1.8 三角函数的简单应用 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 三角函数 互动设计 1.8 三角函数的简单应用 互动设计课程 1 学 习 目 标 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型能够运用三角函数模型解决简单的实际问题，如简谐振动、圆周运动、潮汐变化等 。。。 返回主页 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型能够运用三角函数模型解决简单的实际问题，如简谐振动、圆周运动、潮汐变化等掌握从实际问题中抽象出三角函数模型的方法，确定参数 A,ω,φ,b 能根据已知图象或数据建立三角函数解析式，并能运用模型进行预测 情 境 引 入 【情境一：生活中的周期现象】 返回主页 【情境二：实际问题】 【情境一：生活中的周期现象】 观察思考：下列现象有什么共同特征？ - 昼夜交替、四季轮回 - 月亮圆缺、潮汐涨落 - 单摆摆动、弹簧振动 - 交流电流、声波传播 共同特征：都具有周期性，可以用周期函数描述，而三角函数是最基本的周期函数模型。 【情境二：实际问题】 港口水深问题：某港口水深 （米）是时间 （，单位：时）的函数，记作 。 （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 下面是某天水深的数据： 思考问题： 1. 水深的变化具有周期性吗？周期大约是多少？ 2. 能否用一个三角函数模型来近似描述这个变化？ 3. 如何确定函数模型中的各个参数？ 互 动 设 计 【活动1：数据分析与模型选择】 返回主页 【活动2：模型应用】 【活动1：数据分析与模型选择】 任务：分析港口水深数据，建立三角函数模型。 步骤一：观察数据特征 - 最大值：13.0 米，最小值：7.0 米 - 平均值： 米 - 周期：从 到 完成一个完整变化， 小时 步骤二：确定模型形式 选择 或 步骤三：确定参数 - （振幅） - （平衡位置，竖直平移量） - - 由 时 ，得 ，取 模型： 步骤四：检验模型 计算 时，，与实际数据吻合。 【活动2：模型应用】 问题延伸： 1. 货船需要的安全水深为 11.5 米，何时可以进港？ 2. 货船在港内最多能停留多长时间？ 求解： 解不等式 得 在一个周期内：，即 结合周期性，进港时间段为 （） 在 0-24 时内，可进港时间为 1:00-5:00 和 13:00-17:00，每次最多停留 4 小时。 探 求 新 知 1. 建立三角函数模型的步骤 返回主页 2. 常见三角函数应用模型 3. 解题注意事项 1. 建立三角函数模型的步骤 模型准备 模型假设 模型构成 模型求解 模型分析 模型检验 模型应用 步骤一：收集数据，观察规律 - 收集实际问题中的数据 - 观察数据是否具有周期性 步骤二：选择函数模型 - 确定使用 或 步骤三：确定参数 参数 确定方法 计算公式 （振幅） 最大值与最小值之差的一半 （平衡位置） 最大值与最小值的平均值 （周期） 完成一次完整变化所需时间 观察数据或题目给定 （角频率） （初相） 代入特殊点求解 通常选最高点、最低点或平衡位置点 步骤四：检验模型 - 将已知数据代入检验，必要时修正 - 注意实际问题的定义域限制 步骤五：应用模型 - 利用模型进行预测、计算、决策 2. 常见三角函数应用模型 应用场景 模型特征 参数意义 简谐振动 ：振幅，：角频率，：初相 交流电流 ：电流最大值 潮汐变化 ：平均水深，：潮差的一半 温度变化 ：年平均温度 圆周运动 投影运动为简谐振动 角速度 与周期关系 3. 解题注意事项 单位统一：时间单位、角度单位要统一（弧度制） 定义域限制：实际问题中自变量往往有范围限制 取值的合理性：求解结果要符合实际意义 模型的近似性：三角函数模型是理想化的近似描述 典 例 铺 路 【类型一：由数据建立模型】 【类型二：由图象建立模型】 【类型三：实际应用问题】 【类型四：综合应用】 【类型一：由数据建立模型】 例1 某城市一年中12个月的平均气温（℃）如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 气温 -4 -2 4 10 16 22 26 25 19 12 5 -2 用函数 y=Asin(ωx+φ)+b 拟合上述数据，求该函数的解析式。 解： - 最高气温 26℃，最低气温 -4℃ - ， - 周期 （月）， - 7 月（）气温最高，即 ，取 解析式： 或写成 （验证： 时，，接近 26，需调整） 【类型二：由图象建立模型】 例2 如图是某简谐运动的位移-时间图象，根据图象求： （1）振幅、周期、频率； （2）该振动的函数解析式； （3） s 时的位移。 解：（假设图象显示：最大值 4，最小值 -4，周期 0.4 s，过原点） （1）振幅 cm，周期 s，频率 Hz （2），初相 解析式：（cm） （3）当 时， cm 【类型三：实际应用问题】 例3公园摩天轮直径为36m,轮子的底部在地面上3m处，摩天轮按逆时针方向旋转，每9min转一圈，某游客从摩天轮底部乘坐开始计时. (1)求该游客相对于地面的高度h(单位:m)关于时间t(单位:min)的函数关系式； (2)若游客在某天日落时分乘坐摩天轮，由于周围建筑的遮挡，在距离地面约30m时方能看到日落.在摩天轮转动的一圈内，此人能看到日落的时间约有多少分钟？ 【类型四：综合应用】 例4 某实验室一天的温度（单位：℃）随时间 （单位：h）的变化近似满足函数关系：，。 （1）求实验室这一天的最大温差； （2）若要求实验室温度不高于 11℃，在哪段时间实验室需要降温？ 解： （1）∵ ∴ 最大温差为 ℃ （2）令 得 解得 即 在 内， 需要降温的时间为 ，即 10:00 至 18:00，共 8 小时。 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. 某简谐运动的位移 与时间 的关系为 ，则该振动的周期和振幅分别为（ ） A. B. C. D. 答案：A 【基础训练】 2. 某城市一年中12个月的平均气温可近似用 （）表示，已知6月份平均气温最高为 28℃，12月份平均气温最低为 18℃，则10月份的平均气温约为______℃。 答案：20 【基础训练】 3. 如图，单摆离开平衡位置的距离 （cm）和时间 （s）的函数关系为 ，则单摆来回摆动一次所需的时间为______s。 答案：1 【能力提升】 4. 某港口水深 （米）是时间 （，单位：时）的函数，记作 ，下面是某天水深的数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 （1）选用一个三角函数模型近似描述这个港口的水深与时间的关系； （2）一般情况下，船舶航行时船底离海底的距离不少于 4.5 米，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为 5 米，那么该船一天内何时能进港？ 答案： （1） 或 （2）船底离海底距离 = 水深 - 吃水深度 ，即水深 米 解 ，得 （无解） 或重新理解：水深 吃水深度 + 4.5 = 9.5 米，而最大水深为 7.5 米，故此船无法进港。 若吃水深度为 2 米，则水深 米，解得 。 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 三角函数简单应用 │ ├── 建模步骤 │ ├── 收集数据，观察周期 │ ├── 选择模型 y = Asin(ωx+φ)+b │ ├── 确定参数 A, ω, φ, b │ ├── 检验模型 │ └── 应用模型 │ └── 常见应用 ├── 简谐振动 ├── 潮汐水深 ├── 温度变化 └── 圆周运动 34 2. 方法小结 参数 确定方法 代入特殊点求解 识模：识别问题中的周期性规律 建模：建立三角函数模型，确定参数 解模：利用模型求解实际问题 验模：检验结果是否符合实际 $