精品解析：天津市西青区2025-2026学年高一上学期期末数学试题

高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题时间100分钟，满分120分. 第Ⅰ卷（40分） 一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在区间是　　 A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则值是 A. B. C. D. 5. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的大小关系为（ ） A B. C. D. 7. 已知，都是锐角，，，则值为（ ） A. B. C. D. 或 8. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是 A. B. C. D. 10. 已知函数部分图象如图所示，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②是的一个对称中心点； ③是奇函数； ④的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到. 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（80分） 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案写在答题纸相应的横线上.试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分. 11. 函数的定义域为_______. 12. 已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的圆心角为______. 13. 已知，则______，若，则______. 14. 若，则___________. 15. 已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为______cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为______ 16 已知下列结论： ①函数的定义域为； ②函数(且)的图象恒过定点； ③不等式的解集为，则实数的取值范围为； ④已知定义在上的函数满足，，当时，，则.以上四个结论，其中正确结论的序号为______. 三.解答题：本大题共4个小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程. 17. 已知，. （1）求，的值； （2）求的值. 18. 已知函数. （1）当时，求在区间上的最大值； （2）当时，解关于的不等式. 19. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求单调递减区间； （3）当时，求函数的最大值以及取得最大值时的值. 20. 已知幂函数的图象过点，且函数. （1）求幂函数的解析式； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）若，使得不等式有解，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题时间100分钟，满分120分. 第Ⅰ卷（40分） 一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式求解. 【详解】解：， 故选：C 2. 函数的零点所在区间是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的解析式求得f（0）f（1）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=2x+x3﹣2的零点所在的区间． 【详解】∵函数f（x）=2x+x3﹣2在R上单调递增， ∴f（0）=1+0﹣2=﹣1＜0，f（1）=2+1﹣2=1＞0， ∴f（0）f（1）＜0． 根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=2x+x3﹣2的零点所在的区间是（0，1）， 故选C． 【点睛】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题． 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义和特殊角的三角函数值即可判断答案. 【详解】若，则； 若，则或，即不一定为， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知函数，则的值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题中所给的分段函数解析式，将多层函数值从内向外求解，根据自变量的范围，选择相应的式子，代入求解. 【详解】因为，所以， ， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关分段函数求值的问题，在求解的过程中，需要注意多层函数值需要从内向外求解，属于简单题目. 5. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正余弦周期公式及图像变换排除，再通过对应区间内的单调性排除、. 【详解】对于A，，根据图象性质区间上单调递增，错误； 对于B，，错误； 对于C，，图像在单调递增，错误； 对于D，的图象是由的图象轴下方的图象上翻，周期减半， 故周期为，又在区间上，所以在区间上单调递减. 故选：D. 6. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指对数函数的单调性，先分别判断与和的大小关系，再综合比较三者的大小. 【详解】对数函数，底数，所以函数在上单调递减.因为，所以，即； 指数函数，底数，因此函数在上单调递减.因为，所以，即； 对数函数，底数，因此函数在上单调递增.因为，所以，即. 综上所述：由，，，可得. 故选： C. 7. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数关系和角的范围得到的值，凑角结合正弦差角公式得到答案. 【详解】是锐角，，故， 又，都锐角，故，又， 故，所以， 所以 . 故选：B 8. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析二次函数的开口方向和对称轴，确定函数的单调区间，结合条件列不等式即可求出的取值范围. 【详解】函数的对称轴是，开口方向向上， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：D 9. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入特殊值和后排除选项，得到正确答案. 【详解】当时，，排除B,D，当时，，排除A,只有C符合条件， 故选C. 【点睛】本题考查了由解析式判断函数图象，根据图象需分析函数的定义域和奇偶性，特殊值的正负，以及是否过定点等函数的性质，从而排除选项，本题意在考查分析和解决问题的能力. 10. 已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②是的一个对称中心点； ③是奇函数； ④的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到. 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得，即可判断①；求得，根据对称中心的定义，即可判断②；求得，即可判断③；由图象的平移，即可判断④. 详解】由题意可得， 所以， 所以，故①错误； 因为， 所以， 又因为函数过点， 所以， 所以， 又因为， 所以，或， 又因为函数与轴交于负半轴， 当时，不满足与轴交于负半轴； 当时，满足与轴交于负半轴； 此时函数过点， 所以， 因为， 所以是的一个对称中心点，故②正确； 因为， 所以奇函数，故③正确； 将的图象向左平移个单位长度， 得，故④错误. 故选：B. 第Ⅱ卷（80分） 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案写在答题纸相应的横线上.试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分. 11. 函数的定义域为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 由对数函数的真数大于零和分式的分母不为零，列不等式组可得答案 【详解】解：由题意得 ，解得或， 所以函数的定义域为， 故答案为： 12. 已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的圆心角为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设出圆心角，利用弧长公式得到方程，求出答案. 【详解】设圆心角为，则，解得. 故答案为： 13. 已知，则______，若，则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件，利用指对数互换和换底公式，即可求解. 【详解】由可得， 若，则. 故答案为：①；② 14. 若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用求得所求表达式的值. 【详解】. 故答案为： 15. 已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为______cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为______ 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】设出未知数，表达出圆柱的侧面积，配方得到最大值，得到答案. 【详解】矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的边长为cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大， 则圆柱的高为cm，则圆柱的底面半径为cm， 则圆柱的侧面积为， 故当矩形的边长为9cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为. 故答案为：9， 16. 已知下列结论： ①函数的定义域为； ②函数(且)的图象恒过定点； ③不等式的解集为，则实数的取值范围为； ④已知定义在上的函数满足，，当时，，则.以上四个结论，其中正确结论的序号为______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域可判断①；根据对数函数图象过定点可判断②；对不等式的二次项系数分类讨论，分别求得满足条件的集合可判断③；利用函数的奇偶性求出，再结合周期性可判断④. 【详解】对于①，由解得， 所以函数的定义域为，故正确； 对于②，令得，因为函数(且) 的图象恒过定点，所以函数(且)的 图象恒过定点，故正确； 对于③，当时，原不等式为成立； 当时，若不等式的解集为， 则，解得， 综上实数的取值范围为，故错误； 对于④，根据定义在上的函数满足， 可得为奇函数，且，所以，解得， 又因为，所以的周期为6， 所以，故正确. 故答案为：①②④. 三.解答题：本大题共4个小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程. 17. 已知，. （1）求，的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由，可求的值，再结合倍角公式和半角公式求和的值； （2）利用同角三角函数的商数关系求出，再由两角和的正切公式求. 【小问1详解】 ∵，. ∴. ∴， . 【小问2详解】 ∵ ∴ 18. 已知函数. （1）当时，求在区间上的最大值； （2）当时，解关于的不等式. 【答案】（1）6 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将代入可得，分析二次函数的单调区间即可求得在区间上的最大值； （2）结合条件，将不等式等价转化为，再根据的取值分类讨论即可求得其解集. 【小问1详解】 当时，，二次函数开口向上，对称轴为， 则有在上单调递减，在上单调递增， 且有，， 所以在区间上的最大值为6. 【小问2详解】 当时，原不等式等价于， ①当，即时，不等式的解或； ②当，即时，不等式的解为； ③当，即时，不等式的解为或， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求单调递减区间； （3）当时，求函数的最大值以及取得最大值时的值. 【答案】（1） （2）， （3）当时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）化简得，根据周期公式求解即可； （2）令，，求解即可； （3）令，结合三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为 ， ∴最小正周期为. 【小问2详解】 令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，. 【小问3详解】 因， 令， ，则， 因为， 的单调递增区间是，单调递减区间是 所以当时，即时， 取到最大值， 所以. 20. 已知幂函数的图象过点，且函数. （1）求幂函数的解析式； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）若，使得不等式有解，求实数取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意设幂函数为，将代入即可求得幂函数的解析式； （2）设，比较与的大小，结合函数单调性即可证明在上的单调性； （3）由（2）知在上单调递增，可解得在上的值域，设，根据题意有，分析二次函数的单调区间即可求其最小值，即的取值范围. 【小问1详解】 设幂函数为 ，其图象过点， ，解得， 故幂函数的解析式为； 【小问2详解】 由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增； 【小问3详解】 由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，. 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $