6.3 数学建模案例(一)：最佳视角-6.5 数学建模案例(三)：人数估计（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

6.3　数学建模案例(一)：最佳视角 　　　　　　　　　　　　　6.4　数学建模案例(二)：曼哈顿距离 6．5　数学建模案例(三)：人数估计 案例(一) [提出问题] 在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为15 s，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过十字路口？ [建立模型] 经过对相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的几个假设： (1)通过路口的车辆长度都相等； (2)等待时，前后相邻两辆车的车距都相等； (3)绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动； (4)前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等； (5)车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞． 将车辆长度记作l，车距记作d，经过实际调查，取l＝5 m，d＝2 m较为合理． 另据调查，一般的汽车按照十字路口的加速状态，10 s内可从静止加速到21 m/s，加速度记作a，计算可得a＝2.1 m/s2，为了简化，这里取a＝2 m/s2.汽车加速到最高限速后，便以这个最高限速行驶． 资料显示，城市十字路口的限速v*＝40 km/h～11.1 m/s. 延时时间记作T，经观察，取T＝1 s较为合理，用tn表示第n辆汽车开始启动的时间，则tn＝nT.用t表示第n辆车到达最高限速的时间，则汽车做匀加速运动的时间是t－tn＝＝5.55(s). 用Sn(t)表示时刻t第n辆汽车所在的位置，停车线位置记作0，则Sn(0)＝－(n－1)(l＋d).这样，实际问题就可以表述为数学问题：求满足Sn(15)>0的n的最大值，其中 Sn(t)＝ [求解模型] 代入各个量的参数值，可以计算出绿灯亮至15 s时若干辆汽车的位置，如表： 汽车序号 1 2 3 4 5 6 7 8 位置/m 124.6 106.5 88.4 70.3 52.2 34.1 16.0 －2.1 由表可见，绿灯亮至15 s时，第7辆车已经驶过停车线16.0 m，而第8辆车还距停车线2.1 m，没有通过．因此，15 s的绿灯最多可以通过7辆汽车． [检验结果] 到十字路口实地调查，对结论做检验．若没有明显误差，就可以使用这个模型．否则，再修改假设，重新建模． [课后作业] 到十字路口实地调查，对结论做检验．若没有明显误差，就可以使用这个模型．否则，再修改假设，重新建模． 案例(二) [提出问题] 卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国7岁以下女童身高(长)的中位数如下表所示(0岁指刚出生时)： 年龄/岁 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 身高/cm 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3 年龄/岁 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 身高/cm 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4 交流与讨论1： ①问题中涉及到两个量——年龄和身高，你能否用自己的语言描述这两个量之间的关系？ ②这两个量之间的关系是不是函数关系？为什么？ ③如果是函数关系，哪个是自变量？哪个是因变量？定义域和值域分别是什么？有什么性质？你能否写出一个函数解析式表示这个关系？ [分析问题、建立模型] 交流与讨论2： ①你认为怎样选择函数模型来刻画年龄和身高之间的变化关系？ 我们可以先画出它的图象，从直观上看看像什么函数． ②我们学过一些什么函数？ 预设答案：幂函数(包括一次函数、二次函数、反比例函数等)、指数函数、对数函数，还可能会答：分段函数． ③你觉得这个图象最像什么函数的图象？你能大概写出它的解析式吗？ 预设答案：幂函数、对数函数．教学中，结合函数图象变换，进一步引导学生写出函数解析式的待定形式：f1(x)＝axm/n＋b，f2(x)＝bloga(x＋1)＋c(a>1).还可引导学生思考：指数函数与这两个模型相比呢？ [确定参数，计算求解] 交流与讨论3： ①如果选择f1(x)＝axm/n＋b，你怎么确定指数m/n？怎么确定a和b？如果选择f2(x)＝bloga(x＋1)＋c(a>1)，你怎么确定底数a和系数b? ②请大家选择一个函数模型，各自选择适当的数据求出函数解析式． ③分别针对同一个函数模型的求解结果进行交流、对比，借助图象，凭直觉初步感知同一模型不同结果的优劣，以及不同模型刻画数据的优劣． [验证结果、改进模型] 因为我们在求函数解析式时，都只用到了部分已有数据，而其它数据一般不可能与所求出的解析式完全吻合，所以我们需要验证所建立的函数模型的优劣． 交流与讨论4： ①你认为怎么验证函数模型？(从上述两类函数模型中，选择大家认为拟合较好的两个函数f1(x)和f2(x)，列表、画图象，验证函数模型．) 预设答案