6.2 数学建模——从自然走向理性之路-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

6.2　数学建模——从自然走向理性之路

一、数学建模的基本过程

二、实例说明如何建模

在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为15 s，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过十字路口？

【建立模型】

经过对相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的几个假设：

(1)通过路口的车辆长度都相等；

(2)等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；

(3)绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；

(4)前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；

(5)车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞.

将车辆长度记作l，车距记作d，经过实际调查，取l＝5 m，d＝2 m较为合理.

另据调查，一般的汽车按照十字路口的加速状态，10 s内可从静止加速到21 m/s，加速度记作a，计算可得a＝2.1 m/s2，为了简化，这里取a＝2 m/s2.汽车加速到最高限速后，便以这个最高限速行驶.

资料显示，城市十字路口的限速v*＝40 km/h≈11.1 m/s.

延时时间记作T，经观察，取T＝1 s较为合理，用tn

表示第n辆汽车开始启动的时间，则tn＝nT.用tn*表示第n辆车到达最高限速的时间，则汽车做匀加速运动的时间是

tn*－tn＝＝5.55 (s).

用Sn(t)表示时刻t第n辆汽车所在的位置，停车线位置记作0，则Sn(0)＝－(n－1)(l＋d).这样，实际问题就可以表述为数学问题：求满足Sn(15)＞0的n的最大值，其中

Sn(t)＝

【求解模型】

代入各个量的参数值，可以计算出绿灯亮至15 s时若干辆汽车的位置，如表：

由表可见，绿灯亮至15 s时，第7辆车已经驶过停车线16.0 m，而第8辆车还距停车线2.1 m，没有通过.因此，15 s的绿灯最多可以通过7辆汽车.

【检验结果】

到十字路口实地调查，对结论做检验.若没有明显误差，就可以使用这个模型.否则，再修改假设，重新建模.

[应用体验]