23.3一次函数与方程（组）、不等式寒假预习讲义（4知识点+8大题型+过关检测）2025-2026学年人教版八年级数学下册寒假预习（知识点+题型精讲）

23.3一次函数与方程（组）、不等式寒假预习讲义 （4知识点+8大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1 【题型2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 2 【题型3 利用图象法解一元一次方程】 4 【题型4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 5 【题型5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 7 【题型6 两直线的交点与二元一次方程组的解】 9 【题型7 图象法解二元一次方程组】 12 【题型8 求直线围成的图形面积】 16 1. 初步理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的内在联系，建立“数”（代数表达式）与“形”（函数图象）之间的关联意识，感知数形结合思想的应用价值。 2. 能结合一次函数图象，初步判断一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，以及二元一次方程组的解，掌握简单的数形转化方法。 3. 初步学会运用一次函数的观点解释方程（组）和不等式的意义，能解决简单的、与三者关联的预习类基础问题，为课堂深入学习铺垫基础。 模块三 知识点梳理 知识点一 一次函数和图象（回顾） 1. 一次函数的基本形式：一般地，形如（其中、为常数，且）的函数，叫做一次函数。当时，一次函数变为，即为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 2. 一次函数的图象：一次函数的图象是一条直线，其中决定直线的增减性（时，直线从左到右上升，随的增大而增大；时，直线从左到右下降，随的增大而减小），决定直线与轴的交点坐标（交点为）。 知识点二 一次函数与一元一次方程的关系 1. 核心关联（代数角度）：任何一个以为未知数的一元一次方程，都可以变形为（）的形式；解一元一次方程，本质上就是求一次函数中，当函数值时，自变量的值。 2. 核心关联（几何角度）：一次函数的图象是一条直线，直线与轴的交点坐标为，其中横坐标就是一元一次方程的解。简单记为：直线与x轴交点的横坐标 = 对应一元一次方程的解。 3. 拓展延伸：求方程（为常数）的解，可转化为求一次函数与直线交点的横坐标。 4. 易错提醒：切勿混淆交点的横、纵坐标，方程的解对应交点的横坐标，而非纵坐标。 知识点三 一次函数与一元一次不等式的关系 1. 核心关联（代数角度）：一元一次不等式（或），本质上是求一次函数中，函数值大于0（或小于0）时，自变量的取值范围。 2. 核心关联（几何角度）： · 不等式的解集，是一次函数的图象在轴上方（即）的所有点对应的横坐标的取值范围； · 不等式的解集，是一次函数的图象在轴下方（即）的所有点对应的横坐标的取值范围。 3. 拓展延伸：对于不等式（、），可看作两个一次函数与，其解集对应的图象在图象上方时，自变量的取值范围；同理，的解集对应的图象在图象下方时的取值范围。 4. 易错提醒：判断解集时，需结合的符号（直线增减性），避免仅凭交点位置盲目判断，如时，图象在轴上方的部分对应小于交点横坐标。 知识点四 一次函数与二元一次方程（组）的关系 1. 一次函数与二元一次方程的关联： · 任何一个二元一次方程，都可以通过变形转化为（）的一次函数形式，因此每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线； · 一次函数的图象（直线）上，每一个点的坐标，都是对应二元一次方程的一组解；反之，以二元一次方程的一组解为坐标的点，一定在该二元一次方程对应的直线上。 2. 一次函数与二元一次方程组的关联： · 一个二元一次方程组，对应两个一次函数，也对应两条直线； · 二元一次方程组的解，就是这两个一次函数图象（两条直线）的交点坐标；反之，两条一次函数直线的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解； · 特殊情况：若两条直线平行（且），则对应的二元一次方程组无解；若两条直线重合（且），则对应的二元一次方程组有无数组解。 3. 拓展延伸：用图象法解二元一次方程组的基本步骤：①将方程组中两个方程分别转化为的形式；②在同一直角坐标系中画出两个一次函数的图象；③找出两条直线的交点坐标，即为方程组的解。 预习易错点梳理 1. 混淆一次函数与方程（组）、不等式关联中的“横、纵坐标”，如误将直线与轴的交点纵坐标当作方程的解； 2. 判断一元一次不等式解集时，忽略的符号对直线增减性的影响，导致解集方向判断错误； 3. 认为所有二元一次方程组都有唯一解，忽略直线平行（无解）、重合（无数组解）的特殊情况； 4. 变形二元一次方程为一次函数形式时，出现移项、系数化为1的计算错误。 模块四 题型汇总 【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【典例1】．若直线经过点则方程的解为（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握方程的解就是直线与x轴交点的横坐标是解题的关键． 由直线与x轴交点坐标为，再根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴交点坐标为， ∴当时， ∴方程的解为． 故选D． 【变式1-1】．一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与一元一次方程的解的关系． 方程的解即为一次函数图象与x轴交点的横坐标． 【详解】解：由一次函数图象与x轴相交于点， 可知当时，， 即， 故方程的解为． 故答案为：． 【变式1-2】．已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次方程的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为函数图象与轴交点的横坐标． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，该点是函数图象与轴的交点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 【题型2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【典例2】．若关于x的方程的解为，直线与坐标轴交于A、B两点，则线段的长度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，涉及一次函数与方程的解的关系，两点间距离公式． 根据方程的解求出参数b，再求直线与坐标轴的交点坐标，最后利用两点间距离公式计算线段的长度． 【详解】解：关于x的方程的解为， ∴直线与轴的交点为 ∴将代入，则， 解得， 因此直线表达式， 当时，， 故与y轴交于点； ∴， 故答案为：2． 【变式2-1】．若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为 (a，b为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 由方程的解可得与的关系，再令一次函数求解，即可得交点坐标． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． 令，即， 代入，得， ∴， ∵， ∴，解得． ∴交点坐标为． 故选：D． 【变式2-2】．已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程之间的关系，正确理解一次函数的图象与一元一次方程之间的关系是解题的关键．由题意知函数的图象与x轴的交点坐标为，即得答案． 【详解】解：因为方程的解是， 所以函数的图象与x轴的交点坐标为， 所以C选项符合题意． 故选：C． 【题型3 利用图象法解一元一次方程】 【典例3】．如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．一次函数的图象上纵坐标为1的点的横坐标即为方程的解，据此求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴关于x的方程的解是． ∴关于的方程的解为． 故答案为：4． 【变式3-1】．直线如图所示，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】方程的解，就是直线上函数值时对应的自变量的值．我们可以从图像中直接读取当 时的坐标． 【详解】解：从图中可以看到，直线经过点． ∴当时， 因此，方程的解是 故答案为：． 【点睛】本题考查了知识点一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是理解“方程的解”与“函数图像上点的坐标”之间的对应关系． 【变式3-2】．根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： （1）关于x的方程的解是 ； （2）关于x的方程的解是 ； 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象； （1）利用函数图象写出函数值为时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出函数值时对应的自变量的值即可 【详解】（1）根据函数图象可得，当时，， 所以方程的解为； 故答案为：． （2）根据函数图象可得，当时，， ∴关于x的方程的解是 故答案为：． 【题型4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【典例4】．一次函数的图象与轴的交点的横坐标为2，与轴的交点的纵坐标为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是理解不等式的解集就是函数的图象在轴上方时的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点横坐标为2， ∴当时，， 又∵由图象可知该一次函数随的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集为； 故选：C． 【变式4-1】．如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 【变式4-2】．如图，直线交轴于点，交轴于点，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，平方差公式，勾股定理的知识点，掌握利用函数图像确定不等式解集的方法是解题的关键． 先利用平方差公式将已知条件转化，结合勾股定理求出的长度得到点的坐标，再根据判断直线走向，确定不等式的解集． 【详解】解：， ，即， ∴点的坐标为． 由图可知，不等式的解集为． 故答案为：． 【题型5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【典例5】．如图，在同一平面直角坐标系中，函数和的图象交于点．若不等式恰好有3个非负整数解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与不等式解答即可． 【详解】解：函数和的图象交于点， 且不等式恰好有3个非负整数解， 可得：,且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式，关键是根据一次函数与不等式的关系解答． 【变式5-1】．如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程组，熟知以上知识是解题的关键．根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出结论． 【详解】解：A、直线与轴的交点坐标为， 当时，， 方程的解是，原说法错误，不符合题意； B、一次函数与的图象交于点， 方程组的解是，原说法错误，不符合题意； C、观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方， 关于的不等式的解集是，正确，符合题意； D、观察图象得：当时，函数的图象在轴的上方， 的解集为，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式5-2】．如图，一次函数的图像经过点和点，正比例函数的图像经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数图象求不等式组的解集． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集为． 故选：B． 【题型6 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【典例6】．如图，一次函数与的图象相交于点，那么方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据点在一次函数的图象上，求得点的横坐标，再得出方程组的解． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【变式6-1】．如图，直线：与直线：相交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象进行求解即可． 【详解】解：把点代入直线：得：， ∴， ∴由图象可知：关于，的方程组的解为； 故答案为． 【变式6-2】．如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系．把代入求出的值，根据函数图象即可求解． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴方程组的解是． ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 【题型7 图象法解二元一次方程组】 【典例7】．（1）请在如图的直角坐标系中作出，的图象； （2）利用你所画的图象，直接写出方程组的解． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，考查了函数图象的画法：列表、描点、连线． （1）根据函数图象的画法：描点、连线分别画出两个一次函数的图象． （2）观察图象，两直线的交点坐标即为对应方程组的解． 【详解】解：（1）函数，当时，；当时，； 则函数图象经过点，； 函数，当时，； 则图象经过点，． 作图如下： （2）根据图象可得：两直线交点为， 则方程组的解为． 【变式7-1】．利用一次函数的图象解二元一次方程组 【答案】 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点．先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 【详解】解：画出函数与的图象， 列表： 0 2 2 0 2 描点，连线，如图所示， 两个一次函数与与的交点坐标为； 因此方程组的解． 【变式7-2】．平面直角坐标系也可以将方程问题转化为图形问题进行研究，二元一次方程在平面直角坐标系中也有自己的“图象”． (1)在表格中填入二元一次方程的解； x … 0 ______ … y … ______ … (2)将二元一次方程的解用点在平面直角坐标系中表示出来，并将这些点连接起来，发现它的“图象”在平面直角坐标系中是______． (3)不定方程是一类特殊的方程，通常指未知数个数多于方程个数的方程或方程组，解的范围有一定的限制（如整数、自然数等）．若二元一次方程的解要求为自然数，请你结合它的“图象”分析，它的自然数解有_____个，并用实心圆点将这些解在图中标注出来． 【答案】(1)1，9 (2)函数图象见解析，一条直线 (3)将这些解在图中标注出来见解析，6 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解，一次函数性质和图象，正确地画出函数的图象是解题的关键． 把代入即可得到结论； 根据题意画出函数的图象，根据函数的图象即可得到结论； 根据函数的图象即可得到二元一次方程的整数解． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：1，9； （2）解：如图所示， 将二元一次方程的解用点在平面直角坐标系中表示出来，并将这些点连接起来，发现它的“图象”在平面直角坐标系中是一条直线， 故答案为：一条直线； （3）解：由图象知，它的自然数解有6个， 将这些解在图中标注出来如图所示， 故答案为： 【题型8 求直线围成的图形面积】 【典例8】．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识．先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 【变式8-1】．如图，直线经过点和点． (1)求直线的解析式， (2)直线与坐标轴的交点坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)直线与轴交点为，与轴交点为 (3) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求直线围成的图形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）设直线解析式为，把点和点代入，得到关于待求字母的方程组求解，从而可得出直线解析式； （2）取，求得函数值，得出与y轴的交点坐标；取，求得自变量的值，得出与x轴的交点坐标； （3）x轴将分为两个三角形：和，求出这两个三角形的和即可． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 把点和点代入， 得， 解得：， 所以直线解析式为． （2）解：当时，， 当时，， 解得：， 所以直线与轴交点为，与轴交点为． （3）解：设直线与的交点为， 则， 所以被x轴分割为和， ， 所以的面积． 【变式8-2】．已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象及性质，一次函数与坐标轴的交点问题； （1）根据函数的图象与、轴交点的坐标特点，分别令求出的值；令求出的值即可求出、两点的坐标； （2）根据、两点的坐标，求得和的长，即可得到直线与两坐标轴围成三角形的面积． 【详解】（1）解：在一次函数中，令，则；令，则， ∴，； （2）解：由，，可得，， ∴的面积， ∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4． 1．若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）模块五 过关检测 A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：由图象知，，且随的增大而增大，故A、C选项错误； 图象与y轴负半轴的交点坐标为，所以，B选项正确； 当时，图象位于x轴的上方，则有，D选项错误， 故选：B． 2．若直线与直线的交点的纵坐标为，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用一次函数图象交点解二元一次方程组，理解“函数图象交点的坐标是对应方程组的解”是解题的关键．由已知条件求得图象的交点坐标为，由图象交点坐标与对应方程组解的关系即可求解． 【详解】解：∵交点的纵坐标为，且点在直线上， ∴， 解得， ∴交点坐标为， ∵方程组即为两条直线的方程， ∴方程组的解为． 故选：D． 3．如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，且）交于点，则关于、的方程组，的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，关键是两条直线的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解；直接利用交点坐标与方程组解的对应关系得出结果即可． 【详解】解：∵直线与直线（为常数，且）交于点， ∴，即：， ∴关于、的方程组的解是：， 故选：B ． 5．已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，读懂题意，根据图象分段找到y的值应该属于哪条直线上的部分，在范围内找到最低点，求值即可． 【详解】解：由题意根据一次函数图象的性质可知，y的最小值是交点坐标的纵坐标值． 联立两直线解析式：， 解得，代入解析式求得． 故选：D． 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与二元一次方程组的关系．关键是：一次函数的增减性由的正负决定，是函数图象与轴交点的纵坐标；一元一次方程的解对应函数图象与轴交点的横坐标；二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：①∵一次函数的图象从左到右呈下降趋势， ∴，的值随着值的增大而减小，结论①正确； ②∵一次函数的图象与轴交于正半轴，的图象与轴交于负半轴， ∴，，故，结论②正确； ③∵一次函数的图象与轴的交点为， ∴当时，，即方程的解为，结论③正确； ④∵两个一次函数的图象交点坐标为， ∴方程组的解是，结论④正确； 综上，4个结论均正确， 故选：D． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据两直线的交点求不等式的解集，根据两直线的交点为，并结合函数图象即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，直线与直线交于点， ∴结合图象可得，当时，直线位于直线的上方， ∴关于的不等式的解集是， 故选：D． 8．已知直线（k、b为常数，）经过点和点，将直线向右平移10个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用、求一次函数的解析式、一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先根据两点坐标求直线解析式，再根据平移规律得新直线解析式，然后求新直线与坐标轴的交点，最后计算三角形面积． 【详解】解：∵直线经过点和， ∴代入得， 解得， ∴直线解析式为， 向右平移10个单位，新直线为， 当时，，则与y轴交于点， 当时，，解得，则与x轴交于点， ∴三角形面积， 故选：D． 9．在平面直角坐标系中，已知直线和直线． （1）若，则直线和直线的交点坐标为 ； （2）若直线和直线的交点在轴的上方，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题是一次函数图象与系数的关系，两直线相交或平行问题，主要考查了两直线的交点，熟悉一次函数的性质是解本题的关键． （1）将代入两直线方程，联立方程求解交点坐标； （2）先求两直线交点坐标，再令交点的纵坐标大于0，解不等式即可得出答案． 【详解】解：（1）当时，直线，直线． 联立方程，， 解得， 将代入，得， 所以交点坐标为； （2）联立直线和直线的方程：， 解得， 将代入，得， 由于交点在x轴上方，故，即， 解得． 故答案为：． 10．若一次函数与的图象相交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数交点问题，掌握两函数交点定义是解题的关键． 两条直线相交于点 ，说明该点同时满足两个函数解析式，先代入第一个解析式求出 b，再代入第二个解析式求出a即可． 【详解】将点代入，得 ， 再将点代入，得，解得． 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据由两个一次函数的解析式组成的二元一次方程组的解为两条直线交点的横纵坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x，y轴于点A，B，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于点C，D，再分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线．若一次函数的图象为直线l，点O关于直线l的对称点F恰好落在射线上，则b的值为 ． 【答案】3 【分析】如图，记一次函数的图象与坐标轴的交点分别为，过作于，连接，求解，，可得，同理可得：，证明，再利用三角形的面积进一步求解即可. 【详解】解：如图，记一次函数的图象与坐标轴的交点分别为，过作于，连接， ∵， 当，则， 当，则， ∴，， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵点O关于直线l的对称点F恰好落在射线上， ∴，，， ∴， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是角平分线的作图，角平分线的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，作出合适的辅助线是解本题的关键. 13．如图，一次函数与的图象相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，掌握两条直线的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解是解题的关键． 先求出点坐标，根据两条直线的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：由图象可得点的坐标为二元一次方程组的解， 代入中，得， ∴点的坐标为， ∴二元一次方程组的解为 故答案为：． 14．在平面直角坐标系中，，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②x轴上存在一点C使得； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当，时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质即可判断． 【详解】解：①当代入，得到， 一次函数的图象交轴于点， ， 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 那么当时，一次函数的图象与线段有公共点，其交点在线段上（不含，）， 如图所示： 故①说法正确； ②设点在轴上，即， ∵水平，长度， 点到直线（）的距离为， ∴， ∴面积恒为，不可能为，故②错误； ③当时，一次函数 当时，；当时，； 那么一次函数一定过，， ， 那么当时，，当代入，得到，此时交线段于点， 当时，，代入，得到，此时交线段于点， 画出图象，如下图所示： 可知当时，一次函数的图象与线段有公共点；故③正确； ④当时， 不妨设，那么一次函数． 当时，； 当时，，如图所示： 那么一次函数的图象与线段没有公共点．故④错误； 故答案为：①③ 15．已知一次函数（为常数，）和． (1)若的图象过点，求的值； (2)在（1）的条件下，与的图象的交点坐标为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象的交点问题，待定系数法求解函数解析式． （1）将点代入即可求解； （2）先求出，再与联立求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 与联立得，， 解得， ∴此时交点纵坐标为， ∴与的图象的交点坐标为， 故答案为：． 16．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集， (3)若直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的表达式求解、不等式的解集与函数图象的关系、点关于直线的对称以及直线表达式的求解，熟练掌握一次函数的性质、对称点的求法以及利用待定系数法求函数表达式是解题的关键． （1）先将点代入求出的值，再将点和点代入，解方程组求出、，从而得到一次函数表达式． （2）根据函数图象，不等式的解集是直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围． （3）先求出点的坐标，再利用几何性质求出点关于直线（即）的对称点，最后利用点和求出直线的表达式． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴． ∵过和， ∴，解得， ∴一次函数表达式为． （2）解：函数的图象与一次函数的图象交于点， 由图象可知，当时，直线在直线上方（含交点）， ∴不等式的解集为． （3）解：设点关于直线的对称点为点，直线交轴于点， ∵与轴交于， ∴． 当时，，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∴， ∵，，两点在轴上，且， ∴点关于直线的对称点满足：， ∴． ∵直线过和， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为． 17．已知两个一次函数，，其中的图象如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)画出函数的图象； (2)若点和在一次函数的图象上，当时，判断与的大小，说明理由； (3)观察图象，当时，比较与的大小，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，，理由见解析 (3)当时，，理由见解析 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，比较一次函数值的大小，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，再描点、连线，画出对应的函数图象即可； （2）根据一次函数的增减性求解即可； （3）求出两个一次函数的交点坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 … … 1 … 函数图象如下所示： （2）解：当时，，理由如下： ∵，， ∴随x的增大而增大， ∵点和在一次函数的图象上，且， ∴； （3）解：当时，，理由如下： 联立，解得， ∴一次函数和的交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，． 18．在平面直角坐标系中，点的“衍生点”的坐标定义如下：当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． (1)点的“衍生点”坐标为________，点的“衍生点”坐标为________． (2)已知点在一次函数的图象上，且点的“衍生点”为点D． ①若点的坐标为，求的值． ②设所有的点的“衍生点”组成的新图形记为图形． （i）请求出图形的函数表达式，并注明对应的自变量的取值范围； （ii）当满足什么条件时，一次函数的图象与图形有且仅有一个公共点，请直接写出答案． 【答案】(1)； (2)①； ②（i）当时，；当时，； （ii）或或 【分析】本题结合平面直角坐标系中新定义问题考查一次函数的图象与性质、分类讨论思想的应用．关键是理解“衍生点”的定义，分情况讨论点的坐标关系，结合一次函数的性质求解． （1）根据“衍生点”的定义，分别计算两点的的正负，代入对应公式求解即可； （2）①设点的坐标为，根据“衍生点”的定义分和两种情况，结合点纵坐标为列方程求解，舍去不符合条件的解； ②（i）设点的坐标为，分和两种情况，将衍生点的坐标用表示，消去参数得到函数表达式，并确定自变量的取值范围； （ii）先分析一次函数过定点，再分直线与图形的两段的交点情况，结合一次函数的平行、交点位置等条件，确定的取值范围． 【详解】（1）解：对于点，， 其“衍生点”坐标为； 对于点，， 其“衍生点”坐标为； 故答案为：；． （2）①设点的坐标为，分两种情况讨论： 情况1：当时，即，解得， 此时点的坐标为． ，解得(满足)， ； 情况2：当时，即， 此时点的坐标为． ，解得(不满足，舍去)； 综上，的值为； ②（i）设点的坐标为，分两种情况： 情况1：当时，即，此时点． 由得，代入得：， ，，即当时，； 情况2：当时，即，此时点． 将代入得：， ，，即当时，； 综上，图形的函数表达式为：； （ii）对于图形：， 当，，当时， 而一次函数，其图象过定点，分情况讨论： 情况1：如图，当直线与第二段的图象有一个交点，且与第一段的图象无交点时， 需要或，即； 情况2：如图，当直线与第一段的图象有一个交点，且与第二段的图象无交点时， 需要，解得； 综上，的取值范围是或或． 19．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点轴的负半轴上有一点． (1)求点的坐标． (2)过点作轴的垂线（垂线位于点的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点，连接． ①线段的长为___________（用含的代数式表示）． ②若，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②28 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理： （1）联立函数解析式，进行求解即可； （2）①分别求出的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段的长即可；②过点作轴于点，勾股定理求出的长，根据，求出的值，进而求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：联立函数解析式，得方程组，解得， 点的坐标为． （2）解：①由题意，可知：的横坐标均为， 当时，， ∴； 故答案为：； ②如图，过点作轴于点． 由（1），可得． 在中，由勾股定理，得． ， ． ， ，解得， ∴点， ， ∴． 20．阅读、思考与问题解决 下面是小铭在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的奇妙相遇 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、增减性、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③y值随x值的增大而增大；……事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到． 将一次函数的表达式中添加绝对值符号，再向上平移1个单位长度，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 3 2 1 2 3 4 … ③在图②中描点、连线：    (1)请将文中描点、连线的过程补充完整； (2)请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是____________； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是____________；（包括端点） ③关于x的方程的解是____________． ④若的图象与直线只有一个交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)图见解析 (2)①；②；③或；④或 【分析】本题主要考查画一次函数的图象，一次函数与不等式的应用，一次函数图象与性质，正确画图是解答本题的关键． （1）根据表格描点，依次连线，即可； （2）①由函数图象进行解答即可；②由函数图象进行解答即可；③对绝对值方程进行求解即可；④根据函数将分为当时和当时，分别求解进行判断即可． 【详解】（1）解：根据表格，描点，依次连线，如下图， （2）解：①由函数图象可得，该函数图象的最低点的坐标是， 故答案为：； ②由函数图象可得，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是， 故答案为：； ③ 或 解得或， 故答案为：或； ④当时，，将与联立， 得 ， 若， 解得， ∵， ∴当时，，则 解得，则其取值范围为； 当时，，则（不满足），无解． 当时，，将与联立， 得 ， 若，解得，即恒有一个交点． 若，方程变为，左支与直线重合，有无数交点（不符合题意）； ∴当时，的图象与直线有两个交点， ∴当或时，的图象与直线只有1个交点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.3一次函数与方程（组）、不等式寒假预习讲义 （4知识点+8大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1 【题型2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 3 【题型3 利用图象法解一元一次方程】 4 【题型4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 4 【题型5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 5 【题型6 两直线的交点与二元一次方程组的解】 6 【题型7 图象法解二元一次方程组】 7 【题型8 求直线围成的图形面积】 9 1. 初步理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的内在联系，建立“数”（代数表达式）与“形”（函数图象）之间的关联意识，感知数形结合思想的应用价值。 2. 能结合一次函数图象，初步判断一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，以及二元一次方程组的解，掌握简单的数形转化方法。 3. 初步学会运用一次函数的观点解释方程（组）和不等式的意义，能解决简单的、与三者关联的预习类基础问题，为课堂深入学习铺垫基础。 模块三 知识点梳理 知识点一 一次函数和图象（回顾） 1. 一次函数的基本形式：一般地，形如（其中、为常数，且）的函数，叫做一次函数。当时，一次函数变为，即为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 2. 一次函数的图象：一次函数的图象是一条直线，其中决定直线的增减性（时，直线从左到右上升，随的增大而增大；时，直线从左到右下降，随的增大而减小），决定直线与轴的交点坐标（交点为）。 知识点二 一次函数与一元一次方程的关系 1. 核心关联（代数角度）：任何一个以为未知数的一元一次方程，都可以变形为（）的形式；解一元一次方程，本质上就是求一次函数中，当函数值时，自变量的值。 2. 核心关联（几何角度）：一次函数的图象是一条直线，直线与轴的交点坐标为，其中横坐标就是一元一次方程的解。简单记为：直线与x轴交点的横坐标 = 对应一元一次方程的解。 3. 拓展延伸：求方程（为常数）的解，可转化为求一次函数与直线交点的横坐标。 4. 易错提醒：切勿混淆交点的横、纵坐标，方程的解对应交点的横坐标，而非纵坐标。 知识点三 一次函数与一元一次不等式的关系 1. 核心关联（代数角度）：一元一次不等式（或），本质上是求一次函数中，函数值大于0（或小于0）时，自变量的取值范围。 2. 核心关联（几何角度）： · 不等式的解集，是一次函数的图象在轴上方（即）的所有点对应的横坐标的取值范围； · 不等式的解集，是一次函数的图象在轴下方（即）的所有点对应的横坐标的取值范围。 3. 拓展延伸：对于不等式（、），可看作两个一次函数与，其解集对应的图象在图象上方时，自变量的取值范围；同理，的解集对应的图象在图象下方时的取值范围。 4. 易错提醒：判断解集时，需结合的符号（直线增减性），避免仅凭交点位置盲目判断，如时，图象在轴上方的部分对应小于交点横坐标。 知识点四 一次函数与二元一次方程（组）的关系 1. 一次函数与二元一次方程的关联： · 任何一个二元一次方程，都可以通过变形转化为（）的一次函数形式，因此每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线； · 一次函数的图象（直线）上，每一个点的坐标，都是对应二元一次方程的一组解；反之，以二元一次方程的一组解为坐标的点，一定在该二元一次方程对应的直线上。 2. 一次函数与二元一次方程组的关联： · 一个二元一次方程组，对应两个一次函数，也对应两条直线； · 二元一次方程组的解，就是这两个一次函数图象（两条直线）的交点坐标；反之，两条一次函数直线的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解； · 特殊情况：若两条直线平行（且），则对应的二元一次方程组无解；若两条直线重合（且），则对应的二元一次方程组有无数组解。 3. 拓展延伸：用图象法解二元一次方程组的基本步骤：①将方程组中两个方程分别转化为的形式；②在同一直角坐标系中画出两个一次函数的图象；③找出两条直线的交点坐标，即为方程组的解。 预习易错点梳理 1. 混淆一次函数与方程（组）、不等式关联中的“横、纵坐标”，如误将直线与轴的交点纵坐标当作方程的解； 2. 判断一元一次不等式解集时，忽略的符号对直线增减性的影响，导致解集方向判断错误； 3. 认为所有二元一次方程组都有唯一解，忽略直线平行（无解）、重合（无数组解）的特殊情况； 4. 变形二元一次方程为一次函数形式时，出现移项、系数化为1的计算错误。 模块四 题型汇总 【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【典例1】．若直线经过点则方程的解为（    ） A．0 B．3 C． D． 【变式1-1】．一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，则关于的方程的解是 ． 【变式1-2】．已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 ． 【题型2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【典例2】．若关于x的方程的解为，直线与坐标轴交于A、B两点，则线段的长度是 ． 【变式2-1】．若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 【变式2-2】．已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型3 利用图象法解一元一次方程】 【典例3】．如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为 ． 【变式3-1】．直线如图所示，则关于的方程的解是 ． 【变式3-2】．根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： （1）关于x的方程的解是 ； （2）关于x的方程的解是 ； 【题型4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【典例4】．一次函数的图象与轴的交点的横坐标为2，与轴的交点的纵坐标为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】．如图，直线交轴于点，交轴于点，且，则不等式的解集为 ． 【题型5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【典例5】．如图，在同一平面直角坐标系中，函数和的图象交于点．若不等式恰好有3个非负整数解，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】．如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【变式5-2】．如图，一次函数的图像经过点和点，正比例函数的图像经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型6 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【典例6】．如图，一次函数与的图象相交于点，那么方程组的解为 ． 【变式6-1】．如图，直线：与直线：相交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【变式6-2】．如图，已知一次函数与（，且k，m为常数）的交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【题型7 图象法解二元一次方程组】 【典例7】．（1）请在如图的直角坐标系中作出，的图象； （2）利用你所画的图象，直接写出方程组的解． 【变式7-1】．利用一次函数的图象解二元一次方程组 【变式7-2】．平面直角坐标系也可以将方程问题转化为图形问题进行研究，二元一次方程在平面直角坐标系中也有自己的“图象”． (1)在表格中填入二元一次方程的解； x … 0 ______ … y … ______ … (2)将二元一次方程的解用点在平面直角坐标系中表示出来，并将这些点连接起来，发现它的“图象”在平面直角坐标系中是______． (3)不定方程是一类特殊的方程，通常指未知数个数多于方程个数的方程或方程组，解的范围有一定的限制（如整数、自然数等）．若二元一次方程的解要求为自然数，请你结合它的“图象”分析，它的自然数解有_____个，并用实心圆点将这些解在图中标注出来． 【题型8 求直线围成的图形面积】 【典例8】．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【变式8-1】．如图，直线经过点和点． (1)求直线的解析式， (2)直线与坐标轴的交点坐标； (3)求的面积． 【变式8-2】．已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 1．若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）模块五 过关检测 A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 2．若直线与直线的交点的纵坐标为，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，且）交于点，则关于、的方程组，的解是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．已知直线（k、b为常数，）经过点和点，将直线向右平移10个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．在平面直角坐标系中，已知直线和直线． （1）若，则直线和直线的交点坐标为 ； （2）若直线和直线的交点在轴的上方，则实数的取值范围是 ． 10．若一次函数与的图象相交于点，则的值为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x，y轴于点A，B，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于点C，D，再分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线．若一次函数的图象为直线l，点O关于直线l的对称点F恰好落在射线上，则b的值为 ． 13．如图，一次函数与的图象相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 14．在平面直角坐标系中，，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②x轴上存在一点C使得； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当，时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是 （填序号）． 15．已知一次函数（为常数，）和． (1)若的图象过点，求的值； (2)在（1）的条件下，与的图象的交点坐标为__________． 16．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集， (3)若直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 17．已知两个一次函数，，其中的图象如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)画出函数的图象； (2)若点和在一次函数的图象上，当时，判断与的大小，说明理由； (3)观察图象，当时，比较与的大小，说明理由． 18．在平面直角坐标系中，点的“衍生点”的坐标定义如下：当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． (1)点的“衍生点”坐标为________，点的“衍生点”坐标为________． (2)已知点在一次函数的图象上，且点的“衍生点”为点D． ①若点的坐标为，求的值． ②设所有的点的“衍生点”组成的新图形记为图形． （i）请求出图形的函数表达式，并注明对应的自变量的取值范围； （ii）当满足什么条件时，一次函数的图象与图形有且仅有一个公共点，请直接写出答案． 19．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点轴的负半轴上有一点． (1)求点的坐标． (2)过点作轴的垂线（垂线位于点的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点，连接． ①线段的长为___________（用含的代数式表示）． ②若，求的面积． 20．阅读、思考与问题解决 下面是小铭在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的奇妙相遇 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、增减性、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③y值随x值的增大而增大；……事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到． 将一次函数的表达式中添加绝对值符号，再向上平移1个单位长度，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 3 2 1 2 3 4 … ③在图②中描点、连线：    (1)请将文中描点、连线的过程补充完整； (2)请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是____________； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是____________；（包括端点） ③关于x的方程的解是____________． ④若的图象与直线只有一个交点，直接写出k的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $