6.2 数学建模——从自然走向理性之路-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦数学建模核心知识点，通过伽利略研究自由落体运动引入建模问题，系统梳理数学建模的基本过程，结合十字路口绿灯通行车辆数量、蛋糕二等分两个实例，构建从理论到实践的学习支架。 该资料以真实情境实例为特色，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过假设、推理等数学思维构建模型，用函数、数据等数学语言表达求解过程。课中辅助教师直观教学，课后帮助学生巩固建模步骤，有效提升数学建模核心素养。

6.2　数学建模——从自然走向理性之路 学习目标 通过伽利略研究自由落体运动的过程的学习，了解如何提出数学建模问题，掌握数学建模的一般步骤，体会数学建模的思想方法，提升数学建模的核心素养. 一、数学建模的基本过程 二、实例说明如何建模 在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为15 s，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过十字路口？ 【建立模型】 经过对相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的几个假设： (1)通过路口的车辆长度都相等； (2)等待时，前后相邻两辆车的车距都相等； (3)绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动； (4)前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等； (5)车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞. 将车辆长度记作l，车距记作d，经过实际调查，取l＝5 m，d＝2 m较为合理. 另据调查，一般的汽车按照十字路口的加速状态，10 s内可从静止加速到21 m/s，加速度记作a，计算可得a＝2.1 m/s2，为了简化，这里取a＝2 m/s2.汽车加速到最高限速后，便以这个最高限速行驶. 资料显示，城市十字路口的限速v*＝40 km/h≈11.1 m/s. 延时时间记作T，经观察，取T＝1 s较为合理，用tn 学生用书⬇第156页 表示第n辆汽车开始启动的时间，则tn＝nT.用tn*表示第n辆车到达最高限速的时间，则汽车做匀加速运动的时间是 tn*－tn＝＝5.55 (s). 用Sn(t)表示时刻t第n辆汽车所在的位置，停车线位置记作0，则Sn(0)＝－(n－1)(l＋d).这样，实际问题就可以表述为数学问题：求满足Sn(15)＞0的n的最大值，其中 Sn(t)＝ 【求解模型】 代入各个量的参数值，可以计算出绿灯亮至15 s时若干辆汽车的位置，如表： 汽车序号 1 2 3 4 5 6 7 8 位置/m 124.6 106.5 88.4 70.3 52.2 34.1 16.0 －2.1 由表可见，绿灯亮至15 s时，第7辆车已经驶过停车线16.0 m，而第8辆车还距停车线2.1 m，没有通过.因此，15 s的绿灯最多可以通过7辆汽车. 【检验结果】 到十字路口实地调查，对结论做检验.若没有明显误差，就可以使用这个模型.否则，再修改假设，重新建模. [应用体验] 妹妹小英过生日，妈妈给她做了一块边界形状任意的蛋糕(如图所示)，哥哥小明也想吃，小英指着蛋糕上一点对哥哥说，你能过这一点切一刀，让切下的两块蛋糕面积相等，便把其中的一块送给你.如图1所示. 模型假设 (1)假设蛋糕是平放在桌面上的，即蛋糕表面与水平面是平行的. (2)假设蛋糕的质地均匀，即蛋糕密度相同，形状为不规则柱形. 模型建立　已知：平面上一条没有交叉点的封闭曲 线(无论什么形状).P是曲线所围成的图形上一点.(如图2) 求证：存在一条过P点的直线L，将这个图形的面积二等分. 模型求解　过P点任作一直线L，L将曲线所围图形分为两部分，其面积分别记为S1，S2.如果S1＝S2，则L即是所要找的直线.现在，我们考虑S1≠S2的情形： 不失一般性，设S1＞S2，首先，建立如图的坐标轴：x轴.设直线L与x轴的初始夹角为α0. 以点P为旋转中心，将直线L按逆时针方向旋转，则面积S1，S2就连续地依赖于角α的变化.即S1＝S1(α)，S2＝S2(α)都是关于α的连续函数. 令f(α)＝S1(α)－S2(α)，则函数f(α)是闭区间[α0，α0＋π]上的连续函数，并且f(α0)＝S1(α0)－S2(α0)＞0. f(α0＋π)＝S1(α0＋π)－S2(α0＋π)＝S2(α0)－S1(α0)＜0. 根据零点定理，存在一点c∈(α0，α0＋π)，使得f(c)＝S1(c)－S2(c)＝0， 即存在一点c∈(α0，α0＋π)使得S1(c)＝S2(c). 模型结论　通过上述几何问题的证明，我们得知： 对于蛋糕上的任意一个指定点，一定存在过这个指定点的一条直线L，使得沿L对切这块蛋糕能将这块蛋糕切成面积相等的两块. 模型评价　本模型只从理论上证明了二等分蛋糕的可行性.但是，怎样将一个蛋糕具体二等分，这个问题并没有解决. 学生用书⬇第157页 学科网（北京）股份有限公司 $