精品解析：北京中学2025-2026学年高二直升上学期9月开学考试数学试题

北京中学2025-2026学年高二直升上学期9月开学考试数学试题 一、选择题（10） 1. 如果集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，然后根据交集定义运算即得. 【详解】因为， 所以. 故选：D 2. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定方法求命题的否定即可得解. 【详解】由题可得是，. 故选：B 3. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的并集运算即可求解. 【详解】，，， ∴结合数轴可知：. 故选：A. 4. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D. 【详解】由于，取，，，无法得到，，故AB错误， 取,则，无法得到，C错误， 由于，则，所以， 故选：D 5. 已知集合，则为（ ） A. [0，2) B. (2，3] C. [2，3] D. (0，2] 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，得到，再结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 所以，则， 所以. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 6. 设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解. 【详解】由已知可得集合或, 由解得，， 所以， 因为，所以，则，且小于0， 由中恰有一个整数，所以， 即，也即，解得， 故选：B． 7. 已知正实数满足，则下列说法不正确的是（   ） A. 的最小值是4 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最大值是 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用基本不等式以及常用不等式逐项分析判断． 【详解】因为正实数满足， 对于A：因为，当且仅当， 即时，等号成立，所以的最小值是4，故A正确； 对于B：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 对于C：因为，即， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故D正确. 故选：B． 8. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由两集合元素特点，逐个判断即可； 【详解】由， 当，，当，，当，，当，，当，， 所以，所以中有3个元素， 故选：B. 9. 已知关于的方程的两实根为，则“”是“关于的不等式的解集为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合二次方程的根的情况与二次函数图象、二次不等式的解集之间的联系，推导证明可得出结论. 【详解】充分性的判断： 若，则或， 当时，关于的方程有两个相等的实数根，则， 因为二次函数开口向上，所以关于的不等式的解集为； 当时，关于的方程有两个不相等的实数根，不妨设， 因为二次函数开口向上，所以关于的不等式的解集为. 所以，由“”不能推出“关于的不等式的解集为”，充分性不成立. 必要性的判断： 若关于的不等式的解集为，因为二次函数开口向上，所以， 又因为关于的方程有两个实数根，则，则，必要性成立. 综上，“”是“关于的不等式的解集为”的必要不充分条件. 故选：B. 10. 已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆于两点.将表示为的函数，则的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，，当时，直接得出，当时，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理可得，，利用弦长公式，再利用基本不等式即可得出． 【详解】由题意知，， 当时，切线的方程为，点，的坐标分别为，，此时； 当时，同理可得； 当时，设切线方程为， 由得， 设，两点两点坐标分别为，，则 ，， 又由于圆相切，得，即， ∴， 由于当时，， ∴，， ∵， 当且仅当时，， ∴的最大值为2． 故选：B. 二、填空题 11. 已知集合,且则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】由集合元素与集合的关系即可得到答案. 【详解】因为集合,且 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题考查集合的基本定义，属基础题. 12. 使得命题“对任意，”为假命题的的一个取值是______. 【答案】（只需满足即可）. 【解析】 【分析】根据命题“对任意，”为真命题，结合参变量分离法可求出的取值范围，再结合补集思想可得出结果. 【详解】命题“对任意，”为真命题， 则对任意的恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当时，即当时等号成立， 故，解得， 所以，要使得命题“对任意，”假命题，则. 故答案为：（只需满足即可）. 13. 设A、B是非空集合，定义：{且}.已知，，则等于____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式定义结合一元二次不等式的解法，可得集合，结合基本不等式求函数的值域，可得集合，再求出和，再根据定义求得答案，. 【详解】由有意义可得，故， 所以， 所以， 因为时，， 当且仅当，即时取等号， 所以，，， 则， 故答案为： 14. 若对恒成立是真命题，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】分讨论，根据一元二次不等式恒成立求解. 【详解】当时，原不等式为，对任意实数都成立，满足题意； 当时，恒成立， 需满足，即，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 15. 设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{思想政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{思想政治，物理，生物}，则； ④若，则{思想政治，地理，化学}. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到必为偶数，讨论 和两种情况下的求解即可；对于④：通过举例{物理，地理，历史}来说明. 【详解】对于①：，所以，所以， 又{地理，物理，化学}，所以{思想政治，历史，生物}，①正确； 对于②：，即， 所以，所以必为偶数，又， 当时，，不符合， 所以，且，此时情况较多，比如{物理，地理，生物}，②错误； 对于③：若{思想政治，物理，生物}，则， 所以，③正确； 对于④：当{物理，地理，历史}时， ， 满足，但不{思想政治，地理，化学}，④错误. 故选：①③ 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做. 三、解答题 16. 已知集合，. （1）当时，求及； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式可化简集合A，B，然后由并集及补集知识可得答案； （2）由题分，，三种情况结合题意可得答案. 【小问1详解】 由， 即所以 当时，由，即. 所以； 【小问2详解】 因为， 若，则，由得：； 若，则，成立； 若，则，由得：. 综上，实数的取值范围是：. 17. 已知集合. （1）当时，.若“”是“”的充分不必要条件，求的范围； （2）若集合，且中恰好只有1个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出时的集合，再根据是的真子集，分为空集和非空集讨论，得到的范围； （2）将“ 恰有个元素”拆为两种互斥情况，列不等式组求解，得到的范围. 【小问1详解】 时，{或}， 若“”是“”的充分不必要条件，则是A的真子集， 所以若，显然符合题意，此时，即； 若，要符合题意需，此时该不等式组无解，舍去； 或，此时； 综上； 【小问2详解】 若， 要符合题意需，此时该不等式组无解，舍去； 若， 要符合题意需，此时； 综上：. 18. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为{或}，求，的值． （2）求不等式的解集． 【答案】（1）， （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式与一元二次方程的关系可知得方程的两根为和，由韦达定理列式求解； （2）不等式可转化为，对分类讨论求解. 【小问1详解】 根据题意，，方程的两根为和， ，解得 【小问2详解】 不等式可转化为，即， 当时，上式变为，解得， 当时，方程的根为或， 当时，，所以原不等式的解集为或， 当时，，所以原不等式的解集为， 当时，，所以原不等式的解集为， 当时，，所以原不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 已知函数，其导函数为且，是的一个极值点： （1）求函数曲线在处的切线方程． （2）求的单调区间及所有极值点的和． （3）直接写出函数的解析式． 【答案】（1） （2）单调增区间是，单调减区间是，所有极值点的和为4； （3） 【解析】 【分析】（1）由导函数可得，再由及，求得，进而可求解； （2）由，和，确定函数单调区间，进而可求解； （3）由（1）即可得到答案. 【小问1详解】 由，可得：， 由可得：，即， 又是的一个极值点， 所以， 所以，代入可得：， 所以，经验证是的极值点， 又，， 所以函数曲线在处的切线方程为：， 即 【小问2详解】 由（1）可得， 由，可得：， 由，可得或， 所以的单调增区间是，单调减区间是， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， 所以函数所有极值点的和为4； 【小问3详解】 由（1）可知. 20. 已知两点，曲线上的动点满足，直线与曲线交于另一点． （1）求曲线的方程； （2）设曲线与轴的交点分别为（点在点的左侧，且不与重合），直线与直线交于点．当点为线段的中点时，求点的横坐标． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解， （2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据中点关系以及向量共线得，代入韦达定理中即可求解，进而可求解. 【小问1详解】 由于， 所以是以为焦点，以为长轴长的椭圆， 故， 故椭圆方程为. 【小问2详解】 由于斜率不为0，故设直线方程为：， 联立， 设,则， , 由于点为线段的中点，则， 又是直线与直线的交点，所以 , ,故， ， 将代入可得， 故，解得， 故，由可得， 故点的横坐标为0. 21. 设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集． （1）当时，写出集合A的生成集B； （2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 【答案】（1） （2）7 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解. （2）设，且，利用生成集的定义即可求解； （3）不存在，理由反证法说明. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 设，不妨设， 因为，所以中元素个数大于等于7个， 又，，此时中元素个数等于7个， 所以生成集B中元素个数的最小值为7. 【小问3详解】 不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集， 不妨设，则集合A的生成集 则必有，其4个正实数的乘积； 也有，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集 【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京中学2025-2026学年高二直升上学期9月开学考试数学试题 一、选择题（10） 1. 如果集合，那么（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，若，则实数a取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，则为（ ） A. [0，2) B. (2，3] C. [2，3] D. (0，2] 6. 设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数满足，则下列说法不正确的是（   ） A. 的最小值是4 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最大值是 8. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 已知关于的方程的两实根为，则“”是“关于的不等式的解集为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知椭圆.过点作圆切线交椭圆于两点.将表示为的函数，则的最大值是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 11. 已知集合,且则的取值范围是____________. 12. 使得命题“对任意，”为假命题的的一个取值是______. 13. 设A、B是非空集合，定义：{且}.已知，，则等于____________. 14. 若对恒成立是真命题，则实数的取值范围是______ 15. 设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{思想政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{思想政治，物理，生物}，则； ④若，则{思想政治，地理，化学}. 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题 16. 已知集合，. （1）当时，求及； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知集合. （1）当时，.若“”是“”充分不必要条件，求的范围； （2）若集合，且中恰好只有1个元素，求实数的取值范围. 18. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为{或}，求，的值． （2）求不等式的解集． 19. 已知函数，其导函数为且，是的一个极值点： （1）求函数曲线在处的切线方程． （2）求的单调区间及所有极值点的和． （3）直接写出函数的解析式． 20. 已知两点，曲线上的动点满足，直线与曲线交于另一点． （1）求曲线的方程； （2）设曲线与轴的交点分别为（点在点的左侧，且不与重合），直线与直线交于点．当点为线段的中点时，求点的横坐标． 21. 设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集． （1）当时，写出集合A生成集B； （2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $