精品解析：山西省临汾市洪洞县2025-2026学年八年级上学期2月期末数学试题

山西省临汾市洪洞县2025-2026学年八年级上学期2月期末数学试题 注意事项： 1．本试题（卷）共8页，23道题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在实数3.1415，，（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），，，0，中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 下列计算正确的是（　　） A. a6÷a3＝a2 B. （﹣3ab2）2＝﹣9a2b4 C. （﹣a+b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2 D. （3x2y）÷xy＝3x 3. 下列说法中：①3的平方根是；②是9的一个平方根；③的平方根是；④的算术平方根是；⑤；⑥的立方根是2；其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 在“We like maths”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频数是（ ） A. 2 B. C. 11 D. 1 5. 如图，且，，，则（ ） A. 3 B. 3.5 C. 5 D. 6.5 6. 下列定理中，没有逆定理的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 等边对等角 D. 全等三角形对应边相等 7. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中， AB的垂直平分线交AB于点D，AD＝5cm，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则△ABC的周长等于（　　 ） A. 23cm B. 25cm C. 28cm D. 30cm 9. 如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边分别交于点E、F，给出以下五个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤．始终正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”第一步应假设_____． 12. 若长方形的长为，宽为，它的周长为24，面积为32，则____． 13. 如图，数轴上点A表示的数是，点C表示的数是1，且．以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D，则点D表示的数是___________． 14. 如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为________． 15. 如图，分别以锐角三角形的三边向外作三个正方形，且，，，则_______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） （3）因式分解： （4）先化简，再求值：，其中 17. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． （1）用含有、的代数式表示绿化的总面积； （2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化平方米，每小时收费200元，求完成此项绿化任务所需的费用．（用含、的代数式表示） 18. 临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 19. 已知：如图，在和中，，且点，点，点在一条直线上． （1）求证： （2）若，判断的形状，并说明理由． 20. 某社区随机抽取了部分家庭， 调查他们每月用于“信息消费”的金额 （单位： 元）， 将数据分组如下： A. ； B. ； C. ； D. ； E．， 并将数据整理成如图所示的不完整统计图．已知A、B两组户数在频数分布直方图中的高度比为． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）A组的频数是多少？本次调查的样本容量是多少？ （2）抽取的家庭中每月用于“信息消费”的金额不少于元的有多少户？ （3）求扇形统计图中B组所占扇形的圆心角的大小． 21. 如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 22. 【项目化学习】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形． （1）若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A，B，C，各型号卡片各多少张？ （2）若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取A型卡片9张，再取B型卡片4张，还需C型卡片__________张． （3）用一张A型卡片，一张B型卡片，一张C型卡片紧密拼接成如题图所示的图形，若阴影部分的面积为32，C型卡片的面积为48，求的值． 23. 【实践与操作】折纸是我国一种传统的民间艺术．在数学活动课上，老师组织同学们展开了一次折纸探究活动． 活动一：（1）如图1：在数学活动课上，老师在一张矩形纸片上任意取一条与边不垂直的线段，将纸片沿折叠，重叠的部分一定是__________三角形． 活动二：（2）借助活动一，“爱思”小组的操作如下： ①把长方形对折，使边与重合，然后展开，折痕为． ②把沿过点A的直线翻折，使点B落在折痕上的点G处． ③连接． 则为等边三角形．请你说明这样做的理由． 活动三：（3）老师又提出一个问题：如图：是边长为4的正方形，所在的直线是它的对称轴．通过对折，在上找一点M，使为等边三角形，画出折痕，并求出折痕上的点到点A的距离．请解答此问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省临汾市洪洞县2025-2026学年八年级上学期2月期末数学试题 注意事项： 1．本试题（卷）共8页，23道题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在实数3.1415，，（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），，，0，中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：3.1415，，0，时有理数； ，（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），是无理数． 故选A． 2. 下列计算正确的是（　　） A. a6÷a3＝a2 B. （﹣3ab2）2＝﹣9a2b4 C. （﹣a+b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2 D. （3x2y）÷xy＝3x 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方和平方差公式分别判断得出即可． 【详解】A、a6÷a3＝a3，故此选项错误； B、（﹣3ab2）2＝9a2b4，故此选项错误； C、（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝﹣b2+a2，故此选项错误； D、（3x2y）÷xy＝3x，故此选项正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了整式的除法运算法则以及积的乘方和平方差公式等知识，正确应用运算法则是解题关键． 3. 下列说法中：①3的平方根是；②是9的一个平方根；③的平方根是；④的算术平方根是；⑤；⑥的立方根是2；其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方根的定义及立方根定义．根据平方根的定义及立方根定义直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：3的平方根是，故①错误； ，故是9的一个平方根，②正确； ，故的平方根是，③正确； ，故的算术平方根是，④正确； ，故⑤错误； 的立方根是，故⑥错误； 综上所述②③④正确， 故选：C. 4. 在“We like maths”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频数是（ ） A. 2 B. C. 11 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查频数的定义．频数是指某个对象在总体中出现的次数，只需统计句子中字母“e”出现的次数即可求解． 【详解】解：∵在句子“We like maths”中，字母“e”出现2次， ∴字母“e”出现的频数是2， 故选：A． 5. 如图，且，，，则（ ） A. 3 B. 3.5 C. 5 D. 6.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．由全等三角形的性质求得，推出，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 6. 下列定理中，没有逆定理的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 等边对等角 D. 全等三角形对应边相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查逆定理的概念．一个定理的逆命题不一定为真命题，若其逆命题为假命题，则称该定理没有逆定理．解题时，需写出各选项的逆命题，并判断其真假． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，假命题，故该选项符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意； C、等边对等角的逆命题是等角对等边，是真命题，故该选项不符合题意； D、全等三角形的对应边相等的逆命题是三边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选∶A． 7. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及勾股定理逆定理和三角形内角和定理．通过判断每个选项是否满足直角三角形条件，计算得到选项D的角均为锐角，因此不是直角三角形，从而得到答案． 【详解】解：A选项：∵， ∴， 由勾股定理逆定理可知，是直角三角形，不符合题意； B选项：设，，（）， ∵， 由勾股定理逆定理可知，是直角三角形，不符合题意； C选项：∵，且， ∴， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； D选项：设，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 中无直角，不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 8. 如图，在△ABC中， AB的垂直平分线交AB于点D，AD＝5cm，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则△ABC的周长等于（　　 ） A. 23cm B. 25cm C. 28cm D. 30cm 【答案】C 【解析】 【分析】由于AB的垂直平分线交AC于E，所以AE=BE，而△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AE+CE+BC= AB+BE+CE+BC，由此即可求出△ABC的周长． 【详解】∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE，AD=DB=5cm, ∴AB=10cm， ∵△BCE的周长等于18cm ∴BE+CE+BC=18cm ∴△ABC的周长==AB+AC+BC=AB+AE+CE+BC= AB+BE+CE+BC=10+18=28cm， 故选C. 【点睛】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 9. 如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，证明即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，，， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 10. 如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边分别交于点E、F，给出以下五个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤．始终正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，，，进而可判断④正确；再得到，，，进而可判断①③⑤正确；证明只有当时，，可判断②错误． 【详解】解：∵，，点P是的中点， ∴，，， ∴ ∴，故④正确； 在和中， ， ∴， ∴，，，又， ∴是等腰直角三角形， ， 故①③⑤正确； ∵是等腰直角三角形 ∴，又， ∴只有当时，为等腰直角三角形，这时，则有， 故②错误， 综上，始终正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，证明是解答的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”第一步应假设_____． 【答案】两个锐角都大于 【解析】 【分析】本题考查了反证法．反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即否定“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，从而假设两个锐角都大于． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，第一步应假设原命题的结论不成立， 即假设两个锐角都大于． 故答案为：两个锐角都大于． 12. 若长方形的长为，宽为，它的周长为24，面积为32，则____． 【答案】384 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及长方形的性质．直接利用长方形的性质结合提取公因式法分解因式得出答案． 【详解】解：由题意可得：，， 则， 故 ． 故答案为：384． 13. 如图，数轴上点A表示的数是，点C表示的数是1，且．以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D，则点D表示的数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴以及勾股定理，熟练掌握上述基本知识是关键； 先利用勾股定理求出，进而可得答案． 【详解】解：因为点A表示的数是，点C表示的数是1， 所以, 因为且， 所以， 因为以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D， 所以， 所以点D表示的数是； 故答案为：． 14. 如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将的面积分解成的面积和面积和，转化成以为未知数的方程求出． 【详解】如图：过点作于点， ， 由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、直角三角形面积，重点掌握勾股定理的运用，直角三角形的面积转换是解题的关键． 15. 如图，分别以锐角三角形的三边向外作三个正方形，且，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了以锐角三角形三边为边长的图形面积，勾股定理．先求得，，，作于点，设，则，利用勾股定理列式求得，，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， 作于点，设，则， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） （3）因式分解： （4）先化简，再求值：，其中 【答案】（1） （2） （3） （4）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解． （1）先计算乘方，再根据单项式的乘除法求解即可； （2）先计算多项式除单项式，多项式乘单项式，再合并同类项即可； （3）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解即可； （4）先利用多项式的混合运算法则化简，再利用非负数的性质求得x、y的值，将x、y的值代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ， ∵， ∴， ∴，， 当，时，原式 17. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． （1）用含有、的代数式表示绿化的总面积； （2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化平方米，每小时收费200元，求完成此项绿化任务所需的费用．（用含、的代数式表示） 【答案】（1）平方米 （2）元 【解析】 【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则进行计算即可得出答案； （2）先求出该队需要多少小时绿化完，再乘以每小时的费用即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： 平方米， 答：绿化的面积是平方米； 【小问2详解】 解：根据题意得 元， 答：完成此项绿化任务所需的费用为元． 【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 18. 临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 【答案】雕刻在石柱上的巨龙至少为20米． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 19. 已知：如图，在和中，，且点，点，点在一条直线上． （1）求证： （2）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）等腰直角三角形，见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，三角形的外角性质． （1）先求得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质求得，再根据三角形的外角性质求得，据此可判断是等腰直角三角形． 【小问1详解】 证明：， ， ， 又，， ； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ， 是的外角， ， ∴， ， ∴是等腰直角三角形． 20. 某社区随机抽取了部分家庭， 调查他们每月用于“信息消费”的金额 （单位： 元）， 将数据分组如下： A. ； B. ； C. ； D. ； E．， 并将数据整理成如图所示的不完整统计图．已知A、B两组户数在频数分布直方图中的高度比为． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）A组的频数是多少？本次调查的样本容量是多少？ （2）抽取的家庭中每月用于“信息消费”的金额不少于元的有多少户？ （3）求扇形统计图中B组所占扇形的圆心角的大小． 【答案】（1）A组的频数是2，本次调查的样本容量是； （2）户； （3）． 【解析】 【分析】（1）由B组的频数为，且A，B两组户数在频数分布直方图中的高度比为可得A组频数；用A、B组频数和除以其所占百分比即可； （2）用总人数乘以C、D、E所占的百分比之和即可得出不少于200元的户数； （3）B组所占的比例乘以即可． 【小问1详解】 解：A、B两组户数在频数分布直方图中的高度比为 B组的频数是； A组的频数是； 本次调查的样本容量为： ； 答：A组的频数是2，本次调查的样本容量是； 【小问2详解】 ， 答：每月用于“信息消费”的金额不少于元的有户； 【小问3详解】 扇形统计图中B组所占扇形的圆心角的大小： ． 【点睛】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图的综合应用，解答本题的关键是利用直方图和扇形图求出样本容量． 21. 如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解析 【解析】 【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形； （2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果． 【详解】解：（1）△ABC是直角三角形； 理由如下： ∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）甲方案所修的水渠较短； 理由如下： ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC， ∴CH＝（m）， ∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m）， ∴AC+BC＜CH+AH+BH， ∴甲方案所修的水渠较短． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键． 22. 【项目化学习】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形． （1）若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A，B，C，各型号卡片各多少张？ （2）若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取A型卡片9张，再取B型卡片4张，还需C型卡片__________张． （3）用一张A型卡片，一张B型卡片，一张C型卡片紧密拼接成如题图所示的图形，若阴影部分的面积为32，C型卡片的面积为48，求的值． 【答案】（1）需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张； （2）12 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的几何应用，三角形、正方形、长方形的面积公式，解题的关键是掌握整式乘法的运算法则． （1）计算出拼成的长方形面积即可求解； （2）根据完全平方式的特点，即可求解； （3）由题意可得，根据，求出，进而求出即可． 【小问1详解】 解：拼成的长方形面积为：， 需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张； 【小问2详解】 解：∵A型卡片9张，再取B型卡片4张的面积之和为， ∴添加能与组成一个完全平方式， 即是一个完全平方式，故， ∴要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需C型卡片12张； 故答案为：12； 【小问3详解】 解：∵C型卡片的面积为48， ∴， ， 又阴影部分的面积为32， ∴， 解得：（负值已舍去）， 又， ∴， ∴，． 23. 【实践与操作】折纸是我国一种传统的民间艺术．在数学活动课上，老师组织同学们展开了一次折纸探究活动． 活动一：（1）如图1：在数学活动课上，老师在一张矩形纸片上任意取一条与边不垂直的线段，将纸片沿折叠，重叠的部分一定是__________三角形． 活动二：（2）借助活动一，“爱思”小组的操作如下： ①把长方形对折，使边与重合，然后展开，折痕为． ②把沿过点A的直线翻折，使点B落在折痕上的点G处． ③连接． 则为等边三角形．请你说明这样做的理由． 活动三：（3）老师又提出一个问题：如图：是边长为4的正方形，所在的直线是它的对称轴．通过对折，在上找一点M，使为等边三角形，画出折痕，并求出折痕上的点到点A的距离．请解答此问题． 【答案】（1）等腰；（2）见解析；（3）图见解析，折痕上的点到点A的距离为 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质知，，证出，则可得出结论； （2）由折叠的性质证出，则可得出结论； （3）把沿过点B的直线翻折，使点C落在折痕上的点M处，连接，则为等边三角形，利用勾股定理求得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图： ∵纸片为矩形，则， ∴， 由折叠的性质知，， ∴， ∴为等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）∵四边形是长方形， 由折叠得， 由折叠得为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （3）①把沿过点B的直线翻折，使点C落在折痕上的点M处， ②连接． 则为等边三角形． ∵是边长为4的正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $