第五章 数列（高效培优单元自测·提升卷）数学人教B版选择性必修第三册

第五章 数列（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．等差数列单调递减，且前项和为，则（   ） A．20 B．-30 C．0 D．50 【答案】B 【详解】设单调递减等差数列的公差为， 由，得， 即，解得， . 故选：B 2．设等比数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为． 因为，所以，显然，所以， 所以． 故选：C 3．用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： . 故选：D． 4．已知数列满足，，其前项积为，则等于（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， ， ， 所以该数列的周期为， 所以 故选：D 5．已知数列的前项和为，且满足，若数列满足，则数列是（    ） A．单调递增数列 B．单调递减数列 C．常数列 D．等比数列 【答案】A 【详解】，当时，；当时， 两式相减得 两边同除以：，所以数列是首项为，公差为的等差数列 所以 所以是单调递增数列； 故选:A. 6．设等差数列的前n项和为，且（），若，则（   ） A．的最大项是 B．的最小项是 C．的最大项是 D．的最小项是 【答案】D 【详解】， 对于等差数列，，代入得：， 又因为，代入化简可得：， 对所有成立，故公差； 因为，数列递增，故，由，且； 因此：当时，，当时，； 前项和在由负转正时取得最小值，即是最小项. 故选：D 7．如图1，四边形是一边长为的正方形．依次将，分成的两部分，得到正方形，依循相同的规律，依次将，分成的两部分，得到正方形．不断重复这个步骤，得到正方形．一只蚂蚁从出发，沿路径爬行，如图2所示，则该蚂蚁所爬行的总距离最接近于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，则， 所以，而， 所以，同理可得，依次递推可得到， 令，则是以3为首项，为公比的等比数列， 其前项和， 当时，，则，所以最接近的值为. 故选： 8．已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知数列的前项和为，且满足，， 则当时，，整理得， 所以，又当时，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以， 当时，，则， 当时，，所以， 综上可得：， 若对任意恒成立，则，故实数的取值范围是. 故选：A 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．记正项等比数列的前n项积为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．是递增数列 C．当取得最小值时， D．使的n的最小值为14 【答案】ABD 【详解】设的公比为.， 对于A，由题意可得， 解得，故A正确； 对于B，，故是递增数列，故B正确； 对于C，， 是开口向上的抛物线，其对称轴为，所以当或7时，取得最小值， 选项C的表述未包括“”，故C错误； 对于D，令，即，解得或， 因为，所以使的的最小值为14，故D正确. 故选：ABD. 10．设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为14 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，即， 所以，又因为， 所以，所以，故A正确； 对于B，因为，，， 所以，所以，故B错误； 对于C，由题意等差数列单调递减，且，， 即数列的前7项为正，从第8项起为负，所以最大， 即取得最大值时，，故C正确； 对于D，由B可知，所以 ， 所以，且， 所以成立的最大整数为14，故D正确. 故选：ACD. 11．已知数列满足，设，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．数列的前37项和为 【答案】AC 【详解】因， 对于A，B，， ，可见，不满足，故B错误，A正确； 对于C，当时，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以， 其前项和为，故C正确； 对于D，记，同选项C分析方法可得，其前项和为， 所以，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位、铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列．后7项成等比数列，且，，．则数列所有项的和为 ． 【答案】384 【详解】设由前3项构成的等差数列的公差为，后7项构成的等比数列的公比为， 则，且，解得，则，解得， 所以. 故答案为：384 13．若正项数列的前项和为，且，则 . 【答案】 【详解】由，得， 当时，， 两式作差可得：， 则，又，所以， 当时，，解得， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 则. 故答案为：4051. 14．大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，则数列的前2024项和是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解法1： 可知，当为偶数时，，当为奇数时，， 因为， 所以数列的前2024项和为 ． 故答案为：. 解法2： 已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50， 则数列的前10项依次是0，2，，所以， ，， 可得数列的前2024项和为． 故答案为: . 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意. 所以数列，其前项和为. 当时，； 当时，. 时，上式亦成立. 所以，. （2）， 所以. 16．（15分）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意证明如下，， 当时，，解得， 当时，因为①，则②， 由得， 整理得， 所以， ∴数列是首项为，公比为2的等比数列． （2）由题意及（1）得，， 在等比数列中，首项为，公比为2， ，则， 当时，， 当时，， ∴的通项公式为. 17．（15分）已知数列满足. (1)求证：为等差数列，并求出数列的通项公式. (2)设，记数列的前项和为. ①求； ②若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2)①；② 【分析】 【详解】（1）由. 则数列是以为首项，2为公差的等差数列， 则， 所以数列的通项公式为； （2）①由（1）得， 则. 于是， 上两式相减得： ， 所以. ②由，得.令， 所以， 所以不是数列的最大项，不妨设的第项取得最大值. 由，即解得， 即数列的最大值为，所以， 即的取值范围是. 18．（17分）已知首项为的等差数列满足：成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：； (3)若数列满足，试问中是否存在不同的三项能构成等比数列？若存在，请找出对应的项，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 即，解得， 当时，，此时构不成等比数列，舍去； 当，，，满足题意，故， 此时数列的通项公式为； （2）由（1）可知，， 所以 ， 因为， 所以，则，所以， 即，结论得证； （3）假设存在不同的三项能构成等比数列， 则，即， 即， 展开整理并化简得：， 因为均为正整数，所以和为整数， 要使为整数，则， 所以，代入可得：， 即，即，所以，这与矛盾， 所以中不存在不同的三项能构成等比数列. 19．（17分）已知数列满足，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）对于数列，由可得，又， 所以， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列， 故，得. 对于数列，设， 则当时，，得， 时验证成立，故. （2）新数列结构为：后插1项，后插3项，后插项，到为止总项数为 . 当时，到共项， 和为， 插入的到和为， 故. 第92到100项为后插的前9项， 即到，和为， 故. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 数列（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．等差数列单调递减，且前项和为，则（   ） A．20 B．-30 C．0 D．50 2．设等比数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，，其前项积为，则等于（   ） A．2025 B． C． D． 5．已知数列的前项和为，且满足，若数列满足，则数列是（    ） A．单调递增数列 B．单调递减数列 C．常数列 D．等比数列 6．设等差数列的前n项和为，且（），若，则（   ） A．的最大项是 B．的最小项是 C．的最大项是 D．的最小项是 7．如图1，四边形是一边长为的正方形．依次将，分成的两部分，得到正方形，依循相同的规律，依次将，分成的两部分，得到正方形．不断重复这个步骤，得到正方形．一只蚂蚁从出发，沿路径爬行，如图2所示，则该蚂蚁所爬行的总距离最接近于（   ）    A． B． C． D． 8．已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．记正项等比数列的前n项积为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．是递增数列 C．当取得最小值时， D．使的n的最小值为14 10．设是等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为14 11．已知数列满足，设，则（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．数列的前37项和为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位、铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列．后7项成等比数列，且，，．则数列所有项的和为 ． 13．若正项数列的前项和为，且，则 . 14．大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，则数列的前2024项和是 ． 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 16．（15分）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式． 17．（15分）已知数列满足. (1)求证：为等差数列，并求出数列的通项公式. (2)设，记数列的前项和为. ①求；②若，求的取值范围. 18．（17分）已知首项为的等差数列满足：成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：； (3)若数列满足，试问中是否存在不同的三项能构成等比数列？若存在，请找出对应的项，若不存在，请说明理由. 19．（17分）已知数列满足，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $