课时分层评价30 直线与平面垂直的性质、距离及所成的角-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（湘教版）

课时分层评价30　直线与平面垂直的性质、距离及所成的角 (时间：60分钟　满分：90分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为A1B1∥EF，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离，即为A1到D1E的距离，易知D1E＝，所以所求距离为＝，故选D. 2.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法中正确的是(　　) A.MN∥平面ADD1A1 B.MN⊥AB C.直线MN与平面ABCD所成的角为45° D.异面直线MN与DD1所成的角为60° 答案：ABC 解析：如图，连接BD，A1D，由M，N分别为AC，A1B的中点知MN∥A1D.因为A1D⊂平面ADD1A1，MN⊄平面ADD1A1，所以MN∥平面ADD1A1，故A正确.易知AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，所以AB⊥A1D.又MN∥A1D，所以AB⊥MN，故B正确.易知MN与平面ABCD所成的角即为A1D与平面ABCD所成的角，为45°，故C正确.易知MN与DD1所成的角即为A1D与DD1所成的角，为45°，故D错误.故选ABC. 3.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，AA1＝，点D是侧棱BB1的中点，则直线C1D与平面ABC所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：如图，延长C1D与CB的延长线交于点E，因为CC1⊥平面ABC，所以C1D与平面ABC所成的角为∠CEC1，又AB＝1， AA1＝，点D是BB1的中点，所以CE＝2，C1E＝＝，在Rt△C1EC中，有cos∠CEC1＝＝＝，即C1D与平面ABC所成角的余弦值为.故选D. 4.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝1，则点C到平面ABC1的距离为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：如图，取AB的中点E，连接CE，C1E，过点C作CF⊥C1E，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，则AB⊥CC1，因为△ABC是等边三角形，所以AB⊥CE.又CE∩CC1＝C，所以AB⊥平面CC1E.因为CF⊂平面CC1E，所以CF⊥AB，又因为AB∩C1E＝E，所以CF⊥平面ABC1，则CF的长即为所求. 在Rt△CEC1中，CC1＝1，CE＝，AB＝1，所以C1E＝＝＝，由等面积法得CF＝＝. 5.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为3，D是侧面BB1C1C的两条对角线的交点，则直线AD与底面ABC所成角的正切值为(　　) A. B. C. D.1 答案：C 解析：如图，取BC的中点E，连接DE，AE，由题知D是BC1的中点，所以DE∥CC1，DE＝CC1＝.由题知CC1⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC. 易知AE是斜线AD在底面上的射影，所以∠DAE为直线AD与底面ABC所成的角.在正三角形ABC中，AE＝，所以直线AD与底面ABC所成角的正切值为＝＝.故选C. 6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是2，则点A1到直线BC1的距离为　　　　. 答案： 解析：如图，取B1C1的中点D，连接A1D，则A1D⊥B1C1， 由直三棱柱的结构特征可知，BB1⊥平面A1B1C1，A1D⊂平面A1B1C1， 所以BB1⊥A1D，又因为BB1∩B1C＝B1， 所以A1D⊥平面BB1C1C， 又BC1⊂平面BB1C1C， 则A1D⊥BC1， 过D作DF⊥BC1，垂足为F，连接A1F，A1D∩DF＝D，A1D，DF⊂平面A1DF， 所以BC1⊥平面A1DF， 又A1F⊂平面A1DF， 所以A1F⊥BC1，即A1F为点A1到直线BC1的距离， 在Rt△BB1C1中，由△C1B1B∽△C1FD，可得C1F＝DF＝C1D＝， 又A1D＝＝， 所以A1F＝＝＝. 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是边长为2的菱形，且∠ABC＝45°，PA＝AB，则直线AP与平面PBC所成角的正切值为　　　　. 答案： 解析：作AE⊥BC于点E，由题易知PA⊥BC，又AE∩PA＝A，则BC⊥平面PAE，可知点A在平面PBC上的投影在直线PE上，故∠APE为所求的角.AE＝ABsin 45°＝. 所以tan∠APE＝＝. 8.矩形ABCD和矩形CDEF有一条公共边CD，且ED⊥AD，AB＝2，BC＝，ED＝.则点B到平面AED的距离为　　　　，EF到平面ABCD的距离为　　　　. 答案：2　 解析：因为ABCD，CDEF为矩形， 所以ED⊥CD，CD∥AB，所以AB⊥ED， 又因为AB⊥AD，ED∩AD＝D， 所以AB⊥平面AED，所以BA即为所求距离， 因此点B到平面AED的距离为2. 因为ED⊥AD，AD∩CD＝D， 所以ED⊥平面ABCD， 所以E到平面ABCD的距离为. 因为EF∥平面ABCD， 所以EF到平面ABCD的距离也是. 9.(10分)如图，正方形ACDE的边长为2，AD与CE的交点为M，AE⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC. (1)求证：AM⊥平面EBC； (2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值. 解：(1)证明：因为AE⊥平面ABC，所以AE⊥BC. 又AC⊥BC，AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACDE， 所以BC⊥平面ACDE. 又AM⊂平面ACDE，所以BC⊥AM. 因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE. 又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC. (2)取AB的中点F，连接CF，EF(图略). 因为AE⊥平面ABC，CF⊂平面ABC，所以EA⊥CF. 又AC＝BC，所以CF⊥AB. 因为EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB， 所以∠CEF为直线EC与平面ABE所成的角. 在Rt△CFE中，分析知CF＝，FE＝， 所以tan∠CEF＝＝＝. 10.(10分)如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为☉O所在平面外一点，且PA垂直于☉O所在平面，PB与平面ABC所成的角为45°. (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)求点A到平面PBC的距离. 解：(1)证明：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC. 因为AB是☉O的直径，C为圆上一点，所以BC⊥AC. 又因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC. (2)如图，过点A作AD⊥PC于点D，因为BC⊥平面PAC，AD⊂平面PAC，所以BC⊥AD，又PC∩BC＝C， 所以AD⊥平面PBC，所以AD即为点A到平面PBC的距离.因为∠PBA为PB与平面ABC所成的角， 即∠PBA＝45°，所以PA＝AB＝2，由AC＝1，可得PC＝.因为AD·PC＝PA·AC，所以AD＝＝， 即点A到平面PBC的距离为. 11.(15分)如图所示，在棱长均为a的正三棱柱中，D为AB的中点，连接A1D，DC，A1C. (1)求证：BC1∥平面A1DC； (2)求BC1到平面A1DC的距离. 解：(1)证明：如图所示，连接AC1交A1C于E，连接DE，则DE∥BC1， 又DE⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC， 所以BC1∥平面A1DC. (2)由(1)知BC1∥平面A1DC， 所以BC1上任一点到平面A1DC的距离都等于BC1到平面A1DC的距离，所以求C1到平面A1DC的距离即可.因为平面A1DC过线段AC1的中点， 所以A到平面A1DC的距离等于C1到平面A1DC的距离.由题意知CD⊥AB，CD⊥AA1，AB∩AA1＝A， 所以CD⊥平面ABB1A1.过A作平面A1DC的垂线，垂足H在A1D上.在Rt△A1AD中，A1A·AD＝A1D·AH，解得AH＝a，即BC1到平面A1DC的距离为a. 12.(15分)如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点. (1)证明：CE∥平面PAB； (2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 解：(1)证明：如图，设PA的中点为F，连接EF，FB. 因为E，F分别为PD，PA的中点， 所以EF∥AD且EF＝AD， 又因为BC∥AD，BC＝AD， 所以EF∥BC且EF＝BC， 即四边形BCEF为平行四边形， 所以CE∥BF， 又CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB， 所以CE∥平面PAB. (2)分别取BC，AD的中点为M，N.连接PN交EF于点Q，连接MQ. 因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点， 所以Q为EF的中点， 在平行四边形BCEF中，MQ∥CE. 由△PAD为等腰直角三角形，得PN⊥AD. 由DC⊥AD，N是AD的中点，得BN⊥AD. 因为PN∩BN＝N，PN，BN⊂平面PBN， 所以AD⊥平面PBN， 由BC∥AD得BC⊥平面PBN， 又BC⊂平面PBC， 所以平面PBC⊥平面PBN. 过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH. 则MH是MQ在平面PBC上的射影， 所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角. 设CD＝1， 在△PCD中，由PC＝2，CD＝1，PD＝，得CE＝， 在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝，得QH＝， 在Rt△MQH中，QH＝，MQ＝CE＝， 所以sin∠QMH＝， 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是. 学科网（北京）股份有限公司 $