精品解析：山西临汾市兴国实验学校等校2025-2026学年第一学期期末质量监测八年级数学试卷

2025－2026学年第一学期期末质量监测试题（卷） 八年级数学（华东师大版） （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据“绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数”即可求解． 【详解】解：∵互为相反数的两个数符号相反且绝对值相等， ∴的相反数是， 故选B． 2. 多项式中，各项的公因式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多项式公因式的确定方法．确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、各项共有的相同字母、相同字母的最低次幂这三方面分析组合． 【详解】解：∵ 各项系数的最大公约数是， ∵ 多项式各项都含有的相同字母为， ∵ 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 各项的公因式是． 故答案为：． 3. 若，，则的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算．利用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则，将所求式子转化为已知式子的乘积形式，代入计算即可． 【详解】解：， ，， 原式， 故选D． 4. 在比赛开始前，学校统计了七、八、九年级参加剪纸比赛的人数，现在想了解各年级报名人数占总人数的百分比，应该选择（ ） A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 以上均可 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不同统计图的适用场景，需根据各统计图的特点判断哪种适合展示各部分占总体的百分比． 【详解】解：∵条形统计图用于直观展示各部分数量的多少，折线统计图用于反映数据的变化趋势，扇形统计图用于清晰呈现各部分数量占总数量的百分比， ∴要了解各年级报名人数占总人数的百分比，应选择扇形统计图， 故选：C． 5. 在实数，，，，中，无理数出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，频率的计算，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 先判断每个数是否为无理数，统计无理数的个数，再根据频率=无理数个数÷总个数计算频率即可得出结果． 【详解】解：∵，是整数，属于有理数； ，是无理数，∴是无理数； ，是整数，属于有理数； 中是无理数，∴是无理数； 是循环小数，属于有理数； ∴无理数共有2个，总共有5个数， ∴无理数出现的频率为， 故选C． 6. 如图，用纸板挡住了部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定方法（、、、等）是解题的关键． 根据图中露出的部分，确定直角三角形的两个角及其夹边，再依据全等三角形的判定定理逐一判断选项． 【详解】解：已知该三角形为直角三角形，且露出了一个锐角、直角以及这两个角所夹的一条边． 选项（）： ∵图中露出了直角、一个锐角，以及这两个角所夹的一条边，满足两角及其夹边对应相等的条件 ∴可以依据判定全等，故项正确，符合题意． 选项（）： ∵图中未提供两角及其中一角的对边的信息，不满足的判定条件 ∴不能依据判定全等，故项错误，不符合题意． 选项（）： ∵图中未提供两条边及其夹角的信息，不满足的判定条件 ∴不能依据判定全等，故项错误，不符合题意． 选项（）： ∵图中未提供三条边的信息，不满足的判定条件 ∴不能依据判定全等，故项错误，不符合题意． 故选：． 7. 如图，以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，连接交、于点、点，连接，若，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图与性质，以及三角形周长的计算． 解题的关键是利用线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），将三角形的边长进行转化． 【详解】解： 由作图可知，是线段的垂直平分线， 因此，且． 已知的周长为，将替换为，可得 ． 的周长为． 故选D． 8. 如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线定义得，，由平行线性质得，，所以，，则，，然后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，在中，，是边上的中线，平分．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的角平分线的定义，三角形的外角性质，根据是边上的中线，可得，平分，可得， ，进而根据平分，可得，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵在中，，是边上的中线，平分 ∴，平分， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 12. 反证法证明“的三个内角中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设__________． 【答案】的三个内角都小于 【解析】 【分析】本题主要考查的是反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键． 用反证法证明命题的第一步是假设结论不成立，故需先确定命题的结论；分析命题可知其结论为“三角形中至少有一个内角大于或等于”，结合上述分析，只需假设原命题的反命题成立，即假设三个内角都小于． 【详解】解：反证法证明时，首先假设结论不成立，即假设“的三个内角都小于”，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题“至少有一个内角大于或等于”成立． 故答案为：的三个内角都小于． 13. 有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，算术平方根，立方根，无理数概念，根据程序流程图的顺序进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题图可知：当输入的值为时，，是有理数， 然后求的立方根：，是有理数， 再求的算术平方根：，是无理数， 则输出， 故答案为：． 14. 如图，受台风影响，一棵米高的树被风刮断了，树顶落在离树根米处，则折断处的高度为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形边长之间的关系是解题的关键． 假设长度为米，故长度为米，根据勾股定理，可求出的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可知三角形为直角三角形， 根据勾股定理，得， 设的长度为米，故长度为米，结合米， 可得方程， 解得， 故的长度为米， 故答案为：． 15. 如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到对应线段．点恰好落在上，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的补角相等，三角形内角和定理等知识，由题意得，，从而可得，又是等边三角形，所以，，则有，然后证明，所以，最后由线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8个小题，共75分，写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算和整式的化简求值．解题的关键是先利用乘法公式展开并合并同类项化简，再代入数值计算． （1）先化简二次根式、绝对值、立方根，再计算加减即可； （2）先利用完全平方公式、平方差公式及单项式乘多项式计算，再合并同类项得到化简结果，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式； 当时，原式． 17. 在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，这样可以简化要分解的多项式结构，便于观察如何进行因式分解．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式……（第一步） ……（第二步） ……（第三步） ……（第四步） （1）第二步到第三步运用了因式分解__________；（A.提公因式法B.公式法） （2）该同学因式分解彻底吗？若不彻底，请写出该因式分解的最后结果__________； （3）请模仿以上方法，对多项式进行因式分解． 【答案】（1）B （2）不彻底； （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据题意，可判断出该步骤的因式分解方法为公式法； （2）观察其结果，还可以进行公式法因式分解，故分解不彻底； （3）设，利用公式法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，从变为， 采用了完全平方公式的逆运用， 故选B． 【小问2详解】 解：不彻底， ， 故答案为：不彻底；． 【小问3详解】 解：设 原式 ． 18. 随着教育信息化的发展，学生的学习方式日益增多．王老师为了指导学生有效利用网络进行学习，调查了部分学生每天利用网络学习的时长，并绘制了如下不完整的频数分布表，利用统计结果绘制了图1、图2两幅统计图． 选项 学习时间小时 频数 A B 20 C 50 D 10 （1）频数统计表中__________，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，求“B”选项所对应的扇形圆心角的度数； （3）若该校共有1500名学生，请你估计该校学生课外利用网络学习的时间高于2.5小时的有多少人？ 【答案】（1）20，见解析 （2） （3）900人 【解析】 【分析】本题考查了频数，熟练掌握频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图，由频数分布表，频数分布直方图与扇形统计图获得的数据，是解题的关键． （1）用C项的人数和所占的百分比求出调查的总人数．总人数减去B、C、D项的人数，得到A项的人数，即可补全频数分布直方图； （2）乘B选项的人数的占比即得B项在扇形统计图中圆心角的度数.； （3）用1500乘学习时长高于2.5小时人数的占比即得． 【小问1详解】 解：调查部分学生人数： （名）， ∴， 故答案为：20． 补全条形统计图： 【小问2详解】 解：总人数为100人，B选项占20人， 选项所对应扇形圆心角． 【小问3详解】 调查的学生中学习时长高于2.5小时人数为． （人）． 答：该校学生课外利用网络学习的时间高于2.5小时的有900人． 19. 如图，平分，，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）等边三角形，见解析． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由角平分线性质可得，然后通过等边对等角即可求证； （）由，，可得，所以，由（）可知，从而可得，则有，最后由等边三角形的判定方法即可求证． 【小问1详解】 证明：平分，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 由（）可知， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 20. “安全重于泰山，生命高于一切”．某地一楼房发生火灾，消防员用消防车上的云梯救人．如图，消防车高米（即米），施救点距离地面的高度为米，此时云梯的长度为米． （1）求云梯底部到楼房的距离． （2）消防员发现在处上方米的处有人未撤离，为了救出处的被困人员，在云梯长度不变的情况下，云梯底部需沿方向前进多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据已知求得，在中，根据勾股定理，即可求得的长； （2）根据勾股定理求得，根据，即可求解． 【小问1详解】 ，， ． 在中， （米） 答：云梯底部到楼房的距离为米． 【小问2详解】 由题意，得， 由（1）可知 ． 在中， 米 由（1）可知 米 答：云梯底部需沿方向前进米． 21. 综合与实践 校园操场修建了一面墙体，为了测量墙体是否与地面垂直，即是否垂直于点，在只有足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，两个兴趣小组分别设计了不同解决方案，设计方案如下表． 问题 测量墙体是否与地面垂直 工具 若干条无弹性的绳子 小组 第一小组 第二小组 测量方案 如图，在射线，，上分别取点，，，放置绳子，，使，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点O，否则不垂直． 如图，在一条绳子上打个结，得到条线段，用叠合法使得这条线段都相等，设每一条线段长为．如图放置这总长的绳子，使上的绳子，上的绳子，，则，即于点，否则不垂直． 测量示意图 根据上述方案解决问题： 第一、二小组的方案可行吗？如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】都可行，见解析． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理应用，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据等腰三角形三线合一定理即可求解； （）利用勾股定理逆定理进行求解即可． 【详解】解：第一小组可行，理由如下： ∵，， ∴， ∴； 第二小组可行，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 22. 阅读与思考 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． （1）已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． （2）如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 【答案】（1）、、 （2）①见解析；②见解析 （3）97 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）①先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可；②由①中的全等，可得出，，再分别根据梯形面积公式以及等面积法将梯形转换为三个三角形的面积，得出两种表达方式，也可证出； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【小问1详解】 解：证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴， 故答案为：、、． 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴ ． ②∵， ∴，， ∴， ， 故， 化简得． 【小问3详解】 解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：， 故答案：． 23. 综合与探究 问题情境：如图，是等腰直角三角形，，，，点为边上的一点，连接．点为直线上一点，直线交直线于点． （1）猜想证明：如图，当点在线段上且时，判断与的数量关系，并说明理由； （2）拓展延伸：如图，当点在线段上时，且交延长线于点，交延长线于点，连接． （）中的结论仍然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 已知，，请直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析； （2）仍然成立，见解析；． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由等腰三角形性质可得，通过垂直定义可得，所以，得，然后通过“”证明即可； （）由（）得，证明，然后通过全等三角形的性质即可求解； 由等腰三角形性质可得，由全等三角形性质可得，勾股定理得，最后通过即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：仍然成立，理由如下： 由（）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末质量监测试题（卷） 八年级数学（华东师大版） （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 多项式中，各项的公因式是（ ）． A. B. C. D. 3. 若，，则的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 6 4. 在比赛开始前，学校统计了七、八、九年级参加剪纸比赛的人数，现在想了解各年级报名人数占总人数的百分比，应该选择（ ） A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 以上均可 5. 在实数，，，，中，无理数出现的频率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用纸板挡住了部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，连接交、于点、点，连接，若，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，是边上中线，平分．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 反证法证明“的三个内角中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设__________． 13. 有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是______． 14. 如图，受台风影响，一棵米高的树被风刮断了，树顶落在离树根米处，则折断处的高度为__________米． 15. 如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到对应线段．点恰好落在上，则的长是______． 三、解答题（本题共8个小题，共75分，写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 17. 在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，这样可以简化要分解的多项式结构，便于观察如何进行因式分解．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式……（第一步） ……（第二步） ……（第三步） ……（第四步） （1）第二步到第三步运用了因式分解__________；（A.提公因式法B.公式法） （2）该同学因式分解彻底吗？若不彻底，请写出该因式分解的最后结果__________； （3）请模仿以上方法，对多项式进行因式分解． 18. 随着教育信息化的发展，学生的学习方式日益增多．王老师为了指导学生有效利用网络进行学习，调查了部分学生每天利用网络学习的时长，并绘制了如下不完整的频数分布表，利用统计结果绘制了图1、图2两幅统计图． 选项 学习时间小时 频数 A B 20 C 50 D 10 （1）频数统计表中__________，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，求“B”选项所对应的扇形圆心角的度数； （3）若该校共有1500名学生，请你估计该校学生课外利用网络学习的时间高于2.5小时的有多少人？ 19. 如图，平分，，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 20. “安全重于泰山，生命高于一切”．某地一楼房发生火灾，消防员用消防车上的云梯救人．如图，消防车高米（即米），施救点距离地面的高度为米，此时云梯的长度为米． （1）求云梯底部到楼房距离． （2）消防员发现在处上方米的处有人未撤离，为了救出处的被困人员，在云梯长度不变的情况下，云梯底部需沿方向前进多少米？ 21. 综合与实践 校园操场修建了一面墙体，为了测量墙体是否与地面垂直，即是否垂直于点，在只有足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，两个兴趣小组分别设计了不同解决方案，设计方案如下表． 问题 测量墙体是否与地面垂直 工具 若干条无弹性的绳子 小组 第一小组 第二小组 测量方案 如图，在射线，，上分别取点，，，放置绳子，，使，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点O，否则不垂直． 如图，在一条绳子上打个结，得到条线段，用叠合法使得这条线段都相等，设每一条线段长为．如图放置这总长的绳子，使上的绳子，上的绳子，，则，即于点，否则不垂直． 测量示意图 根据上述方案解决问题： 第一、二小组的方案可行吗？如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由． 22. 阅读与思考 美丽弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． （1）已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． （2）如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 23. 综合与探究 问题情境：如图，是等腰直角三角形，，，，点为边上的一点，连接．点为直线上一点，直线交直线于点． （1）猜想证明：如图，当点在线段上且时，判断与数量关系，并说明理由； （2）拓展延伸：如图，当点在线段上时，且交延长线于点，交延长线于点，连接． （）中的结论仍然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 已知，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $