精品解析：湖北省蕲春县第一高级中学2025-2026学年高一下学期开学考试适应性测试数学试题

蕲春一中2025-2026学年下学期开学考试模拟预测 数学试卷 ★祝大家学习生活愉快!★ 考试时间：2026年02月 试卷满分：150分 一､单项选择题（本大题共8小题，共40分．在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 某学生准备测量如图中某建筑物高度，选择高为50m的大楼进行测量，在大楼顶部处测得该建筑物的顶部的仰角为，底部的俯角为，则该建筑物的高度为（ ） A. m B. m C. m D. m 5. 已知函数为奇函数，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 6. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 7. 已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴交点且满足为等边三角形，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 若正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 下列求最值的运算中，运算方法错误的有（ ） A. 当时，，故时的最大值是 B. 当时，，当且仅当取等，解得或2，又由，所以，故时，的最小值为4 C. 由于，故的最小值是2 D. 当，且时，由于，∴，又，故当，且时，最小值为4. 11. 下列不等关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若函数定义域为，则a的取值范围是________. 13. 已知函数.若存在使得关于x的不等式成立，则实数a的取值范围是________. 14. 在中给出下列四个命题： ①若，则是等腰三角形； ②若且，则是直角三角形； ③若，则是等边三角形； ④若，则等腰三角形． 其中正确的是____________． 四､解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程成演算步骤） 15. 化简求值 （1） （2） 16. 记内角对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 17. 某企业参加项目生产的工人为人，平均每人每年创造利润万元.根据现实的需要，从项目中调出人参与项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润万元（），项目余下的工人每人每年创造利图需要提高 （1）若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加项目从事售后服务工作？ （2）在（1）的条件下，当从项目调出的人数不能超过总人数的时，才能使得项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围. 18. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，． （1）求角的大小； （2）求的取值范围； （3）设是的重心，求的最小值． 19. 定义：若函数对于其定义域内某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数. （1）当，时，求函数的不动点； （2）若对任意的实数b，函数恒有两个不动点，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点，且线段AB的中点C在函数的图象上，求实数b的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蕲春一中2025-2026学年下学期开学考试模拟预测 数学试卷 ★祝大家学习生活愉快!★ 考试时间：2026年02月 试卷满分：150分 一､单项选择题（本大题共8小题，共40分．在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，求得，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，可得， 所以 故选：D 2. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题可得和2是方程的两个根，利用韦达定理可得，则不等式等价于，即可求出. 【详解】不等式的解集为， 和2是方程的两个根，且， ， 可得， 则不等式等价于， 即，解得或， 故不等式的解集为. 故选：C. 3. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知，命题“，”是真命题，分和两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，命题“，”是真命题. 当时，则有，不合乎题意； 当时，由，可得，则有， ，当且仅当时，等号成立， 所以，. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 4. 某学生准备测量如图中某建筑物高度，选择高为50m的大楼进行测量，在大楼顶部处测得该建筑物的顶部的仰角为，底部的俯角为，则该建筑物的高度为（ ） A m B. m C. m D. m 【答案】B 【解析】 【分析】构建直角三角形，利用已知的角度和大楼的高度，求出建筑物与大楼之间的水平距离，进而求出建筑物超出大楼的高度，最终得到建筑物的高度即可. 【详解】如图，过点作的垂线，垂足为，则， 得到，则该建筑物的高度. 故选：B. 5. 已知函数为奇函数，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据知即可得出，再根据计算，最后利用奇偶性的定义检验. 【详解】因时无意义，故时，也无意义， 则，即， 此时， 由，得， 此时，则， 且定义域关于原点对称， 故是奇函数，符合题意，故. 故选：C 6. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】先利用诱导公式将化成，再利用平移变换即得结果. 【详解】因为， 由向左平移，即得. 故选：D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴交点且满足为等边三角形，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出相邻两条对称轴方程，进而求出值. 【详解】观察图象得，正的高为，则，又，因此， 线段中垂线方程分别为，即是函数图象相邻两条对称轴， 则函数的最小正周期，所以. 故选：C 8. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍． 如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B． 【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 二､多选题（本大题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 若正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式进行求解. 【详解】因为正实数满足， 对A选项：，当且仅当时等号成立，故A正确； 对B选项：，，当时等号成立，故B错误； 对C选项：由，则，当且仅当时等号成立，故C正确； 对D选项：，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列求最值的运算中，运算方法错误的有（ ） A. 当时，，故时的最大值是 B. 当时，，当且仅当取等，解得或2，又由，所以，故时，的最小值为4 C. 由于，故的最小值是2 D. 当，且时，由于，∴，又，故当，且时，的最小值为4. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式的性质逐项检查即可，需要注意取等的条件，即“一正二定三相等”． 【详解】解：对于A，符合基本不等式中的“一正二定三相等”，即A的运算方法正确； 对于B，当时，， 当且仅当，即时，等号成立，即B的运算方法错误； 对于C，取等的条件是，即，显然均不成立，即C的运算方法错误； 对于D，第一次使用基本不等式的取等条件为，而第二次使用基本不等式的取等条件为，两者不能同时成立，即D的运算方法错误． 故选：BCD． 11. 下列不等关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过构造函数，借助导数研究单调性，代特殊值，即可比较大小. 【详解】对A，由三角函数线可知当时，， 令，可得，所以，故A对； 对B，构造函数，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以当且时，， 令，可得，即，故B错； 对C，因为当且时，，故， 所以当且时，， 令，得，即，故C对. 对D， 构造函数，， 则，， 所以在单调递增，故，即， 令，得，故D对. 故选：ACD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若函数定义域为，则a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】应用一元二次不等式恒为正分两种情况计算求解. 【详解】对一切实数均成立， 所以当时，显然成立； 当时，， 解得； 故的取值范围为. 故答案为： 13. 已知函数.若存在使得关于x的不等式成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】对的取值进行分类讨论，将问题转化为求函数的最大值以及最小值的问题，即可求得参数的取值范围. 【详解】由题意，当时，不等式可化为显然不成立； 当时，不等式可化为，所以， 又当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当时，不等式可化为， 即； 因为存在使得关于x的不等式成立， 所以，只需或. 故答案为：. 【点睛】本题考查由不等式能成立求参数的范围，属综合中档题. 14. 在中给出下列四个命题： ①若，则是等腰三角形； ②若且，则是直角三角形； ③若，则等边三角形； ④若，则是等腰三角形． 其中正确的是____________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】举例说明判断①，利用正弦、余弦函数的性质判断②③，和角的正弦公式及正弦函数的性质判断④作答. 【详解】在中，当时，，显然不是等腰三角形，①不正确； 在中，，则A为锐角，由得：B为锐角，且， 因此有，即，则有是直角三角形，②正确； 在中，，则， 因，则有， 于是得，是等边三角形，③正确； 在中，，则， 即，而，则有，是等腰三角形，④正确. 故答案为：②③④ 四､解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程成演算步骤） 15. 化简求值 （1） （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先通过提取公因式，利用二倍角余弦公式与积化和差公式化简分子，再利用诱导公式化简分母，最后代入分子分母计算即得； （2）先利用诱导公式，同角三角函数关系式以及辅助角公式化简分子，再利用二倍角的正余弦公式化简分母，最后代入分子分母计算即得. 【小问1详解】 原式分子： 分母： 则原式. 【小问2详解】 原式分子： = 分母： 则原式. 16. 记内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合三角恒等变换及正弦定理可得，由，可得，求解即可； （2）由正弦定理可得，，由是锐角三角形，得，，又因为，结合对勾函数求解即可. 【小问1详解】 易得， 由正弦定理得， 而， 故， 易知， 故， 即， 又因为， 所以， 所以， 解得； 【小问2详解】 因外接圆直径为， 则由正弦定理可知， 故，， 因为是锐角三角形， 所以， 得，， 则， 所以， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减， 故的取值范围为. 17. 某企业参加项目生产的工人为人，平均每人每年创造利润万元.根据现实的需要，从项目中调出人参与项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润万元（），项目余下的工人每人每年创造利图需要提高 （1）若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加项目从事售后服务工作？ （2）在（1）的条件下，当从项目调出的人数不能超过总人数的时，才能使得项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 分析】（1）根据题意，列出不等式，求解即可； （2）求出的范围，得出不等式，整理可得恒成立，根据的范围，可知函数在定义域内为减函数，当时，函数取得最小值． 【详解】设调出人参加项目从事售后服务工作 （1）由题意得：， 即，又，所以．即最多调整500名员工从事第三产业． （2）由题知，， 从事第三产业的员工创造的年总利润为万元， 从事原来产业的员工的年总利润为万元， 则， 所以， 所以， 即恒成立， 因为， 所以， 所以， 又，所以， 即的取值范围为． 【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值． 18. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，． （1）求角的大小； （2）求的取值范围； （3）设是的重心，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求得角； （2）利用正弦定理与和角公式求得，结合锐角三角形求得，利用正切函数的性质即可求得边的取值范围； （3）利用三角形的重心性质和余弦定理，借助于二次函数的性质即可求得答案. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得， 去分母得，即， 由余弦定理，可得．又，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，可得． 因为三角形为锐角三角形，所以，解得．则， 则，故． 【小问3详解】 设的中点为，因是的重心，则， 由余弦定理，， 故当时，取得最小值，此时的最小值为 19. 定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数. （1）当，时，求函数的不动点； （2）若对任意的实数b，函数恒有两个不动点，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点，且线段AB的中点C在函数的图象上，求实数b的最小值. 【答案】（1）和3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）按照不动点的定义计算即可； （2）方程有两个不等实根，，得到关于的二次函数，再利用判别式求解即可； （3）求出点C坐标，代入，结合，得到，借助二次函数求出最小值即可. 【小问1详解】 当，时，由，解得或， 故所求的不动点为和3. 【小问2详解】 令，则① 由题意，方程①恒有两个不等实根，所以， 即对任意的恒成立， 则，∴. 【小问3详解】 依题意设，，则AB中点C的坐标为， 又AB的中点在直线上， ∴，∴， 又，是方程①的两个根，∴，即， ∴， ∵，∴.所以时，b的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $