北京中学2025-2026学年高二直升上学期9月开学考试数学试题

9月开学考 一、选择题（10） 1．如果集合，，那么 = A． B． C． D． 2．已知命题：，，那么是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，则为（    ） A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2] 6．设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 7．已知正实数满足，则下列说法不正确的是（ ） A．的最大值是 B．的最小值是4 C．的最大值是 D．的最大值是 8．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．已知关于的方程的两实根为，则“”是“关于的不等式的解集为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆于两点.将表示为的函数，则的最大值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．已知集合,且则的取值范围是 . 12．使得命题“对任意，”为假命题的的一个取值是 . 13．设A、B是非空集合，定义：．已知，，则等于 . 14．若对恒成立是真命题，则实数的取值范围是 . 15．设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知={物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{政治，物理，生物}，则； ④若，则{政治，地理，化学}. 其中正确的命题有 .（填所有正确命题的序号） 三、解答题 16．已知集合，. (1)当时，求及； (2)若，求实数的取值范围. 17．已知集合. (1)当时，.若“”是“”的充分不必要条件，求的范围； (2)若集合，且中恰好只有1个元素，求实数的取值范围. 18．已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为{或 }，求，的值． (2)求不等式的解集． 19．已知函数，其导函数为且，是的一个极值点． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间及所有极值点的和； (3)直接写出函数的解析式． 20. 已知两点，曲线上的动点满足，直线与曲线交于另一点． (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴的交点分别为（点在点的左侧，且不与重合），直线与直线交于点．当点为线段的中点时，求点的横坐标． 21. 设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集． (1)当时，写出集合A的生成集B； (2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9月开学考 一、选择题（10） 1．如果集合，，那么 = A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，,所以，,故选D. 2．已知命题：，，那么是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：已知命题：，， 则为：，. 故选：C. 3．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，， ∴结合数轴可知：. 故选：A. 4．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，取，，，无法得到，，故AB错误， 取,则，无法得到，C错误， 由于，则，所以， 故选：D 5．已知集合，则为（    ） A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2] 【答案】B 【详解】由题意，集合， 所以，则， 所以. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 6．设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得集合或, 由解得，， 所以， 因为，所以，则，且小于0， 由中恰有一个整数，所以， 即，也即，解得， 故选：C． 7．已知正实数满足，则下列说法不正确的是（ ） A．的最大值是 B．的最小值是4 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】A 【详解】因为正实数满足， 对于A：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故A错误； 对于B：因为，当且仅当， 即时，等号成立，所以的最小值是4，故B正确； 对于C：因为，即， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故D正确. 故选：A． 8．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由， 当，，当，，当，，当，，当，， 所以，所以中有3个元素， 故选：B. 9．已知关于的方程的两实根为，则“”是“关于的不等式的解集为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性的判断： 若，则或， 当时，关于的方程有两个相等的实数根，则， 因为二次函数开口向上，所以关于的不等式的解集为； 当时，关于的方程有两个不相等的实数根，不妨设， 因为二次函数开口向上，所以关于的不等式的解集为. 所以，由“”不能推出“关于的不等式的解集为”，充分性不成立. 必要性的判断： 若关于的不等式的解集为，因为二次函数开口向上，所以， 又因为关于的方程有两个实数根，则，则，必要性成立. 综上，“”是“关于的不等式的解集为”的必要不充分条件. 故选：B. 10．已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆于两点.将表示为的函数，则的最大值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】由题意知，， 当时，切线的方程为，点，的坐标分别为，，此时； 当时，同理可得； 当时，设切线方程为， 由得， 设，两点两点坐标分别为，，则 ，， 又由于圆相切，得，即， ∴， 由于当时，， ∴，， ∵， 当且仅当时，， ∴的最大值为2． 故选：C. 二、填空题 11．已知集合,且则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为集合,且 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题考查集合的基本定义，属基础题. 12．使得命题“对任意，”为假命题的的一个取值是 . 【答案】（只需满足即可）. 【详解】命题“对任意，”为真命题， 则对任意的恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当时，即当时等号成立， 故，解得， 所以，要使得命题“对任意，”为假命题，则. 故答案为：（只需满足即可）. 13．设A、B是非空集合，定义：．已知，，则等于 . 【详解】因为，所以， 因为时，，当且仅当，即时取等号， 所以，，，则 【点睛】思路点睛：新定义问题求解 本题中给出新定义，则需要求出和，再根据定义求得答案，实际上考查了集合的基本运算. 14．若对恒成立是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，原不等式为，对任意实数都成立，满足题意； 当时，恒成立， 需满足，即，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 15．设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知={物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{政治，物理，生物}，则； ④若，则{政治，地理，化学}. 其中正确的命题有 .（填所有正确命题的序号） 【详解】对于①：，所以，所以， 又{地理，物理，化学}，所以{政治，历史，生物}，①正确； 对于②：，即， 所以，所以必为偶数，又， 当时，，不符合， 所以，且，此时情况较多，比如{物理，地理，生物}，②错误； 对于③：若{政治，物理，生物}，则， 所以，③正确； 对于④：当{物理，地理，历史}时， ， 满足，但不是{政治，地理，化学}，④错误. 故选：①③ 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做. 三、解答题 16．已知集合，. (1)当时，求及； (2)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）由， 即所以 当时，由，即. 所以； （2）因为， 若，则，由得：； 若，则，成立； 若，则，由得：. 综上，实数的取值范围是：. 17．已知集合. (1)当时，.若“”是“”的充分不必要条件，求的范围； (2)若集合，且中恰好只有1个元素，求实数的取值范围. 【详解】（1）由上知时，{或}， 若“”是“”的充分不必要条件，则是A的真子集， 所以若，显然符合题意，此时，即； 若，要符合题意需，此时，舍去； 或，此时； 综上； （2）若， 要符合题意需，此时，舍去； 若， 要符合题意需，此时； 综上： 18．已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为{或 }，求，的值． (2)求不等式的解集． 【详解】（1）根据题意，，方程的两根为和， ，解得. （2）不等式可转化为，即， 当时，上式变为，解得， 当时，方程的根为或， 当时，，所以原不等式的解集为或， 当时，，所以原不等式的解集为， 当时，，所以原不等式的解集为， 当时，，所以原不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 19．已知函数，其导函数为且，是的一个极值点． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间及所有极值点的和； (3)直接写出函数的解析式． 【详解】（1）由，可得：， 由可得：，即， 又是的一个极值点， 所以， 所以，代入可得：， 所以，经验证是的极值点， 又，， 所以函数曲线在处的切线方程为：， 即 （2）由（1）可得， 由，可得：， 由，可得或， 所以的单调增区间是，单调减区间是， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， 所以函数所有极值点的和为4； （3）由（1）可知. 20. 已知两点，曲线上的动点满足，直线与曲线交于另一点． (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴的交点分别为（点在点的左侧，且不与重合），直线与直线交于点．当点为线段的中点时，求点的横坐标． （2024·北京丰台·二模设直线） 【详解】（1）由于， 所以是以为焦点，以为长轴长的椭圆， 故， 故椭圆方程为. （2）由于斜率不为0，故设直线方程为：， 联立， 设,则， , 由于点为线段的中点，则， 又是直线与直线的交点，所以 , ,故， ， 将代入可得， 故，解得， 故，由可得， 故点的横坐标为0. 21. 设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集． (1)当时，写出集合A的生成集B； (2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． （2022·北京西城·高一期末） 解：（1）， （2）设，不妨设， 因为，所以中元素个数大于等于7个， 又，，此时中元素个数大于等于7个， 所以生成集B中元素个数的最小值为7. （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集， 不妨设，则集合A的生成集 则必有，其4个正实数的乘积； 也有，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集 试卷第14页，共14页 试卷第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $