5.4 随机事件的独立性-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“随机事件的独立性”核心知识点，系统阐述事件独立的定义（P(A∩B)=P(A)P(B)）及性质（如A与非B独立），衔接古典概型与概率加法公式，构建概率计算的知识支架。 资料通过判断辨析、情境应用题（如甲乙获奖概率计算）设计，强化逻辑推理与数学运算核心素养。探究点结合摸球实验等案例引导概念理解，课中助力教师分层教学，课后通过对点练帮助学生巩固知识、弥补薄弱环节。

5.4　随机事件的独立性 学习目标 1.结合有限样本空间，理解事件相互独立的概念，培养和发展数学抽象核心素养. 2.结合古典概型，能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题，培养和发展逻辑推理和数学运算核心素养. 知识点　随机事件的独立性 1.设A，B为两个事件，若P(A∩B)＝P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立，简称为独立. 2.若事件A，B独立，则P(A∩B)＝P(A)P(B). 3.若事件A，B独立，则A与，与B，与也独立. [点拨]　如果三个事件A，B，C两两互斥，那么概率加法公式P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)成立.但当三个事件A，B，C两两独立时，等式P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)一般不成立. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立.(　　) (2)必然事件与任何一个事件相互独立.(　　) (3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立.(　　) (4)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×＋×＝，故选D. 3.甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为　　　. 答案：0.56 解析：由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56. 4.下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？ (1)1 000张有奖销售的奖券中某张奖券是一等奖与该张奖券是二等奖； (2)甲、乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙中奖； (3)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (4)容器内盛有5个白球和3个黄球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”. 解：(1)一张奖券不可能既是一等奖又是二等奖，即这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件. (2)由双色球的中奖规则可知，甲是否中奖对乙是否中奖没有影响，反之亦然，故它们是相互独立事件. (3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，反之亦然，所以它们是相互独立事件. (4)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若前一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件，也不是互斥事件. 学生用书⬇第146页 探究点一　相互独立事件的判断 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球.记事件A＝“第一次摸出球的标号小于3”，事件B＝“第二次摸出球的标号小于3”，事件C＝“摸出的两个球的标号之和为6”，事件D＝“摸出的两个球的标号之和不超过4”，则(　　) A.A与B相互独立 B.A与D相互独立 C.B与C相互独立 D.B与D相互独立 答案：C 解析：由题意可知，P(A)＝P(B)＝＝，P(C)＝＝，P(D)＝＝， P(AB)＝＝，P(BC)＝，P(AD)＝＝，P(BD)＝＝， 因为P(A)P(B)＝×＝≠P(AB)，所以A与B不相互独立，故选项A错误； 因为P(A)P(D)＝×＝≠P(AD)，所以A与D不相互独立，故选项B错误； 因为P(B)P(C)＝×＝＝P(BC)，所以B与C相互独立，故选项C正确； 因为P(B)P(D)＝×＝≠P(BD)，所以B与D不相互独立，故选项D错误. 故选C. 两种方法判断两事件是否具有独立性 1.定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响. 2.公式法：若对两件事A，B有P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B相互独立. 对点练1.掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　) A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥 C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥 答案：B 解析：事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}. 所以P(A)＝＝，P(B)＝＝， P(AB)＝＝×， 即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立.当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件. 对点练2.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件(　　) A.A1，A2，A3相互独立 B.A2，A3，A4相互独立 C.A1，A2，A3两两独立 D.A2，A3，A4两两独立 答案：C 解析：将一枚硬币独立地掷两次的样本空间为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}， A1＝{(正，正)，(正，反)}，A2＝{(正，正)，(反，正)}， A3＝{(正，反)，(反，正)}，A4＝{(正，正)}， A1A2＝{(正，正)}，A2A3＝{(反，正)}，A1A3＝{(正，反)}，A2A4＝{(正，正)}，A1A2A3＝⌀. 所以，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝， 且P(A1A2)＝，P(A2A3)＝，P(A1A3)＝，P(A2A4)＝，P(A1A2A3)＝0， 从而有： ①P(A1A2)＝P(A1)P(A2)， ②P(A2A3)＝P(A2)P(A3)， ③P(A1A3)＝P(A1)P(A3)， ④P(A1A2A3)≠P(A1)P(A2)P(A3)， ⑤P(A2A4)≠P(A2)P(A4). 故：A1，A2，A3两两独立但不相互独立；A2，A3，A4不两两独立更不相互独立，故选C. 探究点二　相互独立事件的概率计算 甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响. (1)求3人同时被选中的概率； (2)求3人中至少有1人被选中的概率； (3)求3人均未被选中的概率. 解：设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. (1)3人同时被选中的概率 P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝. (2)3人中有2人被选中的概率 P2＝P(AB∪AC∪BC) ＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC) ＝××＋××＋××＝. 3人中只有1人被选中的概率 P3＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝. 故3人中至少有1人被选中的概率为 P1＋P2＋P3＝＋＋＝. (3)方法一：三人均未被选中的概率 P＝P()＝××＝. 方法二：由(2)知， 三人至少有1人被选中的概率为， 所以三人均未被选中的概率：P＝1－＝. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤 1.首先确定各事件之间是相互独立的； 2.确定这些事件可以同时发生； 3.求出每个事件的概率，再求积. 对点练3.错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不影响，且各轮结果也互不影响. (1)若甲每轮做对的概率为，乙每轮做对的概率为.求“郴队”在两轮比赛中做对2题的概率； 学生用书⬇第147页 (2)若甲和乙第一轮做对的概率分别为，，第二轮做对的概率分别为，.求“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率. 解：(1)设“甲第i轮做对”为事件Ai，“乙第i轮做对”为事件Bi，i＝1，2， 已知P＝，P＝，且Ai与Bi相互独立，各轮之间也相互独立. “郴队”在两轮比赛中做对2题有三种情况： 情况一：甲做对2题，乙做对0题的概率为P1＝P＝PPPP＝. 情况二：甲做对0题，乙做对2题的概率为P2＝P＝PPPP＝. 情况三：甲做对1题，乙做对1题 甲做对1题的概率为P＋P＝PP＋PP＝， 乙做对1题的概率为P＋P＝PP＋PP＝， 所以甲做对1题，乙做对1题的概率为P3＝×＝. 因为这三种情况互斥，所以P(“郴队”在两轮比赛中做对2题) ＝＋＋＝. (2)设“甲第i轮做对”为事件Ai，“乙第i轮做对”为事件Bi，i＝1，2. 已知P＝，P＝，P＝，P＝，且各事件相互独立. “郴队”在两轮比赛中做对3题有两种情况： 情况一：甲做对2题，乙做对1题 甲做对2题的概率为P＝PP＝， 乙做对1题的概率为P＋P＝PP＋PP＝， 所以甲做对2题，乙做对1题的概率为×＝. 情况二：甲做对1题，乙做对2题 甲做对1题的概率为P＋P＝PP＋PP＝， 乙做对2题的概率为P2＝P＝P(B1)P(B2)＝， 所以甲做对1题，乙做对2题的概率为×＝. 由于这两种情况互斥，所以“郴队”在两轮比赛中做对3题的概率为＋＝. 探究点三　相互独立事件概率的综合应用 计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响. (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ (2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 解：(1)记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则 P(A)＝×＝， P(B)＝×＝， P(C)＝×＝. 因为P(C)＞P(B)＞P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大. (2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D， 由题易知三人是否获得合格证书相互独立，则 P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC) ＝××＋××＋××＝. 求较为复杂事件的概率的方法 1.列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示； 2.理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式； 3.根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算； 4.当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 对点练4.进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q(p＞q)，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. (1)求p和q的值； (2)试求两人共答对3道题的概率. 解：(1)设A＝{甲同学答对第一题}，B＝{乙同学答对第一题}，则P(A)＝p，P(B)＝q. 设C＝{甲、乙二人均答对第一题}，D＝{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}， 则C＝AB，D＝A＋B. 由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响， 所以A与B相互独立，AB互斥， 所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)， P(D)＝P(A＋B) ＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝P(A)(1－P(B))＋(1－P(A))P(B). 由题意可得 即 由于p＞q，所以p＝，q＝. (2)设Ai＝{甲同学答对了i道题}，Bi＝{乙同学答对了i道题}，i＝0，1，2. 由题意得，P(A1)＝×＋×＝， P(A2)＝×＝， P(B1)＝×＋×＝， P(B2)＝×＝. 设E＝{甲、乙二人共答对3道题}，则E＝A1B2＋A2B1. 由于Ai和Bi相互独立，A1B2与A2B1互斥，所以P(E)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝×＋×＝. 所以，两人共答对3道题的概率为. 学生用书⬇第148页 1.袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是(　　) A.互斥事件 B.相互独立事件 C.对立事件 D.不相互独立事件 答案：D 解析：根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件.故选D. 2.一台机床有的时间加工零件A，其余时间加工零件B.加工零件A时，停机的概率为，加工零件B时，停机的概率是，则这台机床停机的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：加工零件A停机的概率是×＝， 加工零件B停机的概率是×＝， 所以这台机床停机的概率是＋＝，故选A. 3.甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是　　　　. 答案： 解析：两个都不命中的概率为×＝，故至少有一人命中的概率是. 4.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. (1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率； (2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 解：(1)设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件Ai，“妻子在科目二考试中第i次通过”为事件Bi(i＝1，2，3，4，5)，则P(Ai)＝，P(Bi)＝. 设事件A＝“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件B＝“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件C＝“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”. 则P(A)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋×＝， P(B)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋×＝，P(C)＝P(AB)＝×＝. 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为. (2)设事件D＝“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件E＝“妻子参加科目二考试需交补考费200元”，事件F＝“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”，则P(D)＝P(A3)＝××＝，P(E)＝P(B3)＝××＝， P(F)＝P(AE＋DB)＝×＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $