以应选王强去． 题型5求加权平均数 例5．小丽在本学期的数学成绩如下：平时测验成绩为93分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是（　　） A．92.5分 B．92.8分 C．93.1分 D．93.3分 【答案】D 【分析】本题考查加权平均数的计算，需根据给定的权重比例，利用加权平均数公式计算总评成绩． 【详解】解：∵ 权重比为， ∴ 总权重为， ∴ 总评成绩 （分）． 故选：D． 变式1．某中学校史展览馆要招募一名讲解员，小明经历了笔试和试讲两轮测试．他的笔试和试讲成绩分别为90分，80分．综合成绩中笔试占，试讲占，小明的综合成绩为 分． 【答案】84 【分析】本题主要考查加权平均数的计算，根据加权平均数的计算方法，将笔试和试讲成绩分别乘以对应的比例，再求和． 【详解】解：根据题意，综合成绩（分）， 故答案为：84． 变式2．为培养青少年的科技创新精神，某校组织了一次科创比赛，并对每位参赛选手的作品按照创新性占，实用性占，丰富性占的比例计算最终得分．已知悦悦同学作品的创新性、实用性、丰富性得分（百分制）依次为80分，70分，90分，请计算悦悦同学作品的最终得分． 【答案】分 【分析】本题考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题关键．利用加权平均数的公式计算即可得． 【详解】解：由题意得：（分）． ∴悦悦同学作品的最终得分为分． 题型6利用加权平均数求位置数据的值 例6．在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数的概念及应用，利用加权平均数的概念分析人数是解决本题的关键． 根据加权平均数的概念，年级平均分由男生和女生的平均分及其人数比例决定，比较各校年级平均分与男女平均分的距离，可推断男生比例高低． 【详解】解：甲学校分析：年级平均分92分，介于男生95分和女生85分之间， 92距95差3分，距85差7分，说明男生人数多于女生，男生比例更高； 乙学校分析：年级平均分91分，介于男生97分和女生87分之间， 91距97差6分，距87差4分，说明女生人数多于男生，女生比例更高， A：年级平均分无法推断总人数，错误； B：男生人数需结合总人数，无法确定，错误； C：甲校男生比例高于乙校，正确； D：甲校男生多于女生，错误． 故选：C． 变式1．如表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则 ． 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力． 根据加权平均数的定义列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意和图表可得， 解得： 故答案为：． 变式2．某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男，女生的平均成绩分别是81分，75.5分，求该班男，女生人数之比． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的求法，熟记定义是解题的关键．设男、女生的人数分别为人，根据加权平均数的概念列式整理即可得解． 【详解】解：设男生人数为人，女生人数为人， 则有， 即， ． 男，女生人数之比为． 题型7运用加权平均数做决策 例7．学校拟推荐一名同学参加市级演讲比赛，现对甲、乙、丙、丁四位候选人进行量化评分，具体成绩如下表：若总成绩的计算方法是：语言表达能力舞台仪态表现，根据总成绩择优推荐，那么应推荐的同学是（   ） 甲 乙 丙 丁 语言表达能力 96 80 92 91 舞台仪态表现 80 96 84 84 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题主要考查了用加权平均数做决策，根据四人在语言表达能力和舞台仪态表现的得分，以及对应的权重求出四人的总成绩，比较即可得到答案． 【详解】解：甲的总成绩：， 乙的总成绩：， 丙的总成绩：， 丁的总成绩：， ∵， ∴ 甲的总成绩最高， 应推荐甲， 故选：A． 变式1．某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示： 候选人 文化水平 艺术水平 组织能力 甲 80分 85分 85分 乙 80分 95分 75分 如果根据综合成绩择优录取，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，则应该录取 ． 【答案】甲 【分析】本题主要考查了用加权平均数做决策，用对应项的得分乘以其对应的权重求出每项的加权成绩，再求和得到两人的加权总成绩，比较即可得到答案． 【详解】解：甲的综合成绩为（分）， 乙的综合成绩为（分）， ∵， ∴应该录取甲． 故答案为：甲． 变式2．学校团委组织了“中国梦·航天情”系列竞赛活动，八年级甲、乙两个班级各项目比赛成绩如下表： 知识竞赛/分 演讲比赛/分 板报评比/分 甲班 85 91 88 乙班 90 84 87 如果将知识竞赛、演讲比赛、板报评比按的比确定最后成绩，请你通过计算，说明甲、乙两班中哪个班将获胜． 【答案】乙班将获胜 【分析】根据表格中的数据和平均数的计算方法可以解答本题． 【详解】解：由题意，得甲班最后的成绩为（分）， 乙班最后的成绩为（分）． ， 乙班将获胜． 【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 题型8出错情况下的平均数问题 例8．某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 【答案】C 【分析】本题主要是平均数的运用问题，根据题意可以得到错误的数据总和与实际的数据总和的差；再除以总个数30即可得出求出的平均数与实际平均数的差. 【详解】解：求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入成15，即少加了90， 则由此求出的平均数与实际平均数的差是：， 故选：C． 变式1．长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数， 关键是要理清各数量间的关系， 明白“多输入的数值”就是“ 个 ” ．根据平均数的定义可得： 最大的一个数的错误数据与实际数据相差元， 据此求出错误数据 ． 【详解】解： 由题意得， 输入错误的数据为：． 故答案为： ． 变式2．为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会 ．（填“不变”、“变大”、“变小”） 【答案】(1)分 (2)160份 (3)变大 【分析】本题考查条形统计图、加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义和计算方法是正确解答的关键． （1）将条形统计图中各个分数段的人数相加，即可得出总人数，再根据加权平均数的计算方法计算即可； （2）求出10分占调查人数的百分比，即可预测出一等奖的人数即可． （3）计算平均数解答即可． 【详解】（1）解：依题意， （分）， 答：本次调查获取的样本数据的平均数为8.26分； （2）解：依题意，（份）， 答：估计需准备160份一等奖奖品． （3）解：将得8分的居民统计为14人， （分）， ∵ ∴平均数会变大． 题型9用计算器求平均数 例9．用计算器计算数据：，，，，的平均数是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据计算器的功能进行操作即可得出答案． 【详解】先按，屏幕会出现一竖，然后输入，，，，，再按，就会出现平均数的数值，故选B． 【点睛】本题考查用计算器求平均数，解题的关键是熟练掌握用计算器求平均数. 变式1．如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下 ，则显示的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了计算器的应用，涉及到平均数，解题的关键是掌握计算器的基本功能键． 根据计算器上的按键功能，理解是求该组数据的平均数． 【详解】解：根据计算器上的按键功能，求该组数据的平均数为， 故答案为：2． 变式2．请用计算器求数据271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的平均数，结果是 ． 【答案】287.1 【分析】根据算术平均数等于数据的总和除以数据的个数，即可求解． 【详解】解：数据271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的平均数287.1． 故答案为∶287.1 【点睛】本题主要考查了求算术平均数，熟练掌握算术平均数等于数据的总和除以数据的个数是解题的关键． 题型10求中位数 例10．在学校迎春节歌咏比赛中，参加决赛的7位同学成绩依次为：80，77，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（   ） A．77 B．79 C．79.5 D．80 【答案】B 【分析】本题考查中位数的定义，解题关键是先将数据按从小到大顺序排列，再根据数据个数的奇偶性确定中位数. 【详解】解：∵将7位同学的成绩从小到大排列为：77，77，79，79，80，80，80 又∵数据个数7为奇数，中位数为第个数据 ∴这组数据的中位数是79， 故选：B. 变式1．为了进一步落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”五项管理要求，某校对学生的睡眠状况进行了调查，经统计得到6个班学生每天的平均睡眠时间（单位：小时）分别为8，8，8，，，9，则这组数据的中位数为 ． 【答案】8 【分析】本题考查中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．熟练掌握中位数的定义是解本题的关键． 将数据从小到大排列后，取中间两个数的平均值． 【详解】数据从小到大排列为：7.5，8，8，8，8.5，9. 由于数据个数为6，是偶数， 因此中位数为第三和第四个数的平均值， 即． 故答案为：8． 变式2．一组数据2，3，，，7中（，为整数），唯一的众数是7，平均数是4，求这组数据的中位数． 【答案】3 【分析】本题考查了中位数，熟练掌握中位数相关内容是解题的关键； 根据题干信息求出x、y的值，然后从小到大排列即可得出中位数． 【详解】解：根据题意，得， ． ∵唯一的众数是7，设， 则，， ∴这组数据从小到大排列为1，2，3，7，7， ∴中位数是3． 题型11利用中位数求未知数据的值 例11．已知一组数据a，2，4，8，6的中位数是6，那么a可以是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中位数的定义．需根据中位数概念，结合数据排序后中位数为6的条件确定a的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵中位数的定义是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，则中位数为中间位置的数；若为偶数，则为中间两个数的平均数． ∵这组数据共5个（奇数个），中位数为排序后的第3个数，且题目规定中位数为6． 将已知数据从小到大排列：2，4，6，8． 要使排序后第3个数为6，则． 观察选项，只有D选项的6满足的条件． 故选：D 变式1．若一组数据2， x， 4， 5， 6的中位数为4，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的定义． 根据中位数的定义，将数据按从小到大排序后，第三个数即为中位数．已知中位数为4，因此排序后第三个数必须为4． 【详解】解：数据由5个数组成，排序后第三个数为中位数4， 已知数据中有2、4、5、6，其中2小于4，5和6大于4． 要保证4在第三位，需至少有两个数小于或等于4． 由于2已满足小于4，故x必须小于或等于4． 因此x的取值范围是． 故答案为：． 变式2．已知一组数据，，，，，的中位数为1， (1)求； (2)求这组数据的平均数． 【答案】(1) (2)平均数为1 【分析】本题考查中位数，平均数，掌握知识点是解题的关键． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可． 【详解】（1）解：将原数据中的已知数从小到大排序为， 因为该组数据共6个，且中位数为1， 所以排序后第3、4个数的平均数为1， 若，则第3个数为1，第4个数大于1，中位数将大于1，不合题意； 故，此时排序后第3、4个数为和1， 由题意得， ； （2）． 答：这组数据的平均数为1． 题型12运用中位数做决策 例12．在2025年国庆中秋八天的国家法定假日期间，拥堵的某路段上，一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的时速（单位：）：37，83，72，45，58，47，63，59，45，58．依据该组数据进行估计，这一期间内该路段通行的机动车中大约有半数的机动车的时速不会超过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中位数的实际应用，先将一组数据从小到大排序后，求解中位数，根据约半数的数据不超过中位数，因此只需计算该组数据的中位数即可． 【详解】解：∵将这组数据从小到大排序为：37，45，45，47，58，58，59，63，72，83， 又∵数据共有10个，为偶数个，中位数为中间两个数的平均数， ∴中位数为． ∴大约有半数的机动车的时速不会超过． 故选：C． 变式1．如图所示的是甲、乙两班举行的一次月考数学成绩箱线图，根据此统计图可以判断出 的成绩较好． 【答案】甲 【分析】我们可以通过箱线图的核心特征来判断： 箱线图的中位数（箱子中间的横线）代表数据的中间水平，中位数越高，整体成绩的中间水平越好。 【详解】解：从图中可以看到：甲班成绩的中位数明显高于乙班，甲班成绩的整体分布位置也比乙班更靠上，所以甲班的成绩较好. 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了中位数，解答本题的关键是掌握箱线图的定义． 变式2．为加强对中学生文明素养教育，提升学生整体素质，某校决定举办“讲文明，树新风”活动．为了解学生对中学生文明素养基本规范的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 7.86 7.86 中位数 7.5 a 众数 b 8 优秀率 c 根据以上信息，回答下列问题． (1)表格中的 ， ， ． (2)你认为哪个年级的学生对文明素养基本规范的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)8；7； (2)八年级，理由见解析 【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识点，正确理解统计图是解题的关键． （1）根据中位数、众数的定义以及优秀率的标准求解即可； （2）可以根据众数和中位数做决策． 【详解】（1）解：八年级抽取50名学生，则中位数为第25，26名同学成绩的平均数，由条形统计图可得中位数； 七年级得分为7分的人数最多为15人， ∴众数； 七年级的得分优秀率为：， 故答案为：8；7；； （2）解：八年级的学生对文明素养基本规范的掌握情况更好， 因为八年级的学生成绩的中位数和众数都高于七年级． 题型13求众数 例13．在“赋能”主题演讲比赛中，七位选手得分为：6，7，8，10，8，8，10，则这组数据的众数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，只需统计各数据出现的次数，找出出现次数最多的数即可． 【详解】解：∵在数据6，7，8，10，8，8，10中，6出现1次，7出现1次，8出现3次，10出现2次． ∴出现次数最多的数是8． ∴这组数据的众数是8， 故选：C． 变式1．在某中学组织的全校师生迎“元旦”的歌舞比赛中，将进入决赛的25名同学的得分情况制成如下条形统计图，则这些成绩的众数是 分． 【答案】96 【分析】本题考查了众数，解题的关键是学会从条形统计图中获取解题信息． 根据众数的定义即可求解． 【详解】解：由条形统计图可得：名参赛同学的得分数据出现最多的是分， ∴众数是分， 故答案为：． 变式2．为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，小军和小明两位同学报名参加选拔，他们需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小军、小明的三项测试成绩和总评成绩如表 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小军 83 72 80 78 小明 86 84 (1)在摄影测试中，七位评委给小明打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是_____分，众数是______分，平均数是_____分； (2)请你计算小明的总评成绩，并结合总评成绩分析谁入选，并说明理由． 【答案】(1)69，69，70 (2)小明入选，理由见详解 【分析】本题主要考查加权平均数的计算，中位数，众数等知识点，熟练掌握以上知识并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据中位数，众数，平均数的计算求解即可； （2）根据加权平均数的计算得到小明的总评成绩为82分，由此即可求解． 【详解】（1）解：七位评委给小明打出的分数从小到大排序：67，68，69，69，71，72，74， ∴中位数为：69， 众数为：69， 平均数为：， 故答案为：69，69，70； （2）解：小明入选，理由如下， 由（1）得到，小明的摄影成绩为70， ∴小明的总评成绩为（分）， ∵， ∴小明入选． 题型14利用众数求位置数据的值 例14．已知一组数据6，8，10，6，8，12，14，x，它的众数是8，则x的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，解题的关键是理解众数的概念． 众数是指一组数据中出现次数最多的数，且题目明确众数为，因此在本题的条件下，是唯一出现次数最多的数，据此分析的值． 【详解】解：∵ 众数是， ∴ 的出现次数必须最多， 当前数据中出现次，出现次，其他数出现次数均少于， 若，则出现次，其他数出现次数均少于，满足众数为； 若，则出现次，众数为，不符合题意； 若，则数据中的众数为6，8，10，不符合题意；若，则数据中的众数为6，8，12，不符合题意． ∴ ． 故选：B． 变式1．若一组数据5，1，，6，2的众数是6，则这组数据的中位数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了众数和中位数的知识，主要考查了众数、中位数的意义与求解方法． 根据众数的定义，众数是6，因此必须是6，从而得到数据组为5，1，6，6，2，排序后求中位数． 【详解】解：∵众数为6， ． ∴数据组为5，1，6，6，2， 排序后为1，2，5，6，6， ∴中位数为5． 故答案为：5． 变式2．若一组数据，3，1，6，3的平均数和众数相等，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平均数和众数，熟练掌握相关概念是解题的关键； 根据平均数和众数的概念进行计算． 【详解】解：∵平均数和众数相等， ∴众数只有一个， ∴这组数据的众数为3， ， 解得． 题型15运用众数做决策 例15．某文创店2025年12月部分文创手办销售量如图所示，现该店准备进货，老板对员工说：“下个月要多进贵州红色文化书签”．影响老板决策的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查了数据与统计，理解题意是解题的关键． 根据统计图的信息解题即可． 【详解】解：由统计图可知，贵州红色文化书签的销量最大， ∴影响老板决策的统计量是众数． 故选：C ． 变式1．某男装专卖店专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的夹克销售量如下表，如果每件夹克的利润相同，你认为下一周应进尺码为 的夹克最多． 尺码 38 40 42 44 46 平均一周销售量（件） 10 12 20 12 12 【答案】42 【分析】本题考查了众数，熟练掌握定义是解题的关键．由于每件夹克利润相同，销售量最大的尺码应多进货，尺码42的销售量最大，为众数． 【详解】解：由统计表可知，尺码为38的夹克销售10件，尺码为40的夹克销售12件，尺码为42的夹克销售20件，尺码为44的夹克销售12件，尺码为46的夹克销售12件，其中尺码为42的夹克销售量最大，为20件，因此这组数据的众数是42，所以下一周应进尺码为42的夹克最多． 故答案为：． 变式2．某校举行了“防溺水”知识竞赛，八年级两个班各选派10名同学参加预赛，依据各参赛选手的成绩（均为整数）绘制了统计表和折线统计图如图所示． 班级 八（1）班 八（2）班 最高分 100 99 众数 98 中位数 96 平均数 (1)统计表中，____________，____________，____________ (2)请问你认为哪个班级的成绩更好？并说明理由（说出一条即可）． 【答案】(1)96，96， (2)八（2）班的成绩更好，理由见解析 【分析】本题考查了求中位数，求众数，求一组数据的平均数，运用中位数做决策，运用众数做决策，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据统计图，得出相应的数据，再根据众数、中位数、平均数的意义求解即可； （2）比较两个班的成绩的众数、中位数、平均数，再作出判断． 【详解】（1）解：根据图象，八（1）参赛选手的成绩为：100、98、98、96、96、96、92、92、89、88， 其中96出现次数最多， 所以八（1）参赛选手的成绩的众数， 八（1）参赛选手的成绩的平均数为； 八（2）参赛选手的成绩从大到小排列为：99、98、98、98、97、95、93、91、90、89， 所以八（2）参赛选手的成绩的中位数为， 故答案为：96；96；； （2）解：八（2）参赛选手的成绩的众数比八（1）的大，两班的中位数相同， 八（2）参赛选手的成绩的平均数比八（1）的大， 故八（2）班的成绩更好． 题型16求离差平方和 例16．已知一组数据为3，5，7，9，11，其离差平方和为（    ） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】A 【分析】本题考查了离差平方和的计算，掌握离差平方和等于每个数据与平均数之差的平方和是解题的关键． 计算数据的平均值，然后求每个数据与平均值之差的平方和． 【详解】解：∵ 平均值 ∴ 离差平方和 = ． 故选：A． 变式1．已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的离差平方和为 ． 【答案】 10 【分析】本题考查求一组数据的离差平方和，解题的关键是熟练掌握离差平方和的计算方法． 先求平均数，再求各个数据与平均数的差的平方和即可． 【详解】数据2，3，4，5，6的平均数为． 离差平方和为． 故答案为：10． 变式2．工厂现有一批螺丝帽，工程师从中抽选6个测得它们的直径尺寸（单位：cm）依次是3.5，3.8，3.6，3.2，3.7，3.6．我们现在要将这6个螺丝帽按直径大小用“组内离差平方和达到最小”方法分成两组，你认为应该如何分呢？ 【答案】把6个螺丝帽按直径大小分成的两组是，． 【分析】首先将数据按从小到大排序，然后尝试所有可能的两组划分方式，计算每种划分下两组的组内离差平方和并求和，找到总和最小的划分方式． 【详解】解：现将这组数据从小到大进行排序为，，，，，计算不同分组的组内离差平方和如下表： 分组情况 组内离差平方和 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 第一组个，第二组个 计算结果表明，第一种分组的组内离差平方和最小． 因此把个螺丝帽按直径大小分成的两组是，． 【点睛】本题考查了组内离差平方和的计算与最优分组，解题关键是先对数据排序，再通过计算不同划分方式的总离差平方和，找到最小值对应的分组． 题型17离差平方和的应用 例17．下列适合使用“组内离差平方和最小”的原则的情况是（   ） A．比较动物兽药的疗效 B．将学生按期末成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气随海拔的变化 【答案】B 【分析】“组内离差平方和最小”是聚类分析中的核心原则，用于将数据划分为组内相似度高的组，选项B中的学生成绩分组直接应用此原则进行分组优化． 【详解】解：∵“组内离差平方和最小”原则主要用于数据分组，如聚类分析，旨在使组内数据点尽可能相似； A、比较疗效，涉及假设检验而非分组，不符合题意； B、将学生按成绩分组，最适合使用该原则，符合题意； C、分析波动。涉及时间序列分析，不符合题意； D、预测变化，涉及回归分析，均不直接适用分组原则，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了“组内离差平方和最小”的原则，解决本题的关键是熟练掌握“组内离差平方和最小”的原则，核心是在对数据进行分组时，让同一组内的数据差异尽可能小，不同组之间的数据差异尽可能大． 变式1．科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率（单位：）．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由 到 排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成 种情况． 【答案】 小 大 7 【分析】本题考查组内离差平方和的定义，根据组内离差平方和的定义解答即可． 【详解】解：按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由小到大排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成种情况． 故答案为：小，大，7． 变式2．甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩（单位：分）如下：15，18，15，24，按照“组内离差平方和最小”的方法，将竞赛成绩分成两组． 【答案】 【分析】本题考查组内离差平方和，根据题意将4个数据从小到大排序，并分成两组，再分别计算每种情况的组内离差平方和，比较即可．熟练掌握离差平方和公式是解题的关键．离差平方和为每组数据与平均数差的平方和之和． 【详解】解：分组1：{15，18}和{15，24} 平均数分别为， 差平方和：， 组内离差平方和： 分组2：{15，15}和{18，24} 平均数分别为， 差平方和：， 组内离差平方和： 分组3：{15，15，18}和{24} 平均数分别为， 差平方和：， 组内离差平方和： 分组4：{15，15，24}和{18} 平均数分别为， 差平方和：， 组内离差平方和： 分组5：{15，18，24}和{15} 平均数分别为， 差平方和：， 组内离差平方和： 所以将竞赛成绩分成的两组是． 题型18求方差 例18．小明用计算一组数据的方差，那么的值为（  ） A．4.2 B．4 C．3.8 D．3.6 【答案】D 【分析】本题考查求一组数据的方差，先计算这组数据的平均数，再将平均数代入方差公式计算即可． 【详解】解：∵这组数据为9、4、7、4、6， ∴平均数， 将代入方差公式得： ． 故选D． 变式1．甲、乙两人5次射击命中的环数如下表．设甲、乙5次射击命中环数的方差分别为和，则 （填“>”、“=”或“<”）． 甲 7 8 9 10 6 乙 8 6 8 8 10 【答案】 > 【分析】本题主要考查方差，先计算甲和乙的平均数，再根据方差公式计算方差，最后比较大小． 【详解】解：甲的平均数为 ，乙的平均数为 ， 甲的方差为 ， 乙的方差为 ， 故 。 故答案为：． 变式2．某市对于篮球运动的重视程度增加，篮球上篮也成为了一些县市区的考试项目，下面是某学校九（16）班男生的篮球上篮成绩（图1）与乐融融同学近五次上篮成绩（图2）（成绩满分30分）． (1)此班级男生上篮成绩的中位数与众数分别是多少？ (2)求乐融融近五次上篮成绩的方差． 【答案】(1)中位数为28分；众数为30分 (2)乐融融近五次上篮成绩的方差为6.4 【分析】本题考查了中位数、众数、方差，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）根据求方差的公式计算即可； 【详解】（1）解：由题意得，此班级男生总人数为（人）， 将此班级男生上篮成绩从大到小顺序排列，则中位数为第13个的数据，即28分， 此班级男生上篮成绩30分出现次数最多，故众数为30分； （2）乐融融近五次上篮成绩的平均数为（分）， ∴乐融融近五次上篮成绩的方差为 ， 答：乐融融近五次上篮成绩的方差为6.4． 题型19利用方差求未知数据的值 例19．吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：．根据算式，下列结论判断错误的是（  ） A． B．平均数为8 C．众数是9 D．若添加一个数8后，方差变小 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一组数据的方差，平均数，众数，根据方差算式可得这组数据为9，7，9，7，8，这组数据的平均数为8，则可求出这组数据的众数，再求出添加一个数8后的平均数和方差即可得到答案． 【详解】解：∵方差算式为， ∴这组数据为9，7，9，7，8，共5个数据，即，故A结论正确，不符合题意； 由方差算式可知平均数为8，故B结论正确，不符合题意； 这组数据中7和9均出现了2次，次数最多， 所以这组数据的众数为7和9，C结论错误，符合题意； 添加一个8后，数据为9，7，9，7，8，8，平均数仍为8， 原始方差， 新方差， ∴方差变小，故D结论正确，不符合题意． 故选：C． 变式1．计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：，则这组数据的总和是 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了一组数据的方差计算公式，如果一组数据的平均数为，表示这组数据，那么这组数据的方差为．根据方差的计算公式即可得出答案． 【详解】解：∵一组数据的方差计算公式为， ∴这组数据的个数为10，平均数是3， ∴这组数据的总和是． 故答案为：30． 变式2．某校舞蹈社团选拔出两个舞蹈水平相当的舞蹈小组，下面的图表是两个舞蹈小组成员的身高部分信息，其中的阴影部分已被污损． 平均数 中位数 众数 方差 甲组 165 2.8 乙组 165 164 164 请根据所学的统计知识，解决下列问题： (1)上表中，___________，___________； (2)一般认为，在两组舞蹈成员的舞蹈水平相当的情况下，如果舞蹈成员的身高比较整齐，则该组舞台呈现效果越好．你认为舞台呈现效果更好的是哪一组？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)甲组 【分析】此题考查了方差、中位数等知识，熟练掌握方差计算和利用方差做决策是关键． （1）根据方差计算过程分别进行求解即可； （2）计算乙组的方差，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ ∴， 设阴影部分为， ∴ 解得， ∴甲组数据为， ∴中位数； 故答案为： （2）甲组舞台呈现效果更好，理由如下： ∴， ∴甲组舞蹈成员的身高比较整齐，则甲组舞台呈现效果更好． 题型20根据方差判断稳定性 例20．为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：，，，，，则麦苗又高又整齐的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查方差的意义，在平均数相同的前提下，方差越大，数据波动越大，长势越不整齐；方差越小，数据波动越小，长势越整齐，据此判断即可．掌握方差的意义是解答本题的关键． 【详解】解：∵， ∴四种麦苗的平均高度相同， ∵， 又∵方差越小，麦苗长势越整齐， ∴麦苗又高又整齐的是甲． 故选：A． 变式1．甲、乙两学生在军训10次打靶训练中，所中环数的平均数相等，但方差分别为，，那么两人成绩比较稳定的是 ．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 比较甲和乙的方差，甲的方差较小，故甲的成绩更稳定． 【详解】方差是衡量数据波动程度的量，方差越小，波动越小，成绩越稳定． 甲的方差为 0.96，乙的方差为 1.01， ∵ 0.96 < 1.01， ∴甲的成绩更稳定． 故答案为：甲． 变式2．甲、乙两台包装机同时包装质量为200g的糖果，从中各随机抽取10袋，测得其实际质量（单位：g）分别如下： 甲 202 203 202 196 199 201 200 197 201 199 乙 201 199 200 204 200 202 196 195 202 201 (1)通过计算判断哪台包装机包装糖果的质量比较稳定； (2)若向甲包装机对应的数据中再添加一个大小为200g的数据，重新统计后，这11个数据的平均数、方差会如何变化？直接写出变化情况，无需解释． 【答案】(1) 甲包装机包装糖果的质量比较稳定 (2) 平均数不变，方差变小 【分析】本题考查了平均数、方差的计算及意义，解题的关键是掌握平均数和方差的计算公式，利用方差判断数据的稳定性； （1）的关键步骤是分别计算甲、乙两组数据的平均数和方差，比较方差大小； （2）的关键步骤是根据添加数据后的总和与平方和，重新计算平均数和方差，判断其变化情况． 【详解】（1）解： ∵， ∴甲包装机包装糖果的质量比较稳定． （2）解：原10个数据的平均数， 新数据总和：， 新平均数， ∴平均数不变． 原方差， 原数据与平均数差的平方和：， 新数据与平均数差的平方和：， 新方差， ∵， ∴方差变小． 题型21运用方差做决策 例21．某班准备从甲、乙两名同学中选一名发挥比较稳定的参加禁毒知识比赛，通过3次选拔测试，甲、乙两名同学的平均分都是95分，方差分别为，则应该选择（   ） A．甲 B．乙 C．甲、乙都行 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查方差；根据方差越小，其稳定性也就越好进行求解即可． 【详解】解：因为甲、乙两名同学的平均分都是95分， 由，可知：，所以选择乙会更好； 故选：B． 变式1．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击10次，成绩的平均数（单位：环）和方差如下表：根据表中数据，你认为应该推荐运动员 去参赛，更有把握赢得比赛． 甲 乙 丙 丁 /环 9.2 9.3 8.2 8.5 0.79 0.18 0.16 2.85 【答案】乙 【分析】本题考查用平均数和方差作决策，根据平均数和方差的意义，平均数高表示成绩好，方差小表示成绩稳定，综合对比四名运动员的数据可得答案． 【详解】解：由表中数据可知，乙的平均数为9.3环，是四人中最高，表明其成绩最好；方差为0.18，较小，表明其成绩稳定．虽然丙的方差最小（0.16），但平均数较低（8.2环），整体成绩不如乙．甲的平均数较高（9.2环），但方差较大（0.79），稳定性不如乙．丁的方差最大（2.85），成绩不稳定．因此，应该推荐运动员乙去参赛，更有把握赢得比赛． 故答案为：乙． 变式2．在全球科技飞速发展的今天，无人机产业已经成为了一个蓬勃发展且具有巨大潜力的新兴产业．某公司为评估无人飞行器的整体性能状况，对其内部研发的A，B两种型号的无人飞行器进行了8次性能检测，并对每次飞行测试的续航时间（单位：分钟）进行收集，整理．下面给出了部分信息： A型号：，，，，，，， B型号：，，，，，，， A，B两种型号无人飞行器续航时间统计表 无人飞行器 平均数 中位数 众数 方差 A      b           B a      c 2 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表格中，_______，_______； (2)求a的值； (3)请利用平均数和方差对A，B两种型号无人飞行器的整体性能状况进行综合评价 【答案】(1)， (2)a的值为 (3)B型号无人飞行器的整体性能状况更好 【分析】本题考查众数，中位数，平均数，方差，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用众数和中位数的定义求解即可； （2）利用平均数的计算公式计算求解； （3）比较平均数可得B型号无人飞行器续航时间的平均数较高；比较方差可以看出B型号无人飞行器续航时间的波动较小，由此得到结论． 【详解】（1）解：将型号数据由小到大排列：，，，，，，，， 则中位数为（分钟）； 型号出现次数最多，故众数是分钟； 故答案为：； （2）解：（分钟）． a的值为． （3）解：由，，可以看出，B型号无人飞行器续航时间的平均数较高； 由，，可以看出，B型号无人飞行器续航时间的波动较小． B型号无人飞行器的整体性能状况更好 题型22用计算器求方差 例22．计算器已进入统计状态的标志是显示屏上显示（ 　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学记算器进行计算． 【详解】解：计算器已进入统计状态，显示屏上显示． 故选：B． 【点睛】本题要求同学们能熟练应用计算器．计算器已进入统计状态，显示屏上显示． 变式1．用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入 状态； ②依次输入各数据； ③按求 的功能键，即可得出结果． 【答案】 【分析】由于不同的计算器，其操作不完全相同，可以根据计算器的说明书进行操作． 【详解】解：用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入状态； ②依次输入各数据； ③按求的功能键，即可得出结果． 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了计算器求方差，正确掌握计算器的基本使用方法是解题关键． 变式2．给定一组数据如下： 1，1，4，4，4，7，7． (1)请你估计一下这组数据的平均数、方差大约是多少； (2)用计算器计算这组数据的平均数、方差，与你的估计值进行比较，你的估计是否准确？ 【答案】(1)平均数是4、方差大约是5； (2)平均数4，方差，与估计值进行比较，估计基本准确． 【分析】（1）先把这组数据的7个数字加起来求和，再除以7即可求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解即可； （2）利用计算器并结合平均数、方差公式计算即可． 【详解】（1）解：估计这组数据的平均数是4、方差大约是5； （2）解：平均数：（， 方差：， 与估计值进行比较，估计基本准确． 【点睛】本题考查了平均数和方差公式，解题时牢记公式是关键，此题比较简单，只要牢记公式即可正确求解． 题型23求四分位数 例23．如图是小强某次练习射击成绩的箱线图（单位：环），则这组数据的下四分位数是（    ） A．8.5环 B．7环 C．6环 D．5环 【答案】C 【分析】本题考查了箱线图的知识，理解箱线图的数据是关键，根据箱线图即可得到下四分位数是6，由此即可求解． 【详解】解：根据图示得到，这组数据的下四分位数是6环， 故选：C ． 变式1．某市近几天气温（单位：）如下：5，3，2，3，1，，则这组数据的下四分位数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查下四分位数的计算，需要将数据由小到大排列，然后根据下四分位数的定义求解即可． 【详解】解：将数据按从小到大的顺序排列：，1，2，3，3，5，共6个数据，这组数据的下半部分为，1，2，其中位数为1，故该组数据的下四分位数为1。 故答案为：1． 变式2．为引导广大青少年树立正确的世界观、人生观、价值观，传承红色基因，某校组织了一次以“赓续红色血脉，强国复兴有我”为主题的知识竞赛（满分100分）．从八年级随机抽取两个班级（记为A班，B班）各10名代表参加比赛，现收集这两个班参赛学生的 成绩如下： 【收集数据】 A班 80 82 90 96 97 90 92 100 99 94 B班 82 88 92 92 94 92 83 92 95 100 【分析数据】 （1）通过计算，得出A班成绩的平均数分，则B班成绩的平均数 分；比较可知，A班成绩的平均数 B班成绩的平均数（填，或）； （2）下表为两个班级成绩的四分位数统计表： 班级 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 80 90 ① ② 100 B 82 88 92 94 100 则①处应填 分，②处应填 分；比较可知，A班成绩的中位数 B班成绩的中位数（填，或）； 【作出决策】 （3）已知A班成绩的方差，请你根据两班成绩，通过计算分析，A，B两个班级中哪个班级成绩较稳定？ 【答案】（1）91，；（2）93，97，；（3）B班成绩比较稳定． 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差、四分位数，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平均数的公式，由统计表中得到数据，求解即可； （2）先把A班，B班的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可； （3）求得B班的方差，与A班的方差进行比较，即可求解． 【详解】解：（1）B班平均数: B班成绩为:82，83，88，92，92，92，92，94，95，100(共10人)， 总和， 平均数分， 而A班平均数分，所以， 故答案为：91，>； （2）A班四分位数: A班成绩排序:80，82，90，90，92，94，96，97，99，100， 中位数，即①处填93； 第三四分位数：上半部分(后5个数)为94，96，97，99，100，中位数为97， 即②处填97； 比较中位数：A班93，B班92，所以， 故答案为：93，97，>； （3） ， ∵， ∴B班成绩比较稳定． 题型24画箱线图 例24．下面是根据八（2）班学生1分钟跳绳次数制作的箱线图，则由图不能确定这组数据的（   ） A．最大值、最小值 B．中位数 C．上四分位数、下四分位数 D．平均数 【答案】D 【分析】本题考查箱线图的概念及统计量的识别，关键是明确箱线图各部分对应的统计量．箱线图的最左端点对应最小值，最右端点对应最大值；箱子的左边界为下四分位数，右边界为上四分位数；箱子内部的横线为中位数．而平均数是所有数据的算术平均值，箱线图无法提供所有数据的具体信息，因此无法确定平均数． 【详解】解：∵箱线图能够直观展示数据的最小值、最大值、中位数、上四分位数和下四分位数， ∴A、B、C选项中的统计量均可通过箱线图确定； ∵平均数需根据所有数据的总和除以数据个数计算，箱线图未给出每个数据的具体数值，无法计算出平均数， ∴不能确定的是平均数． 故选：D． 变式1．如图是某少年足球队全体队员年龄的箱线图（单位：岁），则这组数据的上四分位数是 岁． 【答案】14 【分析】本题考查了箱线图的特点：箱线图中包含了最小值、最大值和四分位数信息，根据箱线图的结构解答即可． 【详解】解：由箱线图可知，15是最大值，14是上四分位数，13是中位数，11是下四分位数，10是最小值． 故答案为：14． 变式2．老师记录了全班40名学生跳绳的次数：， (1)老师绘制了如图所示的统计图，这种图称为__________，其中__________，__________，__________． (2)如图，中间的“箱子”被分成了两部分，其中“下半截箱子”比较短，这说明什么？ (3)请你估计一下，全班学生跳绳次数的平均数和中位数哪个大？你是怎么估计的？ 【答案】(1)箱线图；144；136；132 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查四分位数，箱线图； （1）根据箱线图和四分位数的定义求解即可； （2）根据箱线图的特征解答即可； （3）由箱线图可知中位数离下四分位数近，平均数大于中位数． 【详解】（1）解：老师绘制了如图所示的统计图，这种图称为箱线图， 在这组数据中居于中间的两个数为,，故中位数； 上四分位数为； 下四分位数为； 故答案为：箱线图；144；136；132． （2）解：说明中位数更靠近下四分位数，数据在中位数以下更集中． （3）解：估计全班学生跳绳次数的平均数大，因为最大值和上四分位数距离中位数比最小值和下四分位数远，会拉高平均数． 题型25根据要求选择合适的统计量 例25．运动会期间，某班要从9名跑成绩各不相同的同学中，选4名参加的接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．下四分位数 【答案】B 【分析】本题主要考查中位数的意义，熟练掌握中位数的意义是解决此题的关键． 本题需判断哪个统计量能让同学知晓自己是否入选前4名，核心是找到入选与未入选的分界成绩，结合各统计量的定义分析即可． 【详解】解：∵9名同学成绩各不相同，将成绩按从优到劣（跑步时间由短到长）排序后，前4名可入选， 又∵9个数据的中位数是排序后第5个数据，恰好是入选与未入选的分界成绩， ∴同学将自身成绩与中位数对比，若成绩优于中位数（时间更短）则入选，反之则未入选， ∵平均数易受极端值影响、众数在本题无意义（成绩均不同），下四分位数均无法直接判断是否进入前4名， ∴老师只需公布中位数． 故选：B． 变式1．某校八年级（2）班为选拔名同学参加学校团委组织的党史知识竞赛，有名同学报名参加选拔赛，选拔赛分数各不相同，取前名同学参加学校的决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这名同学分数的 （填“众数”或“中位数”或“平均数”） 【答案】中位数 【分析】本题主要考查了统计量的选择，中位数的意义等知识点，熟练掌握中位数的定义是解题的关键：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 由于取前名同学参加学校的决赛，共有名同学参加选拔赛，根据中位数的意义分析即可得出答案． 【详解】解：个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后共有个数， 只要知道自己的分数和中位数，就可以知道自己能否进入决赛了， 故答案为：中位数． 变式2．跳绳是一种古老的汉族民俗娱乐活动，起源于古代，清末以后称作“跳绳”，作为一种简便易行的健身活动，跳绳不仅可以强身健体，还具有观赏性和协调性．某跳绳教练对自己任教的①②两个组（每个组均为40人）的学生进行跳绳检测，并对成绩进行统计，得出相关统计表和统计图．成绩等级分为：A（160次及以上），B（次），C（次），D（120次以下），其中A为优秀级别． 第①组成绩数据 第②组成绩数据 特别备注 平均数，众数，中位数，优秀率 158，152，152， 第②组中B等级的成绩分别是：140，142，146，146，146，148，152．154，156．158． 根据以上信息，回答下列问题， (1)第②组成绩在（次）区间的数据个数为 ，第②组成绩的中位数为 ； (2)从优秀率来看，哪组的成绩更好一些？ (3)已知第①组每种成绩最多有2人相同，则成绩是152次的学员，在第 （选填“①”或“②”）组的名次更好些． 【答案】(1)3，144 (2)第①组的成绩更好一些 (3)② 【分析】本题主要考查了求中位数，运用中位数做决策，频数分布直方图等等，正确理解题意是解题的关键． （1）用40减去其他等级区间的人数即可得到第一空答案；根据中位数的定义可得第二空的答案； （2）求出第②组的优秀率即可得到答案； （3）成绩是152次的学员在第①组最好成绩是第20名，在第②组是第16名，据此可得答案． 【详解】（1）解：， ∴第②组成绩在（次）区间的数据个数为3； 把第②组40人的跳绳成绩按照从低到高的顺序排列，中位数为第20名和第21名的成绩， ∵， ∴第②组成绩的中位数为； （2）解：第②组的优秀率为， ∵， ∴从优秀率来看，第①组的成绩更好一些； （3）解：∵①组每种成绩最多有2人相同，且第①组成绩的中位数为152次， ∴成绩是152次的学员在第①组的最好成绩为第20名， ∵成绩是152次的学员在第②组的成绩为第16名， ∴成绩是152次的学员，在第②组的名次更好些． 题型26利用合适的统计量做决策 例26．散点图主要用于展示（   ） A．数据的集中趋势 B．数据的离散程度 C．两个变量之间的关系 D．数据的分布情况 【答案】C 【分析】本题考查了统计图表的用途，掌握散点图用于展示两个变量的关系，不同统计特征对应不同的统计工具或图表是解题的关键． 散点图是一种统计图形，用于展示两个变量之间的关系，通过点的分布观察变量之间的相关性或模式． 【详解】解：∵散点图通过在坐标系中绘制点来表示两个变量的数值对， ∴它主要用于展示两个变量之间的关系，如正相关、负相关或无相关． A、（数据的集中趋势）通常由均值或中位数表示，不符合题意； B、（数据的离散程度）由方差或标准差表示，不符合题意； C、（两个变量之间的关系）由散点图表示，符合题意； D、（数据的分布情况）由直方图或箱线图表示，不符合题意； 故选：C． 变式1．某单位设有6个部门，共153人，如下表： 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 人数 26 16 22 32 43 14 该单位组织了“学党史，促提升”每周答题活动，一共10道题，每题10分，满分100分．某周的周三，有一个部门还没有参与答题，其余5个部门全部完成了答题，得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数之比为．尚未参与答题的部门是 ． 【答案】部门5 【分析】本题考查统计与概率，解本题的关键首先考虑人数为正整数，还要掌握统计的基本知识． 分别求出得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数占完成人数的比例，可得完成人数的总和的个位数为0，再由 6个部门有153人，可得未参与部门人数个位一定为3，即可求解． 【详解】解：得分为100分的人数占完成人数的， 得分为90分的人数占完成人数的， 得分为80分的人数占完成人数的， 得分为70分的人数占完成人数的， 得分为60分的人数占完成人数的， ∵各分数人数为整数，即总参与人数整数， ∴总参与人数是10的倍数，即完成人数的总和的个位数为0， ∵ 6个部门有153人，即人， ∴未参与部门人数个位一定为3， ∴未参与答题的部门是部门5． 故答案为：部门5． 变式2．甲、乙两位学生各自记录了8次自己从家到学校所用的时间（单位：）． 甲：15  12  15  13  16  14  13  14 乙：16  20  12  22  13  25  13  19 将数据进行以下整理和分析． 表1 学生 平均数/ 方差 甲 乙 表2 学生 最小值、四分位数和最大值/ 最小值 最大值 甲 乙 (1)请确定表1中的值，并用平均数、方差分析两人从家到学校所用的时间； (2)请确定表2中，的值，并在图1中画出甲从家到学校所用时间的箱线图，再用四分位数、箱线图分析两人从家到学校所用的时间； (3)根据数据信息及（1）和（2）中的分析，你还能作出什么判断或猜想？请写出一条． 【答案】(1)；甲从家到学校的平均用时更短，且时间更稳定，波动更小； (2)，；箱线图见解析；甲的时间更集中，乙的时间波动更大； (3)见解析 【分析】本题考查平均数的计算与方差的统计意义，四分位数的计算，箱线图的绘制与解读，以及基于统计数据的分析与推断．关键是要掌握各类统计量的定义，能从原始数据中提取关键统计信息，并通过统计量和图表对比分析两组数据的集中趋势、离散程度与分布特征． （1）根据平均数定义，将甲的8次用时数据求和，再除以数据个数8，即可得到的值对比甲、乙的平均数，判断谁的平均用时更短；对比甲、乙的方差，方差越小说明数据波动越小，用时越稳定． （2）先将甲的用时数据从小到大排序，因数据个数为偶数，取中间两个数的平均值作为中位数；上四分位数对应第百分位数，8个数据的位置为，取排序后第6、7个数的平均值得到；根据甲的“最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值”这5个关键统计量，绘制箱线图即可；对比甲、乙的四分位数间距(箱子长度)，间距越小说明数据越集中；对比中位数，中位数越小说明整体用时越短． （3）结合（1）（2）中得到的平均数、方差、四分位数及箱线图信息，从“用时长短、稳定性、是否存在极端值”等角度提出合理判断，例如：甲的用时整体更短且更稳定；乙的用时波动大，存在极端值等． 【详解】（1）解：甲的平均数； ∵甲的平均数乙的平均数，且甲的方差乙的方差， ∴甲从家到学校的平均用时更短，且时间更稳定，波动更小； （2）解：将甲的时间从小到大排序：， 中位数， 上四分位数对应位置为，取第6、7个数的平均数，得； 画出甲从家到学校所用时间的箱线图如图所示： ∵甲的四分位数间距远小于乙的四分位数间距，且甲的中位数更小， ∴甲的时间更集中，乙的时间波动更大； （3）解：根据数据可作出判断，如：甲从家到学校的用时整体更短且更稳定；乙的用时波动大，存在极端值；甲的用时没有极端值，时间规律更强等． ✍ 巩固提升综合测试 一、单选题 1．小王用智能手表记录了一周睡眠时间，其中工作日和周末差异较大．工作日5天平均每天睡7小时，周末2天平均每天睡9小时．下列数据用来表示小王这一周的平均睡眠时间合理的是（   ） A．7 B．7.57 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了平均数的计算，计算一周总睡眠时间除以总天数7，得到平均睡眠时间即可． 【详解】解：小王这一周的平均睡眠时间为：（小时）， 故选：B． 2．一组数6，8，x，14的平均数是9，则数8出现的频数是（    ） A．1 B．2 C．6 D．8 【答案】B 【分析】此题主要考查了频数与平均数，正确理解平均数的定义以及计算方法，是解决本题的关键． 根据平均数的定义，先求出的值，再统计出现的次数． 【详解】解：∵ 数据的平均数为， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 数据组为， ∴ 数出现的频数为. 故选：B． 3．4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是求解平均数，利用样本估计总体，求解数据的平均数即可． 【详解】解：， 本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为． 故选：B 4．某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程．利用加权平均数的计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设成绩为分的人数为，由题意，得 ， 解得． 故选：． 5．某校把学生的笔答测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按，，的比例计入学期总评成绩，高于90分为优秀．甲、乙、丙三人的各项成绩如下表（单位：分），学期总评成绩优秀的是（   ） 笔答测试 实践能力 成长记录 甲 90 83 95 乙 88 90 95 丙 90 88 90 A．甲 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、丙 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数的计算方法．通过计算加权平均数得到每个人的总评成绩，再判断是否大于90分以确定优秀. 【详解】解：甲的总评成绩， 乙的总评成绩， 丙的总评成绩， 因此甲和乙的总评成绩优秀． 故选：C． 6．一组数据1，3，5，8，的中位数是5，则下列的取值中，满足条件的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中位数的定义； 根据奇数个数据的中位数概念，确定的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵中位数定义为：将数据从小到大排列后，奇数个数据的中位数是中间位置的数， ∵这组数据共5个，中位数是5， ∴将数据从小到大排列后，第3个数必须为5， ∴需满足， ∵选项中仅符合条件， 故选：D． 7．一组数据的方差为，则该组数据的总和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方差的公式可以得到平均数，用平均数乘上这组数据的个数即可得解．本题考查方差公式的定义与意义，从方差的公式可以得到平均数是解题的关键． 【详解】由方差公式可知，数据组的平均数为4．数据个数为5，因此总和为平均数乘以个数，即． 故选：D． 8．甲、乙两班举行计算机汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的情况统计如下（每分钟录入汉字个为优秀）： 班级 参赛人数 中位数 平均数 方差 甲班 55 149 135 191 乙班 55 151 135 110 给出下列结论： （1）甲、乙两班学生比赛成绩的平均水平相同； （2）乙班比赛成绩优秀的学生多于甲班； （3）乙班学生比赛的成绩比较稳定． 其中，正确的结论是（   ） A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（2）（3） 【答案】A 【分析】本题考查了平均数，中位数，方差，正确理解统计量的意义是解题的关键．通过比较两班的平均数、中位数和方差，判断各结论的正确性． 【详解】解：∵甲班平均数为135，乙班平均数为135， ∴两班平均水平相同，结论（1）正确； ∵甲班中位数为149， ∴成绩排序后第28名的学生成绩为149，因此甲班优秀（）人数至多27人， ∵乙班中位数为151， ∴成绩排序后第28名的学生成绩为151，因此乙班优秀人数至少28人， ∴乙班优秀学生人数多于甲班，结论（2）正确； ∵乙班方差为110，甲班方差为191，且， ∴乙班成绩更稳定，结论（3）正确； ∴结论（1）（2）（3）正确． 故选：A． 9．如图，该箱线图反映了某场女排决赛中两队队员拦网高度情况．下列说法正确的是（　　） A．甲队队员拦网高度的整体水平更高 B．乙队队员拦网高度的平均数更大 C．甲队队员拦网高度的方差更大 D．乙队队员拦网高度的中位数更大 【答案】A 【分析】本题考查方差，四分位数，结合统计图的数据集中程度和中位数等根据生活实际分析即可解答． 【详解】解：从图中可以看出， 甲队拦网高度的整体水平比乙队高，故选项A符合题意； 甲队队员拦网高度的平均数更大，故选项B不符合题意； 甲队队员拦网高度的方差更小，故选项C不符合题意； 乙队队员拦网高度的中位数更小，故选项D符合题意． 故选：A． 10．商场准备购进500双某款滑冰鞋销售，为此调查了某段时间内，这款滑冰鞋不同鞋号的销售量，统计如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量/双 2 4 5 5 12 6 3 2 1 根据以上数据，商场计算了这些滑冰鞋鞋号的平均数、中位数、众数、方差．商场在购进这款滑冰鞋时，最关心的统计量为（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题主要考查了用众数做决策，商场购进滑冰鞋时，最关心的是哪种鞋号销售量最大，以确保进货符合市场需求，避免库存积压．众数表示数据中出现次数最多的值，即最受欢迎的鞋号，因此是商场最关心的统计量． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的值，能反映最受欢迎的鞋号； ∴商场在购进时最关心的统计量为众数， 故选：C． 二、填空题 11．一组数据，，，，的平均数是4，那么另一组数据，，，，的平均数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了求平均数，熟练掌握平均数的计算公式是解此题的关键．根据平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：∵一组数据，，，，的平均数是4， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图是一，二两组同学将本组最近5次数学平均成绩，分别绘制成的折线统计图．由统计图可知： （1）二组成绩中，平均成绩最大是第 次； （2）在这五次成绩中， 组进步更大．（选填“一”或“二”） 【答案】 5 一 【分析】本题考查了读取图象信息的能力， （1）观察二组成绩，越在上面的平均数越大，即可作答． （2）一组的数据是从70分上升到90分，二组的数据是从70分上升到85分，即可作答． 【详解】解：（1）观察图象，得出越在上面的平均数越大， ∴二组成绩中，平均成绩最大是第5次 （2）∵观察图象，得出一组的数据是从70分上升到90分，二组的数据是从70分上升到85分， ∴ ∴在这五次成绩中，一组进步更大 故答案为：5，一． 13．某超市招聘收银员一名，对甲、乙两名申请人进行了三项素质测试，两名候选人的素质测试成绩如下表：公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别按40%，40%，20%的比例计算，成绩高者被录用，则这两人中 将被录用． 素质测试 试成绩/分 甲 乙 计算机 90 80 语言 75 85 商品知识 70 80 【答案】乙 【分析】本题考查加权平均数的实际应用，理解加权平均数的定义以及求解方法是解题关键．分别计算出两名候选人的加权平均数，比较即可得出结论． 【详解】解：甲的加权平均成绩： （分） 乙的加权平均成绩： （分） 由于， 故乙将被录用． 故答案为：乙． 14．下列数据5，8，15，m，10，7，的中位数和平均数都相同，则m的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了平均数及中位数，熟练掌握中位数的意义是解题的关键． 这一组数据的平均数为，因该组数据只有6个，故中位数应为将该组数据按从小到大顺序排列，处于最中间两个数的平均数，分情况讨论m的位置，分别求出m的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得这组数据的平均数为：， 由题意可知分为三种情况， 将原数据除去m后从小到大排序为5， 7， 8， 10， 15； ①当时，排序后数据的中间两数为7， 8，则中位数为中位数为， 由题意得，解得，满足，故此情况成立； ②当时，排序后数据的中间两数为8， m，则中位数为， 由题意得：，解得，不满足，故此情况不成立； ③当时，排序后数据的中间两数为8， 10，则中位数为， 由题意得：，解得．不满足，故此情况不成立． 综上所述，m的值为0． 故答案为：0． 15．若，，，，这组数据的众数是，则这组数据的中位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查众数和中位数的概念．熟悉众数和中位数的概念是解题的关键．众数是，说明出现次数最多，因此的值为，将数据从小到大排列后，中位数为第三个数． 【详解】解：数据的众数是，则的值为， 将数据从小到大排列为：， 中间的数是，因此中位数是． 故答案为：． 16．某校九年级有8个班级，人数分别为．若这组数据的众数为42，则这组数据的中位数为 ． 【答案】45 【分析】本题考查中位数和众数．根据众数为42，可知，再将所有数据按从小到大排序，由于数据个数为偶数，中位数为中间两个数的平均值，解答即可． 【详解】解：除了a，这组数据包含两个47，两个42， ∵这组数据的众数为42， ∴． 故数据从小到大排序后：42，42，42，44，46，47，47，48． ∵一共有8个数据， ∴中位数为第4和第5个数的平均值，即． 故答案为：45． 17．已知一组数据的离差平方和，则这组数据的方差的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查方差与离差平方和，根据方差是离差平方和的平均值，数据个数为4，离差平方和为20，代入公式计算即可 【详解】解：一组数据的离差平方和， ∴这组数据的方差的值是， 故答案为：5． 18．某市中小学开展故事演讲比赛，某参赛小组6名学生的成绩（单位：分）分别为85，82，86，82，83，92，则这组数据的方差是 ，离差平方和是 ． 【答案】 12 72 【分析】本题考查方差和离差平方和的计算，掌握方差和离差平方和的计算是解题的关键． 先求平均值，再计算各数据与平均值的差的平方和，得到离差平方和，方差是离差平方和除以数据个数． 【详解】解：这组数据的平均值为 ． 离差平方和为 ． 方差为 ． 故答案为12，72． 19．小明在计算一组数据的方差时，列出下面没有化简的式子：，根据这个式子，可以计算出这组数据的平均数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了方差的定义及平均数的计算，解题的关键是从方差公式中识别数据点并计算平均数． 由方差公式可知式子中的数据点为、、、，然后通过算术平均数公式计算即可． 【详解】解：由方差公式可得数据点为、、、，则平均数 故答案为：． 20．为了铸牢学生的安全意识，学校举行了“防溺水”安全知识竞赛，记分员小红将7位评委给某位选手的评分进行整理，并制作成如下表格，若去掉一个最高分和一个最低分后，表中数据一定不发生变化的统计量是 ． 平均数 中位数 众数 方差 8.9 9.1 9.1 0.11 【答案】中位数 【分析】此题主要考查了统计量的选择，关键是掌握中位数定义．根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案． 【详解】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数， 故答案为：中位数． 三、解答题 21．某工厂有220名员工，财务科要了解员工收入情况．现在抽测了10名员工的本月收入，结果如下：（单位：元）1660，1540，1510，1670，1620，1580，1580，1600，1620，1620 (1)全厂员工的月平均收入是多少？ (2)平均每名员工的年薪是多少？ (3)财务科本月应准备多少钱发工资？ 【答案】(1)1600元 (2)19200元 (3)35.2万元 【分析】（1）要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可； （2）年薪用月平均工资乘以12即可求得； （3）平均数乘以220即可． 【详解】（1）员工的月平均收入为： （元）； （2）平均每名员工的年薪是：（元）； （3）从（2）得到员工的月平均收入为1600元，工厂共有220名员工， 所以，财务科本月应准备（万元）． 【点睛】本题考查了算术平均数，掌握求算术平均数的公式是解答本题的关键． 22．某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误． 回答下列问题： 第一步：求平均数的公式是； 第二步：在该问题中，； 第三步：（棵）． (1)小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？ (2)请你帮他修改条形统计图，计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵？ 【答案】(1)第二步 (2)见解析，5.3，1378棵 【分析】本题考查的是条形统计图，从图中能够准确获得信息是解决此题的关键． （1）结合加权平均数的算法可解答； （2）求出正确的平均数，乘以260即可得到结果． 【详解】（1）解：第二步；错误的原因为，而不是； （2）解：条形图中D的人数为，如图， ， 估计这260名学生共植树（棵）． 23．某校开展了心理健康知识竞答活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（成绩为百分制且为整数），进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示）．共分成4组：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞答成绩在B组中的数据是：81，82，82，82，83，83，85，86． 八年级20名学生竞答成绩是：60，62，66，68，71，75，76，77，81，83，83，83，83，84，90，90，91，91，92，94． 七、八年级所抽取学生竞答成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 80 80 中位数 a 83 众数 82 b    请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______，_____，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞答成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生650人，八年级有学生700人，请估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于90分的学生共有多少人？ 【答案】(1)82，83，40 (2)八年级，理由见解析 (3)340人 【分析】本题主要考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）利用扇形统计图求出C、D组的人数，再利用中位数定义和组数据即可求出的值，再利用众数定义即可求出的值，最后利用扇形和B组人数即可求出的值； （2）根据平均数、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【详解】（1）解：七年级20名学生竞答成绩在C、D组的数据共有（人）， 将七年级20名学生竞答成绩从小到大顺序排列，中位数为第10位和第11位的平均数， ∴； ∵八年级20名学生竞答成绩中出现次数最多的是83， ∴； ∵七年级20名学生竞答成绩在B组中的数据共8个， ∴， ∴； 故答案为：82，83，40； （2）解：该校八年级学生的竞答成绩更好，理由如下： 因为该校七、八年级学生竞答成绩的平均数相同，但八年级竞答成绩中位数大于七年级竞答成绩中位数，所以八年级学生的竞答成绩更好（答案不唯一）； （3）解：（人）， 答：估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于90分的学生共有340人． 24．今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利八十周年．某市计划举办“铭记历史，缅怀先烈”主题知识竞赛．学校组建了甲，乙两支各20人的队伍，举行了一场预选赛，甲队成绩的频数分布直方图（成绩分成5组：，，，，）与乙队的成绩如下： 甲队成绩频数分布直方图 乙队成绩 78，81，82，83，86，87，89， 89，89，90，91，91，92，92， 93，93，93，93，94，99． 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图，乙队成绩的众数为 ； (2)甲队成绩的中位数 乙队成绩的中位数；（填“”“”“”号） (3)学校对预选赛成绩超过95分的小军，小明和小青三人又进行了五次测试，成绩如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 小军 96 97 97 98 97 小明 95 99 95 99 96 小青 98 96 96 98 平均数较大的人排名靠前，如果平均数相同，则方差较小的人排名靠前．若小青排名第二，则整数 ． 【答案】(1)统计图见解析，93 (2) (3)或 【分析】本题主要考查频数分布表、中位数、方差、平均数等知识点，掌握方差、平均数、中位数的求法是解题的关键． （1）先求出的频数，再补全条形统计图；根据众数的定义确定乙队成绩的众数即可； （2）分别求出甲、乙两队的中位数，然后比较即可； （3）分别求出小军、小明的平均数和方差，再根用表示出小青的平均数，然后根据题意确定n的值，最后运用方差验证即可． 【详解】（1）解：甲队成绩中的频数为：， 故补全条形统计图如下： ； 乙队成绩中出现次数最多的是93，即众数为93； （2）解：由甲队成绩的频数分布表可知：其中位数在中； 乙队成绩的中位数为， 所以甲队成绩的中位数小于乙队成绩的中位数． 故答案为：． （3）解：小军的平均数：； 小军的方差： ； 小明的平均数：； 小明的方差：； 小青的平均数：； ∵小青排名第二， ∴，即，解得：； ，即，解得：； ∵n为整数， ∴或； 当时，，小青和小明平均数相同，小于小军的平均数， ， ∴， ∴时，小青排第二，符合题意． 当时，，小青和小军平均数相同，大于小明的平均数， ， ∴， ∴时，小青排第二，符合题意． 综上所述：或． 25．苦荞饸饹条细，色泽金黄，绵软筋韧，清香利口，因糖分含量少，粗纤维多，利于消化，对糖尿病有一定的防治作用，为某地区著名小吃．随机抽取某苦荞饸饹销售商一周的营业额（单位：元）如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 营业额/元 700 750 700 800 700 1200 1100 (1)这一周营业额的平均数是________元，中位数是________元，众数是________元； (2)如果要估计该苦荞饸饹销售商一个月（按30天计算）的营业额，你认为平均数、中位数、众数中，哪一个最适合用来估计？并用最适合的数据估计该苦荞饸饹销售商一个月的营业额 【答案】(1)850，750，700 (2)平均数最适合用来估计，25500元． 【分析】本题考查的是平均数、众数和中位数，熟练掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义、平均数定义进行解答即可； （2）可用平均一天的营业额乘以总天数即可得出答案． 【详解】（1）解：这一周营业额的平均数为元． 把这些数从小到大排列为：700，700，700，750，800，1100，1200，则中位数是750元； ∵700出现了3次，出现的次数最多， ∴众数是700元； 故答案为：850，750；700． （2）解：平均数最适合用来估计． （元）． 答：估计该苦荞饸饹销售商一个月的营业额为25500元． 26．2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为了让同学们铭记历史、缅怀先烈，弘扬伟大的爱国主义精神、伟大的抗战精神，某地区甲、乙两个学校举行了“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年”知识竞赛，最后的决赛阶段，甲、乙两个学校各选出了10名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙校：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 (1)求甲校测试成绩的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查箱线图的运用． （1）根据四分位数的计算方法即可求解； （2）根据箱线图的画法作图即可求解； （3）根据箱线图数据分析即可． 【详解】（1）解：将甲组的成绩从小到大排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，共有10个数据， ∴中位数为， 前半段的数据：60，70，70，80，89， ∴， 后半段的数据：91，92，96，98，100， ， ∴，，； （2）解：如图所示： （3）解：根据箱线图和四分位数可知甲校成绩的中位数和乙校相同，但甲校成绩明显比乙校的波动大． 27．某市射击队为了从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射击一次，并对、两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集．如图1，将、两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图．         选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 ① ② ③ (1)小明利用平均数、方差进行分析.通过计算平均数，环，通过计算方差，，请计算选手的平均数和方差，然后比较两人的射击水平． (2)小颗利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析：①处应填_____环，②处应填____环，③处应填____环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数______选手射击成绩的中位数（填、或），且选手的射击成绩明显比选手的射击成绩波动大． (3)请你根据八轮射击成绩，从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】(1)，，选手的射击水平较高，且发挥更稳定 (2)，，， (3)选择选手参加青少年射击比赛，理由见解析 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平均数和方差计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把、选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ，， 选手的射击水平较高，且发挥更稳定； （2）选手的数据从小到大排列为，，，，，，，， 下四分位数为，即； 中位数为，即； 选手的数据从小到大排列为，，，，，，，， 上四分位数为，即， 可以发现选手射击成绩的中位数选手射击成绩的中位数， 故答案为：，，，； （3）选择选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为、两名选手的中位数相等，但选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 28．2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．实验中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的成绩是：． 九年级20名学生的成绩在组中的数据是：． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 89 90 九年级 89 92 九年级抽取学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________；__________，__________； (2)根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条） (3)若该校八年级有500人，九年级有600人，且得分在90分及以上为优秀，请估计这两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数． 【答案】(1)，， (2)八年级的成绩更好，理由见解析 (3)两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数为人 【分析】本题考查统计图的应用、众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键． （1）先求出九年级C组占比，进而即可得出m的值，根据众数和中位数的定义即可得出a、b的值； （2）可从平均数、众数、中位数角度分析解答； （3）利用样本估计总体解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 在八年级的成绩中出现次，次数最多， 故； 九年级成绩中D组人数为人， 中位数应是排列后居于第位和位数据的平均数，即； 故答案为：，，； （2）解：八年级的成绩更好，理由为： 因为八年级成绩的中位数为，九年级成绩的中位数为，由于，所以八年级的成绩更好； （3）解：人， 答：两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数为人． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章数据的分析寒假预习讲义（人教版） ✅ 预习内容概览 1.课前预习★目标 2.重点知识★梳理归纳 3.核心考点★精讲精练 4.巩固提升★综合测试 💧 课前预习★目标 1.了解数据收集、整理、描述的基本过程，能识别统计表、统计图的基本结构； 2.知道平均数、中位数、众数的概念，初步理解其表示数据集中趋势的意义； 3.了解极差、方差的含义，知道其用于描述数据的离散程度与波动大小； 4.能从简单统计图表中提取有效信息，初步判断数据的基本特征。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1】算术平均数和加权平均数 1．算术平均数 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作．计算公式为．（反映数据的平均水平） 2．加权平均数 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数．（考虑权重不同时的平均水平） 【知识点2】中位数和众数 1．中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间 位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数． 2．众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 【知识点3】平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要． 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动； 当一组数据中有个别数据太高或太低，用中位数或众数则较合适．中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响； 众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述． 【知识点4】极差、方差和标准差 1．极差：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值． 2．方差：方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量．方差的计算公式是： 　　 3．标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： ；标准差的数量单位与原数据一致． 【知识点5】极差、方差和标准差的联系与区别 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大； 方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好． 所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差． 在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差． 【知识点6】统计图与数据分析 1.常见图表：条形图、折线图、扇形图、直方图 2.读图要点： （1）看清标题、单位、横轴、纵轴含义（2）提取总数、部分占比、变化趋势 3.用统计量做决策： （1）看平均水平：用平均数（2）看中游水平、不受极端影响：用中位数 （3）看最常见情况：用众数（4）看稳定性、整齐度：用方差 【知识点7】常考题型总结 （1）.求平均数、中位数、众数； （2）.求极差、方差、标准差 （3）.根据统计量判断数据特征 （4).从统计图中提取信息并分析决策 （5）.用样本估计总体 ✏ 核心考点★精讲精练 题型1求一组数据的平均数 例1．某小组6名同学的身高（单位：）分别为160、162、159、161、158、160，则这组数据的平均数是（   ） A．160 B．161 C．162 D．163 变式1．已知一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是 ． 变式2．某城市六年级学生的平均身高为155cm，下表是某学校六年级一个小组的学生的身高与平均身高的比较情况高于平均身高用正数表示，低于平均身高用负数表示 姓名 小明 小丽 小杰 小强 小慧 小晶 身高情况 3 9 5 这个小组学生的平均身高比该城市六年级学生的平均身高高还是低?为多少 题型2已知平均数求未知数据的值 例2．气象小组测得上周星期一至星期日的室外气温如下表所示，并算得平均气温为31℃，则星期三的气温是（    ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 气温/℃ 31 34 31 32 28 29 A．30℃ B．31℃ C．32℃ D．33℃ 变式1．有三个数，甲数和乙数的平均数是81，甲数和丙数的平均数是85，乙数和丙数的平均数是86．甲、乙、丙这三个数各是 ． 变式2．甲、乙两所学校号召学生们向希望小学捐赠图书．已知甲校800名学生平均每人捐书4.5本，乙校学生比甲校少80人，如果要达到相同的捐书总量，求乙校学生平均每人要捐书多少本． 题型3利用已知的平均数求相关数据的平均数 例3．如果一组数据的平均数是2，那么一组新数据的平均数是（　　） A．2 B．6 C．8 D．18 变式1．已知一组数据的平均数是2025，则另一组数据，，，的平均数是 ． 变式2．某校为灾区开展了“献出我们的爱”赈灾捐款活动，八年级某班名同学积极参加了这次赈灾捐款活动，下表是小明制作的全班同学捐款情况的统计表： 捐款数元                          人数                          两处不慎被墨水污染，已无法看清，但已经知道全班平均每人捐款元． 根据以上信息，请帮助小明计算出被污染的数据，并写出解答过程． 题型4利用平均数做决策 例4．六年级同学参加科普知识竞赛．男生组的平均成绩是86分，女生组的平均成绩是84分．男生组第一名与女生组第一名相比，（   ） A．男生成绩高 B．女生成绩高 C．成绩相等 D．无法确定谁成绩高 变式1．意义：平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据 的一项指标． 变式2．张华与王强两人的期末6科考试成绩如下表： 政治 语文 英语 数学 物理 化学 张华 88 84 91 96 76 81 王强 83 95 89 93 89 67 (1)求两人的学习成绩的平均数； (2)现要从中选一人参加除政治外其他五科竞赛，应选谁去？说明理由． 题型5求加权平均数 例5．小丽在本学期的数学成绩如下：平时测验成绩为93分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是（　　） A．92.5分 B．92.8分 C．93.1分 D．93.3分 变式1．某中学校史展览馆要招募一名讲解员，小明经历了笔试和试讲两轮测试．他的笔试和试讲成绩分别为90分，80分．综合成绩中笔试占，试讲占，小明的综合成绩为 分． 变式2．为培养青少年的科技创新精神，某校组织了一次科创比赛，并对每位参赛选手的作品按照创新性占，实用性占，丰富性占的比例计算最终得分．已知悦悦同学作品的创新性、实用性、丰富性得分（百分制）依次为80分，70分，90分，请计算悦悦同学作品的最终得分． 题型6利用加权平均数求位置数据的值 例6．在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 变式1．如表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则 ． 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 变式2．某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男，女生的平均成绩分别是81分，75.5分，求该班男，女生人数之比． 题型7运用加权平均数做决策 例7．学校拟推荐一名同学参加市级演讲比赛，现对甲、乙、丙、丁四位候选人进行量化评分，具体成绩如下表：若总成绩的计算方法是：语言表达能力舞台仪态表现，根据总成绩择优推荐，那么应推荐的同学是（   ） 甲 乙 丙 丁 语言表达能力 96 80 92 91 舞台仪态表现 80 96 84 84 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 变式1．某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示： 候选人 文化水平 艺术水平 组织能力 甲 80分 85分 85分 乙 80分 95分 75分 如果根据综合成绩择优录取，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，则应该录取 ． 变式2．学校团委组织了“中国梦·航天情”系列竞赛活动，八年级甲、乙两个班级各项目比赛成绩如下表： 知识竞赛/分 演讲比赛/分 板报评比/分 甲班 85 91 88 乙班 90 84 87 如果将知识竞赛、演讲比赛、板报评比按的比确定最后成绩，请你通过计算，说明甲、乙两班中哪个班将获胜． 题型8出错情况下的平均数问题 例8．某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 变式1．长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是 ． 变式2．为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会 ．（填“不变”、“变大”、“变小”） 题型9用计算器求平均数 例9．用计算器计算数据：，，，，的平均数是(    ) A． B． C． D．. 变式1．如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下 ，则显示的结果为 ． 变式2．请用计算器求数据271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的平均数，结果是 ． 题型10求中位数 例10．在学校迎春节歌咏比赛中，参加决赛的7位同学成绩依次为：80，77，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（   ） A．77 B．79 C．79.5 D．80 变式1．为了进一步落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”五项管理要求，某校对学生的睡眠状况进行了调查，经统计得到6个班学生每天的平均睡眠时间（单位：小时）分别为8，8，8，，，9，则这组数据的中位数为 ． 变式2．一组数据2，3，，，7中（，为整数），唯一的众数是7，平均数是4，求这组数据的中位数． 题型11利用中位数求未知数据的值 例11．已知一组数据a，2，4，8，6的中位数是6，那么a可以是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 变式1．若一组数据2， x， 4， 5， 6的中位数为4，则x的取值范围是 ． 变式2．已知一组数据，，，，，的中位数为1， (1)求； (2)求这组数据的平均数． 题型12运用中位数做决策 例12．在2025年国庆中秋八天的国家法定假日期间，拥堵的某路段上，一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的时速（单位：）：37，83，72，45，58，47，63，59，45，58．依据该组数据进行估计，这一期间内该路段通行的机动车中大约有半数的机动车的时速不会超过（    ） A． B． C． D． 变式1．如图所示的是甲、乙两班举行的一次月考数学成绩箱线图，根据此统计图可以判断出 的成绩较好． 变式2．为加强对中学生文明素养教育，提升学生整体素质，某校决定举办“讲文明，树新风”活动．为了解学生对中学生文明素养基本规范的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 7.86 7.86 中位数 7.5 a 众数 b 8 优秀率 c 根据以上信息，回答下列问题． (1)表格中的 ， ， ． (2)你认为哪个年级的学生对文明素养基本规范的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 题型13求众数 例13．在“赋能”主题演讲比赛中，七位选手得分为：6，7，8，10，8，8，10，则这组数据的众数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．10 变式1．在某中学组织的全校师生迎“元旦”的歌舞比赛中，将进入决赛的25名同学的得分情况制成如下条形统计图，则这些成绩的众数是 分． 变式2．为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，小军和小明两位同学报名参加选拔，他们需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小军、小明的三项测试成绩和总评成绩如表 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小军 83 72 80 78 小明 86 84 (1)在摄影测试中，七位评委给小明打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是_____分，众数是______分，平均数是_____分； (2)请你计算小明的总评成绩，并结合总评成绩分析谁入选，并说明理由． 题型14利用众数求位置数据的值 例14．已知一组数据6，8，10，6，8，12，14，x，它的众数是8，则x的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．10 变式1．若一组数据5，1，，6，2的众数是6，则这组数据的中位数是 ． 变式2．若一组数据，3，1，6，3的平均数和众数相等，求的值． 题型15运用众数做决策 例15．某文创店2025年12月部分文创手办销售量如图所示，现该店准备进货，老板对员工说：“下个月要多进贵州红色文化书签”．影响老板决策的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 变式1．某男装专卖店专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的夹克销售量如下表，如果每件夹克的利润相同，你认为下一周应进尺码为 的夹克最多． 尺码 38 40 42 44 46 平均一周销售量（件） 10 12 20 12 12 变式2．某校举行了“防溺水”知识竞赛，八年级两个班各选派10名同学参加预赛，依据各参赛选手的成绩（均为整数）绘制了统计表和折线统计图如图所示． 班级 八（1）班 八（2）班 最高分 100 99 众数 98 中位数 96 平均数 (1)统计表中，____________，____________，____________ (2)请问你认为哪个班级的成绩更好？并说明理由（说出一条即可）． 题型16求离差平方和 例16．已知一组数据为3，5，7，9，11，其离差平方和为（    ） A．40 B．45 C．50 D．55 变式1．已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的离差平方和为 ． 变式2．工厂现有一批螺丝帽，工程师从中抽选6个测得它们的直径尺寸（单位：cm）依次是3.5，3.8，3.6，3.2，3.7，3.6．我们现在要将这6个螺丝帽按直径大小用“组内离差平方和达到最小”方法分成两组，你认为应该如何分呢？ 题型17离差平方和的应用 例17．下列适合使用“组内离差平方和最小”的原则的情况是（   ） A．比较动物兽药的疗效 B．将学生按期末成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气随海拔的变化 变式1．科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率（单位：）．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由 到 排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成 种情况． 变式2．甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩（单位：分）如下：15，18，15，24，按照“组内离差平方和最小”的方法，将竞赛成绩分成两组． 题型18求方差 例18．小明用计算一组数据的方差，那么的值为（  ） A．4.2 B．4 C．3.8 D．3.6 变式1．甲、乙两人5次射击命中的环数如下表．设甲、乙5次射击命中环数的方差分别为和，则 （填“>”、“=”或“<”）． 甲 7 8 9 10 6 乙 8 6 8 8 10 变式2．某市对于篮球运动的重视程度增加，篮球上篮也成为了一些县市区的考试项目，下面是某学校九（16）班男生的篮球上篮成绩（图1）与乐融融同学近五次上篮成绩（图2）（成绩满分30分）． (1)此班级男生上篮成绩的中位数与众数分别是多少？ (2)求乐融融近五次上篮成绩的方差． 题型19利用方差求未知数据的值 例19．吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：．根据算式，下列结论判断错误的是（  ） A． B．平均数为8 C．众数是9 D．若添加一个数8后，方差变小 变式1．计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：，则这组数据的总和是 ． 变式2．某校舞蹈社团选拔出两个舞蹈水平相当的舞蹈小组，下面的图表是两个舞蹈小组成员的身高部分信息，其中的阴影部分已被污损． 平均数 中位数 众数 方差 甲组 165 2.8 乙组 165 164 164 请根据所学的统计知识，解决下列问题： (1)上表中，___________，___________； (2)一般认为，在两组舞蹈成员的舞蹈水平相当的情况下，如果舞蹈成员的身高比较整齐，则该组舞台呈现效果越好．你认为舞台呈现效果更好的是哪一组？请说明你的理由． 题型20根据方差判断稳定性 例20．为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：，，，，，则麦苗又高又整齐的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 变式1．甲、乙两学生在军训10次打靶训练中，所中环数的平均数相等，但方差分别为，，那么两人成绩比较稳定的是 ．（填“甲”或“乙”） 变式2．甲、乙两台包装机同时包装质量为200g的糖果，从中各随机抽取10袋，测得其实际质量（单位：g）分别如下： 甲 202 203 202 196 199 201 200 197 201 199 乙 201 199 200 204 200 202 196 195 202 201 (1)通过计算判断哪台包装机包装糖果的质量比较稳定； (2)若向甲包装机对应的数据中再添加一个大小为200g的数据，重新统计后，这11个数据的平均数、方差会如何变化？直接写出变化情况，无需解释． 题型21运用方差做决策 例21．某班准备从甲、乙两名同学中选一名发挥比较稳定的参加禁毒知识比赛，通过3次选拔测试，甲、乙两名同学的平均分都是95分，方差分别为，则应该选择（   ） A．甲 B．乙 C．甲、乙都行 D．不确定 变式1．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击10次，成绩的平均数（单位：环）和方差如下表：根据表中数据，你认为应该推荐运动员 去参赛，更有把握赢得比赛． 甲 乙 丙 丁 /环 9.2 9.3 8.2 8.5 0.79 0.18 0.16 2.85 变式2．在全球科技飞速发展的今天，无人机产业已经成为了一个蓬勃发展且具有巨大潜力的新兴产业．某公司为评估无人飞行器的整体性能状况，对其内部研发的A，B两种型号的无人飞行器进行了8次性能检测，并对每次飞行测试的续航时间（单位：分钟）进行收集，整理．下面给出了部分信息： A型号：，，，，，，， B型号：，，，，，，， A，B两种型号无人飞行器续航时间统计表 无人飞行器 平均数 中位数 众数 方差 A      b           B a      c 2 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表格中，_______，_______； (2)求a的值； (3)请利用平均数和方差对A，B两种型号无人飞行器的整体性能状况进行综合评价 题型22用计算器求方差 例22．计算器已进入统计状态的标志是显示屏上显示（ 　　） A． B． C． D． 变式1．用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入 状态； ②依次输入各数据； ③按求 的功能键，即可得出结果． 变式2．给定一组数据如下： 1，1，4，4，4，7，7． (1)请你估计一下这组数据的平均数、方差大约是多少； (2)用计算器计算这组数据的平均数、方差，与你的估计值进行比较，你的估计是否准确？ 题型23求四分位数 例23．如图是小强某次练习射击成绩的箱线图（单位：环），则这组数据的下四分位数是（    ） A．8.5环 B．7环 C．6环 D．5环 变式1．某市近几天气温（单位：）如下：5，3，2，3，1，，则这组数据的下四分位数是 ． 变式2．为引导广大青少年树立正确的世界观、人生观、价值观，传承红色基因，某校组织了一次以“赓续红色血脉，强国复兴有我”为主题的知识竞赛（满分100分）．从八年级随机抽取两个班级（记为A班，B班）各10名代表参加比赛，现收集这两个班参赛学生的 成绩如下： 【收集数据】 A班 80 82 90 96 97 90 92 100 99 94 B班 82 88 92 92 94 92 83 92 95 100 【分析数据】 （1）通过计算，得出A班成绩的平均数分，则B班成绩的平均数 分；比较可知，A班成绩的平均数 B班成绩的平均数（填，或）； （2）下表为两个班级成绩的四分位数统计表： 班级 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 80 90 ① ② 100 B 82 88 92 94 100 则①处应填 分，②处应填 分；比较可知，A班成绩的中位数 B班成绩的中位数（填，或）； 【作出决策】 （3）已知A班成绩的方差，请你根据两班成绩，通过计算分析，A，B两个班级中哪个班级成绩较稳定？ 题型24画箱线图 例24．下面是根据八（2）班学生1分钟跳绳次数制作的箱线图，则由图不能确定这组数据的（   ） A．最大值、最小值 B．中位数 C．上四分位数、下四分位数 D．平均数 变式1．如图是某少年足球队全体队员年龄的箱线图（单位：岁），则这组数据的上四分位数是 岁． 变式2．老师记录了全班40名学生跳绳的次数：， (1)老师绘制了如图所示的统计图，这种图称为__________，其中__________，__________，__________． (2)如图，中间的“箱子”被分成了两部分，其中“下半截箱子”比较短，这说明什么？ (3)请你估计一下，全班学生跳绳次数的平均数和中位数哪个大？你是怎么估计的？ 题型25根据要求选择合适的统计量 例25．运动会期间，某班要从9名跑成绩各不相同的同学中，选4名参加的接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．下四分位数 变式1．某校八年级（2）班为选拔名同学参加学校团委组织的党史知识竞赛，有名同学报名参加选拔赛，选拔赛分数各不相同，取前名同学参加学校的决赛．其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这名同学分数的 （填“众数”或“中位数”或“平均数”） 变式2．跳绳是一种古老的汉族民俗娱乐活动，起源于古代，清末以后称作“跳绳”，作为一种简便易行的健身活动，跳绳不仅可以强身健体，还具有观赏性和协调性．某跳绳教练对自己任教的①②两个组（每个组均为40人）的学生进行跳绳检测，并对成绩进行统计，得出相关统计表和统计图．成绩等级分为：A（160次及以上），B（次），C（次），D（120次以下），其中A为优秀级别． 第①组成绩数据 第②组成绩数据 特别备注 平均数，众数，中位数，优秀率 158，152，152， 第②组中B等级的成绩分别是：140，142，146，146，146，148，152．154，156．158． 根据以上信息，回答下列问题， (1)第②组成绩在（次）区间的数据个数为 ，第②组成绩的中位数为 ； (2)从优秀率来看，哪组的成绩更好一些？ (3)已知第①组每种成绩最多有2人相同，则成绩是152次的学员，在第 （选填“①”或“②”）组的名次更好些． 题型26利用合适的统计量做决策 例26．散点图主要用于展示（   ） A．数据的集中趋势 B．数据的离散程度 C．两个变量之间的关系 D．数据的分布情况 变式1．某单位设有6个部门，共153人，如下表： 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 人数 26 16 22 32 43 14 该单位组织了“学党史，促提升”每周答题活动，一共10道题，每题10分，满分100分．某周的周三，有一个部门还没有参与答题，其余5个部门全部完成了答题，得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数之比为．尚未参与答题的部门是 ． 变式2．甲、乙两位学生各自记录了8次自己从家到学校所用的时间（单位：）． 甲：15  12  15  13  16  14  13  14 乙：16  20  12  22  13  25  13  19 将数据进行以下整理和分析． 表1 学生 平均数/ 方差 甲 乙 表2 学生 最小值、四分位数和最大值/ 最小值 最大值 甲 乙 (1)请确定表1中的值，并用平均数、方差分析两人从家到学校所用的时间； (2)请确定表2中，的值，并在图1中画出甲从家到学校所用时间的箱线图，再用四分位数、箱线图分析两人从家到学校所用的时间； (3)根据数据信息及（1）和（2）中的分析，你还能作出什么判断或猜想？请写出一条． ✍ 巩固提升综合测试 一、单选题 1．小王用智能手表记录了一周睡眠时间，其中工作日和周末差异较大．工作日5天平均每天睡7小时，周末2天平均每天睡9小时．下列数据用来表示小王这一周的平均睡眠时间合理的是（   ） A．7 B．7.57 C．8 D．9 2．一组数6，8，x，14的平均数是9，则数8出现的频数是（    ） A．1 B．2 C．6 D．8 3．4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（   ） A． B． C． D． 4．某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．某校把学生的笔答测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按，，的比例计入学期总评成绩，高于90分为优秀．甲、乙、丙三人的各项成绩如下表（单位：分），学期总评成绩优秀的是（   ） 笔答测试 实践能力 成长记录 甲 90 83 95 乙 88 90 95 丙 90 88 90 A．甲 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、丙 6．一组数据1，3，5，8，的中位数是5，则下列的取值中，满足条件的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．一组数据的方差为，则该组数据的总和是（   ） A． B． C． D． 8．甲、乙两班举行计算机汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的情况统计如下（每分钟录入汉字个为优秀）： 班级 参赛人数 中位数 平均数 方差 甲班 55 149 135 191 乙班 55 151 135 110 给出下列结论： （1）甲、乙两班学生比赛成绩的平均水平相同； （2）乙班比赛成绩优秀的学生多于甲班； （3）乙班学生比赛的成绩比较稳定． 其中，正确的结论是（   ） A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（2）（3） 9．如图，该箱线图反映了某场女排决赛中两队队员拦网高度情况．下列说法正确的是（　　） A．甲队队员拦网高度的整体水平更高 B．乙队队员拦网高度的平均数更大 C．甲队队员拦网高度的方差更大 D．乙队队员拦网高度的中位数更大 10．商场准备购进500双某款滑冰鞋销售，为此调查了某段时间内，这款滑冰鞋不同鞋号的销售量，统计如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量/双 2 4 5 5 12 6 3 2 1 根据以上数据，商场计算了这些滑冰鞋鞋号的平均数、中位数、众数、方差．商场在购进这款滑冰鞋时，最关心的统计量为（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 二、填空题 11．一组数据，，，，的平均数是4，那么另一组数据，，，，的平均数是 ． 12．如图是一，二两组同学将本组最近5次数学平均成绩，分别绘制成的折线统计图．由统计图可知： （1）二组成绩中，平均成绩最大是第 次； （2）在这五次成绩中， 组进步更大．（选填“一”或“二”） 13．某超市招聘收银员一名，对甲、乙两名申请人进行了三项素质测试，两名候选人的素质测试成绩如下表：公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别按40%，40%，20%的比例计算，成绩高者被录用，则这两人中 将被录用． 素质测试 试成绩/分 甲 乙 计算机 90 80 语言 75 85 商品知识 70 80 14．下列数据5，8，15，m，10，7，的中位数和平均数都相同，则m的值为 ． 15．若，，，，这组数据的众数是，则这组数据的中位数是 ． 16．某校九年级有8个班级，人数分别为．若这组数据的众数为42，则这组数据的中位数为 ． 17．已知一组数据的离差平方和，则这组数据的方差的值是 ． 18．某市中小学开展故事演讲比赛，某参赛小组6名学生的成绩（单位：分）分别为85，82，86，82，83，92，则这组数据的方差是 ，离差平方和是 ． 19．小明在计算一组数据的方差时，列出下面没有化简的式子：，根据这个式子，可以计算出这组数据的平均数是 ． 20．为了铸牢学生的安全意识，学校举行了“防溺水”安全知识竞赛，记分员小红将7位评委给某位选手的评分进行整理，并制作成如下表格，若去掉一个最高分和一个最低分后，表中数据一定不发生变化的统计量是 ． 平均数 中位数 众数 方差 8.9 9.1 9.1 0.11 三、解答题 21．某工厂有220名员工，财务科要了解员工收入情况．现在抽测了10名员工的本月收入，结果如下：（单位：元）1660，1540，1510，1670，1620，1580，1580，1600，1620，1620 (1)全厂员工的月平均收入是多少？ (2)平均每名员工的年薪是多少？ (3)财务科本月应准备多少钱发工资？． 22．某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误． 回答下列问题： 第一步：求平均数的公式是； 第二步：在该问题中，； 第三步：（棵）． (1)小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？ (2)请你帮他修改条形统计图，计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵？ 23．某校开展了心理健康知识竞答活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（成绩为百分制且为整数），进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示）．共分成4组：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞答成绩在B组中的数据是：81，82，82，82，83，83，85，86． 八年级20名学生竞答成绩是：60，62，66，68，71，75，76，77，81，83，83，83，83，84，90，90，91，91，92，94． 七、八年级所抽取学生竞答成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 80 80 中位数 a 83 众数 82 b    请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______，_____，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞答成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生650人，八年级有学生700人，请估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于90分的学生共有多少人？ 24．今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利八十周年．某市计划举办“铭记历史，缅怀先烈”主题知识竞赛．学校组建了甲，乙两支各20人的队伍，举行了一场预选赛，甲队成绩的频数分布直方图（成绩分成5组：，，，，）与乙队的成绩如下： 甲队成绩频数分布直方图 乙队成绩 78，81，82，83，86，87，89， 89，89，90，91，91，92，92， 93，93，93，93，94，99． 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图，乙队成绩的众数为 ； (2)甲队成绩的中位数 乙队成绩的中位数；（填“”“”“”号） (3)学校对预选赛成绩超过95分的小军，小明和小青三人又进行了五次测试，成绩如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 小军 96 97 97 98 97 小明 95 99 95 99 96 小青 98 96 96 98 平均数较大的人排名靠前，如果平均数相同，则方差较小的人排名靠前．若小青排名第二，则整数 ． 25．苦荞饸饹条细，色泽金黄，绵软筋韧，清香利口，因糖分含量少，粗纤维多，利于消化，对糖尿病有一定的防治作用，为某地区著名小吃．随机抽取某苦荞饸饹销售商一周的营业额（单位：元）如下表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 营业额/元 700 750 700 800 700 1200 1100 (1)这一周营业额的平均数是________元，中位数是________元，众数是________元； (2)如果要估计该苦荞饸饹销售商一个月（按30天计算）的营业额，你认为平均数、中位数、众数中，哪一个最适合用来估计？并用最适合的数据估计该苦荞饸饹销售商一个月的营业额 26．2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为了让同学们铭记历史、缅怀先烈，弘扬伟大的爱国主义精神、伟大的抗战精神，某地区甲、乙两个学校举行了“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年”知识竞赛，最后的决赛阶段，甲、乙两个学校各选出了10名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙校：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 (1)求甲校测试成绩的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． 27．某市射击队为了从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射击一次，并对、两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集．如图1，将、两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图．         选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 ① ② ③ (1)小明利用平均数、方差进行分析.通过计算平均数，环，通过计算方差，，请计算选手的平均数和方差，然后比较两人的射击水平． (2)小颗利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析：①处应填_____环，②处应填____环，③处应填____环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数______选手射击成绩的中位数（填、或），且选手的射击成绩明显比选手的射击成绩波动大． (3)请你根据八轮射击成绩，从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 28．2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．实验中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的成绩是：． 九年级20名学生的成绩在组中的数据是：． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 89 90 九年级 89 92 九年级抽取学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________；__________，__________； (2)根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条） (3)若该校八年级有500人，九年级有600人，且得分在90分及以上为优秀，请估计这两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生人数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $