暑假专项提升--一次函数应用 专项练 2025-2026学年初中数学人教版八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数应用，融合漏刻计时、智能机器人、新能源充电等多元情境，通过图像分析、实际问题解决提升综合应用能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|函数图像解读、实际情境应用|古代科技与现代生活结合，图像信息提取| |填空题|6|反射问题、弹簧函数、行程距离|表格数据与动态问题，基础与中档结合| |解答题|8|方案设计、几何函数综合、新定义|方程不等式与函数融合，含“相关矩形”等创新题型|

暑假专项提升--一次函数应用专项练 2025-2026学年初中数学人教版（2024）八年级下学期 一、单选题 1．“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图①），综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）．上午，综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度与流水时间的关系如图③所示，下列说法错误的是（     ） A．甲容器的初始水面高度为 B．甲容器的水面高度为 C．甲容器的水面高度为 D．甲容器的水流光 2．甲、乙两家商店销售同一种产品，销售价y（元）与销售量x（件）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．购买少于2件时，在甲商店购买更合算 B．购买少于2件时，在乙商店购买更合算 C．购买少于4件时，在甲商店购买更合算 D．购买少于4件时，在乙商店购买更合算 3．小明步行从家出发经过学校前往图书馆，途中一直保持匀速运动．如图是小明步行时离学校的距离y（米）与行走时间x（分）之间的函数关系的图象． 下列说法一定正确的是（     ） ①小明从家到学校的距离为240米；②图中a的值是18； ③线段所表示的y与x之间的函数表达式为； ④小明与学校相距100米时，用时3.5分钟． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 4．用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为，经测试，用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象分别为图2中的线段，，根据以上信息，下列说法正确的是（     ） A．线段对应的函数表达式为 B．若仅用快充器充电1小时，此时屏幕画面电量为 C．若仅用普通充电器充电，此时的电量为 D．快速充电器的充电效率是普通充电器的2倍 5．如图，点是矩形边上的一动点，它从点出发沿着路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 6．如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（     ） A．B． C． D． 7．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．聪聪的速度为 B．慧慧比聪聪晚出发 C．客人距离厨房门口 D．从聪聪出发直至送餐结束，共需 8．成人按规定剂量服用某种药后，每毫升血液中含药量（毫克）随时间（小时）的变化情况如图所示，下列说法错误的是（     ） A．服药后第2小时，血液中含药量最高，每毫升血液中含药量达到6毫克 B．服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克 C．服药后第8小时，血液中不含药 D．如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是3小时 9．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上且，点的坐标，点、点在轴上，点，为轴上两个动点，且，所走路线最短，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接，，．当取得最小值时，点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则点的坐标是______． 12．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．如图，某弹簧挂质量为的物体时，弹簧长度为，挂质量为的物体时，弹簧长度为．那么该弹簧不挂物体时的长度为__________． 13．最近正是草莓成熟的时候，草莓园给每位入园采摘草莓的顾客配一个篮子．每位顾客采摘草莓需付总金额y（元）与采摘草莓质量的关系如表（未记录完整）： 采摘草莓质量 1 2 3 4 5 … 需付总金额y（元） 18 33 48 ？ 78 … 根据上表中的数据，写出表中采摘草莓质量时，需付总金额______（元） 14．为落实“健康第一”的理念，实施学生体质强健计划，学校体育课上加强了学生的长跑训练．在一次女子1000米耐力测试中，小蕊和小敏在校园内200米的环形跑道上同时同向起跑，同时到达终点．所跑的路程（米）与所用的时间（秒）之间的函数图象，如图所示，则她们第一次相遇的时间是在起跑后的第____________秒． 15．甲、乙两人在直线道路上从同一起点，向同一方向匀速跑1800米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发40秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）的关系如图所示，则甲、乙两人相距100米时，x（秒）的值是________． 16．在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于任意一点，将点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点，称点为点的“2→3变换点”；反之，称为的逆变换点．若点的逆变换点为，则点的坐标为______；已知在一次函数图象上，为点的“2→3变换点”，过点与点的直线与直线垂直，的坐标为______． 三、解答题 17．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 18．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．设购买两种机器人的总花费为，购买A型机器人的数量为台，求与的函数关系，并写出的取值范围 (3)在（2）的条件下问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 19．4月22日，上万名大连球迷远征沈阳客场，为家乡球队助威，最终大连英博客场击败辽宁铁人，斩获中超五连胜．球迷甲、乙自驾从大连前往沈阳观赛，其中甲先出发并匀速前进，在熊岳服务区休息了一段时间后保持原来的速度前往目的地，乙比甲晚出发1小时，以的速度匀速前进，最终乙先到达沈阳．如图是甲、乙距离大连的距离（单位：）与车辆行驶时间（单位：h）的函数的完整图象． (1)请直接写出甲车的速度为_____，图中_____，_____； (2)求乙车的行进过程中的与的函数关系式，并写出自变量取值范围； (3)两车相遇时，距离沈阳的距离是多少？ 20．2025年，某城市推出两家新能源汽车充电站甲和乙，充电原价都为1元/度，五一期间，甲乙充电站推出优惠服务，收费标准如下： 甲充电站：所有充电度数统一按原价的计费； 乙充电站：采用“阶梯式优惠”，当充电度数不超过100度时按原价计费；超过100度的部分，每度电按原价的计费．单位：度 (1)分别直接写出甲充电站的充电费用（元），乙充电站的充电费用（元）与充电度数（，单位：度）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)请针对不同新能源汽车提供合理化建议，选择哪家充电站更划算？请通过计算说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称． (1)求直线的表达式及C点坐标； (2)将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 22．在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”．如图1为点，的“相关矩形”的示意图．已知点的坐标为． (1)如图2，点的坐标为． ①若，则点，的“相关矩形”的面积是_____； ②若点，的“相关矩形”的面积是，则的值为_____． (2)如图3，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为．点的坐标为，若在的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围． 23．综合与实践． 我们研究一个新函数，一般从定义、图象、性质等方面进行．函数图象的性质一般包括函数图象的对称性、自变量、函数图象的增减性、函数图象的最值等．由此方法我们来探究的图像和性质． (1)函数自变量的取值范围是____________； (2)①函数中、部分对应值如表，其中____________； 0 1 2 3 … 0 1 2 … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (3)结合函数图像，任意写出函数图像的一条性质：____________； (4)已知直线，若直线的图像与函数的图像有交点，直接写出的取值范围为____________． 24．某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况．他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示、与之间的函数关系．（直接写出结果，不写自变量取值范围） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由．    (3)当且时，直接写出时间的取值范围_____． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C A A C D C C 1．B 利用待定系数法求出一次函数的解析式，根据解析式分别求出、、、时，对应的的值，根据计算结果逐项判断即可． 解：设与的函数关系式为， 把点和的坐标代入函数关系式， 可得：， 解得：， 与的函数关系式为， 当时，， 时甲容器的水面高度为， 当时，可得：， 甲容器的初始水面高度为， 故A选项正确； 故B选项错误； 当时，， 时甲容器的水面高度为， 故C选项正确； 当时，， 时甲容器的水流光， 故D选项正确． 2．A 解：买2件时，甲、乙两家售价一样，由图像可知，当购买数量时，甲、乙两家的函数图像相交于点，表示此时两家的售价均为4元． 根据函数图象可得：当，即购买少于2件时，在甲商店购买更合算． 3．A 观察图象可知小明家到学校的距离可判定①；根据速度、路程、时间的关系求出小明步行的速度，根据图象求出小明家到图书馆的距离，即可判定②；理用待定系数法求得线段可判定③；同理可得线段得解析式，最后分别计算小明到达学校前与离开学校后距离学校100米时所用时间即可判定④． 解：由图象可知：小明家到学校的距离为240米，即①正确； 小明步行的速度是（米/分）， 小明家到图书馆的距离为（米），则小明从家到新华书店所用时间为（分），即；故②正确； 设线段所表示的y与x之间的函数表达式为（k、b为常数，且）． 将坐标分别代入得： 得，解得， ∴线段所表示的y与x之间的函数表达式为，即③正确； 同理可得：线段所表示的y与x之间的函数表达式， 当时，，解得； 当时，，解得． ∴在分钟和分钟时，小明距离学校100米，故④不正确． 综上，正确的有①②③， 故选A． 4．C 根据函数的图象分别求出线段 和线段 对应的函数表达式逐项求解即可． A．设线段对应的函数表达式为， 将，代入得： ， 解得， ∴线段对应的函数表达式为，错误； B．设线段对应的函数表达式为， 将，代入得： ， 解得， ∴线段对应的函数表达式为． 把代入，得，故仅用快充器充电1小时，此时屏幕画面电量为60%，错误； C．仅用普通充电器充电，即把代入，，正确； D．，∴快速充电器的充电效率是普通充电器的3倍，错误． 5．A 根据题意，分点在上，在上和在上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可． 解：①当在边上时，如图， ， 随的增大而增大，不变，且匀速运动， 随的增大而增大，且成正比例， 故选项C和D不正确； ②当在边上时，如图， ， 和都不变， 在这个过程中，不变， 故选项B不正确； ③当在边上时，如图， ， 随的增大而减小，不变， 随的增大而减小，故选项A正确． 6．A 先作出合适的辅助线，再证明和的关系，即可建立y与x的函数关系，从而确定函数图像． 解：由题意可得：，， ，，，点C的纵坐标是y， 作轴，作于点D，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x轴的距离， ∴， 结合选项可得，A符合题意． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，明确题意、建立相应的函数关系式是解答本题的关键． 7．C 运用路程除以时间等于速度，得出聪聪的速度为；根据图象信息，得出慧慧比聪聪晚出发，结合速度、路程、时间之间的关系，求出慧慧一开始的速度，再结合速度变化，；列式计算得出客人距离厨房门口，结合速度、路程、时间之间的关系求出从聪聪出发直至送餐结束，共需，即可求解． 解： A、聪聪的速度为，故A选项不符合题意； B、由图象可得，慧慧比聪聪晚出发，故B选项不符合题意； C、慧慧一开始的速度为：，当速度提高到原来的2倍时，为，则后一段行走了，则客人距离厨房门口为，故C选项符合题意， D、由C选项得出，则，即从聪聪出发直至送餐结束，共需，故D选项不符合题意． 8．D A、直接在函数图象中找出能够取到的最大值时，的值，即可得出结论； B、直接在函数图象中找出当时，的值，即可得出结论； C、先求出当时的函数解析式，再求出当时，的值，即可得出结论； D、先求出当时的函数解析式，再将分别代入正比例函数解析式和一次函数解析式中求出相应的的值，再作差计算即可． 解：A、如图所示，2小时血液中含药量最高，达每毫升6毫克 ，A选项说法正确，故此选项不符合题意； B、如图所示，当时，，所以服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克，B选项说法正确，故此选项不符合题意； C、当时，设， 将点，代入，得 ，解得， ∴． 当时，， ∴服药后第8小时，血液中不含药． C选项说法正确，故此选项不符合题意； D、当时，设， 将点代入，得 ，解得， ∴． 当时，， ∵， ∴如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是4小时． D选项说法错误，故此选项符合题意． 9．C 取点，连接交轴于点，连接，证明四边形是平行四边形，得出，则，当所走路线最短时，点重合，进而求得直线解析式，令，即可得出的坐标，即可求解． 解：如图，取点，连接交轴于点，连接 ∵点的坐标， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴所走路线最短时，点重合， ∵，则 设直线的解析式为 代入得 解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得； ∴，即当所走路线最短，则点的坐标为 10．C 将点向上平移1个单位得到，连接、，设，则，证明，得到，当最小时，取得最小值，再根据为定值，从而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案．解题的关键是将转化为． 解：将点向上平移1个单位得到，连接、， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小，即取得最小值， 又∵直线经过点，且与轴平行，轴，则，为定值， ∴此时取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 11． 延长交x轴于点D，证明，求得点D坐标，运用待定系数法求直线的解析式，从而求得点C坐标． 解：如图所示，延长交x轴于点D， ∵这束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点， ∴设，由反射定律可知，， ∴， ∵于， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则将点，点代入得 ， ∴， ∴直线为， 当时，， ∴点C坐标为． 12． 已知两点坐标，待定系数法求对应一次函数解析式，所求函数解析式中的b的值，其实际意义就是该弹簧不挂物体时的长度． 解：设， 由题意，得该一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴该弹簧不挂物体时的长度为． 13．63 由表格数据可知与满足一次函数关系，先求出函数解析式，再代入计算可得的值． 解：根据表格中的数据可得当质量增加时，总金额增加15元，因此y是x的一次函数， 设，将，代入得： ， 解得：， ∴与的函数关系式为， 将代入得． 14． 根据函数图象，分别求得直线，的解析式，联立解析式求得交点坐标，即可求解． 解：如图， 设直线的解析式为，代入 得， 解得， 故直线的解析式为， 设的解析式为， 由题意得：， 解得：， ∴的解析式为， 当时，， 解得：． 则她们第一次相遇的时间是起跑后的第秒． 15．20或140或340 根据图象求出两人的速度，分3种情况进行讨论求解即可. 解：由图象可知，甲的速度为（米/秒）， 当甲出发240秒时，乙追上甲， 故乙的速度为（米/秒）， 当甲、乙两人相距100米时，分3种情况： ①乙未出发时，； ②乙追上甲之前，，解得； ③乙追上甲之后，，解得； 当乙到达终点时，甲跑了（秒），此时甲乙正好相距100米，此后乙原地休息，甲继续跑向终点，两人距离逐渐减小，不存在相距100米的情况； 综上：x的值是20或140或340. 16． 根据“2→3变换点”的定义，可求解点的坐标；根据点在一次函数上，设出坐标，由此可得的坐标，再根据垂直的条件联立求解即可． 解：①已知点的逆变换点为，逆变换是先向左平移个单位，再向下平移个单位． 设点的坐标为，根据逆变换规则可得： ， ， 所以点的坐标为． ②设点的坐标为， 因为点在一次函数的图象上， 所以， 点经过“变换”后得到点的坐标为， 将代入可得的坐标为， 已知过点与点的直线与直线垂直， 直线的斜率为，则过点与点的直线斜率为， 根据斜率公式，可得，即， 得：。解得：， 将代入的坐标中， 可得的横坐标为，纵坐标为， 所以的坐标为． 17．(1)甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 (2)购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 （1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲型机器人台，6台机器人每天服务客人的人数为，根据题意列出不等式组求出的范围，列出一次函数，根据一次函数的性质，求最值即可. （1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． （2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得 解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为， 则． ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最大值 ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大. 18．(1)500元，300元 (2) (3)购买A型机器人10台，B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 （1）先设A型机器人模型单价是x元，B型机器人模型单价为，再根据购买两种机器人的数量相等列出分式方程，求出解并检验； （2）设购买A型机器人模型m台，购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费w元，再列出不等式，并求出解集，然后根据购买两种机器人的费用和等于W得出一次函数； （3）根据一次函数的性质讨论得出最小值即可． （1）解：设A型机器人模型单价是x元，B型机器人模型单价为元，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 所以A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元； （2）解：设购买A型机器人模型m台，购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，根据题意，得 ，且， 解得， ∴ ，其中； （3）解： ， ∵，且， ∴W随着m的增大而增大， ∴当时，W取最小值，此时， 所以购买A型机器人模型10台，购买B型机器人模型30台时花费最少，最少花费11200元． 19．(1)，， (2) (3) （1）根据函数图象分析即可； （2）根据“乙比甲晚出发1小时，以的速度匀速前进”即可写出函数表达式； （3）联立甲乙的函数表达式求解即可． （1）解：甲的速度为，； （2）解：由题意得， （3）解：由题意得，当时，， ∴， 解得 此时距离沈阳 20．(1)；当时，，当时， (2)当充电度数度时，选择甲充电站更划算；当充电度数度时，两家充电站花费相同，任选即可；当充电度数度时，选择乙充电站更划算． 当时，， 当时， ， 当，即时，，即当充电度数度时，选择甲充电站更划算； 当，即时，，即当充电度数度时，两家充电站花费相同，任选即可； 当，即时，，当充电度数度时，选择乙充电站更划算； 综上可知，当充电度数度时，选择甲充电站更划算；当充电度数度时，两家充电站花费相同，任选即可；当充电度数度时，选择乙充电站更划算． （1）根据题意列出函数解析式即可； （2）分情况进行解答即可． （1）解：甲充电站的充电费用； 当时，， 当时，； （2）略 21．(1)； (2)或 （1）根据对称可得，设直线的解析式为： ，代入即可求解； （2）根据题意得平移后解析式为：；再得点，即可求得直线解析式为：，根据A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形可得 ，即可求解. （1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，， ∵直线与直线关于y轴对称， ∴点与点A关于y轴对称， ∴， ∵直线过点与点B，设直线的解析式为：， ∴ ，解得， ∴直线的解析式为： ； （2）解：存在 ∵直线向右平移8个单位后与直线交于点D， ∴平移后解析式为：， ∵平移后的解析式与直线交于点D， ∴，解得， ∴点， 设直线解析式为：， ∴，解得， ∴直线解析式为：， ∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形，E为直线上一动点，F为y轴上一动点， ∴ ， 设，则 ， ∴ ，解得：， ∴或. 22．(1)①6；②或5 (2)或 （1）①由矩形的性质结合图形和“相关矩形”的定义即可得出点A，B的“相关矩形”的面积为6；②分类讨论：当点B在点A左侧时和当点B在点A右侧时，画出图形，结合矩形的性质结合“相关矩形”的定义即可得出的值为或5； （2）由题意可求出，，．分类讨论：①当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或；②当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或；③当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或，即得出答案． （1）解：①当时，点的坐标为，如图． ∵， ∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为； ②分类讨论：当点B在点A左侧时，如图点， 由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为， 解得：； 当点B在点A右侧时，如图点， 由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为， 解得：． 综上可知的值为或5； （2）解：∵点M的坐标为， ∴点M在直线上． ∵是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，， ∴， ∴， ∴． 分类讨论：①当点N在边上时，若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或； ②当点N在边上时，若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或； ③当点N在边上时，点M，N的“相关矩形”为正方形，其边长为定值2， 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或． 综上可知的取值范围是或． 23．(1) (2)①；②见解析 (3)当时，y随x的增大而增大（不唯一） (4) （1）根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可； （2）①将代入求解即可；②根据列表进行描点、连线即可解答； （3）根据函数图像的增减性写出一条性质即可； （4）求出一次函数经过定点，据此结合函数图像即可解答． （1）解：∵函数， ∴，即． （2）解：①当时，； ②先描点、再连线，作图如下： （3）解：由（2）的函数图像可知：当时，y随x的增大而增大． （4）解：如图：由题意可得：当直线l：，若直线l的图像经过， ∴，即． ∴结合函数的图像可得，． 24．(1)； (2)8时到9时，可变车道行车方向必须自东向西，18时到20时，可变车道行车方向必须自西向东，理由见解析 (3) （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，即可； （3）分，两种情况讨论，即可． （1）解：设与之间的函数关系式为， 把点代入得： ，解得：， ∴与之间的函数关系式为； 设与之间的函数关系式为， 把代入得： ，解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：8时到9时，可变车道行车方向必须自东向西，18时到20时，可变车道行车方向必须自西向东，理由如下： 根据题意得，早晚高峰的时间是8时到20时之间， 由（1）得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上所述，8时到9时，可变车道行车方向必须自东向西，18时到20时，可变车道行车方向必须自西向东； （3）解：当时，此时 ， 解得：； 当时， 此时， 解得：， 综上所述，当且时，时间的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $