精品解析：湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年度第一学期九年级期末考试 试题卷・数学 一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 2. 2026年1月1日，湖南省全省接待游客777.99万人次．长沙作为全省的旅游核心，贡献了其中的主要客流．将数据777.99万用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：777.99万． 故选：C． 3. 如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三视图．根据从正上方看到的图形为俯视图即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，俯视图是， 故选：D 4. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从滑行到．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键． 根据三角函数可直接进行求解． 【详解】解：由题意得，， ， ，即， 所以这名滑雪运动员的高度下降了米； 故选：A． 5. 把抛物线向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，根据“左加右减、上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】由抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的原则， 所以将抛物线向左平移5个单位长度，得到的解析式为， 再向下平移2个单位长度，得到的解析式为． 故选：A． 6. 如图，是上的三个点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，掌握同弧所对圆周角和圆心角的关系是解题的关键． 根据同弧所对圆周角和圆心角的关系，可得． 【详解】解：∵和是同弧所对的圆周角和圆心角， ∴， 又∵， ∴， 故选A． 7. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定条件，已知，判断两个三角形是否相似，需满足两角对应相等或两边成比例且夹角相等，据此逐一分析各选项即可． 【详解】解：在和中，， 如果，需满足的条件有：①或是的平分线；②， ∴不能判定和相似的是C， 故选：C． 8. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 9. 如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到．若点恰好在线段的延长线上，且，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，以及等腰三角形的性质和判定，解题关键是推出等腰三角形． 由旋转得到，则，即为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质计算角度即可． 【详解】解：绕点按逆时针方向旋转，得到， ，， ，， ∴， ． 故选：C． 10. 已知二次函数，下列说法正确的有（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其图象顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，利用二次函数一般式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性即可． 【详解】∵ 二次函数中，，， ∵ ， ∴ 图象开口向上，故A错误； ∵ 对称轴公式为直线， ∴ 代入得，故B错误； 将代入函数解析式， ∴ ，即顶点坐标为，故C错误； ∵ ，开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小，故D正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 函数中的自变量的取值范围_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数非负，列出不等式求解即可． 【详解】函数中，被开方数必须满足非负条件， 即，解得． 故答案为：． 12. 某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，如表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 移植数（棵） 成活数（棵） 成活频率 100 87 0.87 1000 893 0.893 5000 4485 0.897 8000 7224 0.903 10000 8983 0.8983 15000 13443 0.8962 20000 18044 0.9022 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是_____（结果精确到0.1）． 【答案】0.9 【解析】 【分析】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可． 【详解】解：∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.9022， ∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为． 故答案为：． 13. 已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 利用一元二次方程根与系数的关系，根据已知根求另一个根即可． 【详解】解：设的两个实数根为，，其中， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心，若，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 利用位似的性质得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵与位似，原点O是位似中心， ∴，即， ∴． 故答案是：6． 15. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1－12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为_____． （参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角，解直角三角形，等腰三角形的三线合一，熟练掌握相应知识是解题的关键． 由图可得数字6到数字7的线段长度与其他的都不相等，设数字0记为圆心，数字6记为，数字7记为，过点作于点，求出，解直角三角形求出即可求解． 【详解】解：由图可得，数字6到数字7的线段长度与其他的都不相等， 如图，设数字0记为圆心，数字6记为，数字7记为，过点作于点， ∵数字1－12对应的点均匀分布在上， ∴， ∵，， ∴，，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数的混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角度的锐角三角函数值，绝对值的定义，负整数幂的运算法则，以及二次根式的化简方法． 先将绝对值、二次根式化简、负整数幂，将锐角三角函数转化为实数，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在中，为边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质. （1）根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据相似得出比例式，代入求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解， ， ， ． 19. 某中学九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走50米到处再测得点的仰角为，已知、在同一条直线上． （1）求的度数； （2）求新教学楼的高度（结果保留根号）． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据三角形的外角性质计算即可求解； （2）由题意可得，在中利用锐角三角函数即可求解． 【小问1详解】 解：∵在处测得新教学楼房顶点的仰角为，在处再测得点的仰角为， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． 在中，， ∴． 答：新教学楼的高度约为米． 20. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有_____名学生参与了本次问卷调查； （2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_____度； （3）小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用选择“礼仪”课程的学生人数除以所占百分比即可； （2）用乘以选择“陶艺”课程的学生所占的百分比即可得出结论； （3）画树状图，共有种等可能的结果，其中小刚和小强恰好选到同一门课程的结果有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵（名）， ∴共有名学生参与了本次问卷调查， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是度， 故答案为：； 【小问3详解】 解：把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记为、、， 共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程（记为事件）的结果有种， ∴， ∴两人恰好选到同一门课程的概率为． 【点睛】本题考查用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．解题的关键：树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，包括利用待定系数法求函数解析式以及坐标系中三角形面积的求解；解题的关键是利用函数图象上点的坐标满足函数解析式这一性质，通过已知交点坐标求出未知参数． （1）先将点代入反比例函数解析式求出系数，得到反比例函数；再将点的横坐标代入反比例函数求出其纵坐标；最后将两点坐标代入一次函数解析式，解方程组求出和． （2）根据求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数与反比例函数的图象相交于两点， ， 将坐标代入一次函数得： ， 解得：， 故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 设直线与轴的交点为，如图， ， ， ， ， ． 22. 《疯狂动物城》票房大卖，周边玩偶热销．某商店将每件进价为元的毛绒公仔按每件元出售，一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种毛绒公仔单价每降低元，其销量可增加件． （1）若此商店经营该毛绒公仔一天要获利润元，则每件毛绒公仔应降价多少元？ （2）设后来该毛绒公仔每件降价元，此商店一天可获利润元．求出与之间的函数关系式，并求当取何值时，此商店获利润最大？ 【答案】（1）元或元 （2），元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，准确掌握题意以及列出关系式是解题的关键． （1）根据题意，设每件毛绒公仔应降价元，得出方程，解出该方程即可； （2）根据题意，得出与之间的函数关系式，将其转换为顶点式，可得利润最大时对应的取值． 【小问1详解】 解：设每件毛绒公仔应降价元， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 答：每件商品应降价元或元． 【小问2详解】 解： ， ， ∵，开口向下， ∴当时，有最大值为， 答：与之间的函数关系式为， 当取5时，此商店获利润最大． 23. 如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当四边形为菱形时，求的长； （3）当时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意证明出四边形是正方形，得到，然后利用圆周角定理求解即可； （2）首先证明出是等边三角形，如图所示，连接交于点G，求出，，然后得到是等腰直角三角形，进而求解即可； （3）分两种情况，根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 ∵正方形的边长为5． ∴ ∵当时 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵四边形为菱形 ∴ ∵扇形所在圆的圆心在对角线上， ∴ ∴是等边三角形 如图所示，连接交于点G ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 【小问3详解】 如图所示，当是劣弧时， ∵，半径 ∴； 如图所示，当是优弧时， ∵，半径 ∴ ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，求弧长，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 如图，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知分别为“果圆”与坐标轴的交点，与“果圆”中的抛物线交于两点． （1）如图1，求“果圆”中的抛物线的解析式； （2）如图2，在第一象限的半圆上一点，若是的角平分线时，求直线的解析式； （3）如图3，是线段上一点，在第三象限，，且，是第四象限的点且，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】本题主要涉及一次函数与二次函数的交点问题、角平分线的性质、三角函数以及图形的旋转和圆的相关知识． （1）由直线方程，得到，再代入抛物线中即可求解； （2）设半圆圆心为，半径为，连接，过作轴于点，令，利用根与系数的关系得到，进而得到半圆圆心，半径，利用勾股定理得到，接着证得，再利用，结合圆周角定理得到，再根据待定系数法求直线方程即可； （3）由题可知为绕点顺时针旋转而来，则在绕点顺时针旋转后的上，又点在以为直径的圆上运动，记圆心为， 作于点，交圆于点，则即为的最小值，再计算即可． 【小问1详解】 解：， 时，；时，，解得， ． 将代入中， ，解得：， ； 【小问2详解】 解：设半圆圆心为，半径为，连接，过作轴于点， 由， 得， ， ． 记半圆圆心为， 则． 连接，在Rt中， ， 是的角平分线， ， 又， ， ， ， ， ， 在Rt中， ， ， ， ， ， 又， 设直线解析式为， 则，解得， 直线解析式为； 【小问3详解】 解：是线段上一点，在第三象限，，且， 为绕点顺时针旋转而来， 则绕点顺时针旋转后分别为， 在线段上，． ， 点在以为直径的圆上运动， 记圆心为，则，半径为2． 作于点，交圆于点， 此时，即为的最小值． ， 而， ， ， 的最小值为2． 25. 如图，点是的内心，点是的外心，的延长线与相交于点，与相交于点，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，的外接圆的半径为，内切圆的半径为，是否为定值，若是请求出这个定值，若不是请说明理由． 【答案】（1） 证明：点是的内心， ， 是所对的圆周角， ， 而， ， ， 为等腰三角形． （2） 证明：由（1）知， 又， ， ， 又， ， ， 且为公共角， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）是定值， 【解析】 【分析】本题主要涉及三角形内心、外心的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用，掌握相关判定与性质是解题的关键． （1）通过内心的性质和圆周角定理，得到即可证明； （2）先证、，得到、，则，即，再证，即可得到； （3）连接交于点，作于点，连接，，设，分别计算得到，，再求即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是定值． 连接交于点，作于点，连接，， 由（2）知， 垂直平分，点在上， 同理可证点也在上， ， ， 又， 垂直平分于点． 设，则． 由（2）得， ， ， ． ， 即， 解得， ． 在Rt中，， 又， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期九年级期末考试 试题卷・数学 一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年1月1日，湖南省全省接待游客777.99万人次．长沙作为全省的旅游核心，贡献了其中的主要客流．将数据777.99万用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从滑行到．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（ ）． A. B. C. D. 5. 把抛物线向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是上的三个点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 8. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到．若点恰好在线段的延长线上，且，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，下列说法正确的有（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其图象顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 函数中的自变量的取值范围_____． 12. 某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，如表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 移植数（棵） 成活数（棵） 成活频率 100 87 0.87 1000 893 0.893 5000 4485 0.897 8000 7224 0.903 10000 8983 0.8983 15000 13443 0.8962 20000 18044 0.9022 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是_____（结果精确到0.1）． 13. 已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心，若，则_____． 15. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 16. 2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1－12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为_____． （参考数据：） 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 如图，在中，为边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 某中学九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走50米到处再测得点的仰角为，已知、在同一条直线上． （1）求的度数； （2）求新教学楼的高度（结果保留根号）． 20. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题： （1）共有_____名学生参与了本次问卷调查； （2）“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_____度； （3）小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求面积． 22. 《疯狂动物城》票房大卖，周边玩偶热销．某商店将每件进价为元的毛绒公仔按每件元出售，一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种毛绒公仔单价每降低元，其销量可增加件． （1）若此商店经营该毛绒公仔一天要获利润元，则每件毛绒公仔应降价多少元？ （2）设后来该毛绒公仔每件降价元，此商店一天可获利润元．求出与之间的函数关系式，并求当取何值时，此商店获利润最大？ 23. 如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当四边形为菱形时，求的长； （3）当时，求的长． 24. 如图，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知分别为“果圆”与坐标轴的交点，与“果圆”中的抛物线交于两点． （1）如图1，求“果圆”中的抛物线的解析式； （2）如图2，在第一象限的半圆上一点，若是的角平分线时，求直线的解析式； （3）如图3，是线段上一点，在第三象限，，且，是第四象限的点且，连接，求的最小值． 25. 如图，点是的内心，点是的外心，的延长线与相交于点，与相交于点，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，的外接圆的半径为，内切圆的半径为，是否为定值，若是请求出这个定值，若不是请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $