4.3.2 第2课时 直线与平面垂直的判定-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦“直线与平面垂直的判定”，系统梳理定义、判定定理及应用，通过复习线面位置关系导入，衔接线线垂直旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以合作探究和变式训练为主线，结合日晷等现实情境题，培养逻辑推理与直观想象素养。典例分析与分层练习助力学生深化理解，教师可依托资料提升教学效率，促进学生空间观念形成。

4.3.2　空间中直线与平面的位置关系 第2课时　直线与平面垂直的判定 　 第4章　4.3　直线与直线、直线与平面的位置关系 学习目标 1.了解直线与平面垂直的定义. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用判定定理判定线面垂直，发展数学抽象、逻辑推理和直观想象核心素养. 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点一　直线与平面垂直 1.定义：如果直线l与平面α相交，并且与平面α内的 ______直线都垂直，那么就称直线l与平面α垂直，记 作_______. 2.概念 知识梳理 垂线 直线l叫作平面α的垂线 垂面 平面α叫作直线l的垂面 垂足 直线与平面的交点 3.性质：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 所有 l⊥α 点拨　定义中的“所有直线”与“任意一条直线”是同义语，不同于“无数条直线”，定义的实质就是直线和平面内所有直线都垂直，另外根据线面垂直的定义知道如果直线与平面垂直，那么该直线一定垂直于平面内的任意一条直线，符号语言：l⊥α，a⊂α⇒l⊥a. 知识点二　直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的__________直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，______＝P⇒l⊥α 图形语言   点拨　若一条直线与一个平面内的两条不相交的直线都垂直，则该直线与平面不一定垂直. 两条相交 a∩b 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直. (　　) (2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线一定不与这个平面垂直. (　　) (3)如果一条直线与平面的垂线垂直，则该直线与这个平面平行. (　　) 自主检测 × √ × 2.已知平面α及α外一条直线l，给出下列说法： ①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α； ②若l垂直于α内所有直线，则l⊥α； ③若l垂直于α内任意一条直线，则l⊥α； ④若l垂直于α内两条平行直线，则l⊥α. 其中正确说法的个数是  A.0 B.1 C.2 D.3 √ 根据直线与平面垂直的定义可知，②③正确，①④不正确. 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为_______. 4 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.同理得CD⊥PD. 故共有4个直角三角形. 4.有下列四种说法，正确的序号是______. ①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③a，b，l表示三条不同的直线，α表示平面，若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α；④若直线a不平行于平面α，则直线a垂直于平面α. ① ①正确；对于②，若直线n⊂α，也可满足m⊥n，m⊥α，此时n∥α不正确；对于③，注意a，b需相交；④显然错误，因为不平行即相交，而垂直只是相交的一种特殊情况，故只有①正确. 返回 合作探究 返回 探究点一　直线与平面垂直定义的理解 (多选)下列四个命题中，其中正确的是 A.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行 B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条 典例 1 √ √ l与平面α内的所有直线都垂直，所以A不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以B不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以C正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以D正确.故选CD. 直线与平面垂直定义的理解 1.直线与平面垂直要求直线与平面内的任一直线都垂直； 2.“任一直线”与“所有直线”表示相同的含义.但“任一直线”与“无数条直线”含义不一样. 规律方法 对点练1.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是__________.(填序号) ①③④ 根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件. 探究点二　直线与平面垂直的判定 如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F. (1)求证：PC⊥平面AEF； 证明：因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以PA⊥BC. 又AB⊥BC，PA∩AB＝A， 所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB， 所以AE⊥BC. 又AE⊥PB，PB∩BC＝B， 所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， 所以AE⊥PC. 又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A， 所以PC⊥平面AEF. 典例 2 (2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD. 证明：由(1)知，PC⊥平面AEF， 又AG⊂平面AEF， 所以PC⊥AG， 同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD， 所以CD⊥AG. 又PC∩CD＝C， 所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD. 所以AG⊥PD. 线线垂直和线面垂直的相互转化 规律方法 对点练2.(变条件)在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH. 证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以BD⊥AC. 又PA⊥平面ABCD， BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥PA. 因为PA∩AC＝A， 所以BD⊥平面PAC， 又FH⊂平面PAC， 所以BD⊥FH. 对点练3.(变条件)若本例中PA＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG. 证明：因为PA⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD， 所以DC⊥PA， 又因为ABCD是矩形， 所以DC⊥AD. 又PA∩AD＝A， 所以DC⊥平面PAD. 又AG⊂平面PAD， 所以AG⊥DC. 因为PA＝AD，G是PD的中点， 所以AG⊥PD. 又DC∩PD＝D， 所以AG⊥平面PCD. 所以PC⊥AG. 又因为PC⊥AF，AG∩AF＝A， 所以PC⊥平面AFG. 对点练4.(变条件)将本例中的条件“AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F”，改为“E，F分别是AB，PC的中点，PA＝AD”，其他条件不变，求证：EF⊥平面PCD. 证明：取PD的中点G，连接AG，FG(图略). 因为G，F分别是PD，PC的中点， 所以GF CD，又AE CD， 所以GF AE. 所以四边形AEFG是平行四边形. 所以AG∥EF. 因为PA＝AD，G是PD的中点， 所以AG⊥PD， 所以EF⊥PD， 易知CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD， 所以CD⊥AG，所以EF⊥CD. 因为PD∩CD＝D， 所以EF⊥平面PCD. 返回 随堂评价 返回 1.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是 A.若l⊥α，l∥m，则m⊥α B.若l∥α，m⊂α，则l∥m C.若l⊥m，m⊂α，则l⊥α D.若l∥α，m∥α，则l∥m √ 易知A正确.对于B，l与m可能异面，也可能平行.对于C，当l与α内两条相交直线垂直时，才能判定l⊥α.对于D，l与m可能平行、异面或相交. 2.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是 A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 √ 因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥菱形ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.故选C. 3.如图，将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于 A.150° B.135° C.90° D.60° √ 依题意可知AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，所以AD⊥平面α， 所以折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于90°. 故选C. 4.如图，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. (1)求证：AN⊥平面PBM； 证明：因为AB为☉O的直径， 所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM. 又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM. (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 证明：由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，所以PB⊥NQ. 返回 课时分层 返回 1.如图，AB是☉O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC的四个面中，直角三角形的个数有 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为AB是☉O的直径，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC， 所以三角形ABC是直角三角形.又因为PA⊥平面ABC，所 以△PAC，△PAB是直角三角形，且BC在这个平面内，所 以PA⊥BC，因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，所 以BC⊥平面PAC，所以△PBC是直角三角形.从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC都是直角三角形，共4个.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.若l， m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 已知直线l⊥平面α， 当“m∥α”为真时，过m作平面β，使与α交于直线n，根据线面平行的性质定理得m∥n， 因为l⊥α，n⊂α，所以l⊥n， 又因为m∥n，所以m⊥l， 所以“m∥α”是“m⊥l”的充分条件， 但由直线l⊥平面α，且m⊥l不能得出m∥α，可能m⊂α， 所以“m∥α”不是“m⊥l”的必要条件， 即“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.如图，PA垂直于☉O所在的平面，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影.给出下列结论：①AF⊥PB； ②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥BC. 其中正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为AB是☉O的直径，所以AC⊥BC.因为PA垂直于☉O所 在的平面，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，又因为AC ∩AP＝A，AC，AP⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，所以 BC⊥AF，③正确.又因为AF⊥PC，BC∩PC＝C，所以AF ⊥平面PBC，所以AF⊥PB，①正确.又因为AE⊥PB，AF ∩AE＝A，所以PB⊥平面AEF，所以EF⊥PB，②正确.若AE⊥BC，则由AE⊥PB，PB∩BC＝B，得AE⊥平面PBC，此时E，F重合，与已知矛盾，所以④错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为 A.20° B.40° C.50° D.90° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 可设A所在的纬线圈的圆心为O'，OO'垂直于纬线所在的圆面， 由图可得∠OHA为晷针与点A处的水平面所成的角， 又∠OAO'＝40°且OA⊥AH， 在Rt△OHA中，O'A⊥OH， 所以∠OHA＝∠OAO'＝40°， 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是 √ √ 对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC(图略)，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则AD1与B1E的关系为 A.AD1⊥B1E B.AD1∥B1E C.AD1与B1E共面 D.以上都不对 √ 如图，连接A1D.由正方形的性质，知AD1⊥A1D.因为在长 方体ABCD-A1B1C1D1中，B1A1⊥平面AA1D1D.又AD1⊂平面 AA1D1D，所以B1A1⊥AD1.因为A1D∩B1A1＝A1，所以AD1 ⊥平面A1B1ED.又B1E⊂平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.如图所示，PA⊥平面ABC，M，N分别为PC，AB的中点，使得MN⊥AC的一个条件为__________. AC⊥BC 如图，取AC的中点Q，连接MQ，NQ， 则MQ∥AP，NQ∥BC. 由已知条件，得MQ⊥AC，若AC⊥BC， 则NQ⊥AC，又因为MQ∩NQ＝Q，所以AC⊥平面MNQ，所以AC⊥MN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB，E为棱BC上的动点，若PE＋DE的最小值为2，则PB＝______. 4 因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB， 因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，故BC⊥PA， 又AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，则BC⊥平面PAB，则BC⊥PB， 将△PCB沿棱BC翻折至与底面ABCD共面，点P翻折至P'处，如图所示： 设AB＝x，则PB＝2x， 当P'，D，E三点共线时，PE＋DE取得最小值， 故＝2， 解得x＝2，则PB＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE； 证明：在四棱锥P-ABCD中， 因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥CD.又因为AC⊥CD，且PA∩AC＝A， 所以CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC， 所以CD⊥AE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)PD⊥平面ABE. 证明：由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. 因为E是PC的中点，所以AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， 所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD. 因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB. 又因为AB⊥AD，且PA∩AD＝A， 所以AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(10分)在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点. (1)求证：BM∥平面PAD； 证明：如图，取PD的中点E，连接EM，AE， 所以EM∥CD，EM＝CD，而AB∥CD，AB＝CD， 所以EM AB， 所以四边形ABME是平行四边形，所以BM∥AE， 因为AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD， 所以BM∥平面PAD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由. 解：因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥AB，而AB⊥AD，PA∩AD＝A， 所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD， 因为PA＝AD，E是PD的中点， 所以PD⊥AE，又因为AB∩AE＝A， 所以PD⊥平面ABME， 作MN⊥BE，交AE于点N，所以MN⊥PD，又PD∩BE＝E，PD，BE⊂平面PBD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以MN⊥平面PBD， 由题意知△BME∽△MEN，而BM＝AE＝，EM＝CD＝1， 由＝，得EN＝＝＝， 所以AN＝，即点N为AE的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(5分)如图所示，△ABC是等腰三角形，BA＝BC，DC⊥平面ABC，AE∥DC，若AC＝2，且BE⊥AD，则 A.AB·BC＝1 B.AB·BC＝2 C.AE·CD＝1 D.AE·CD＝2 √ 取AC的中点O，连接OB，OE，OE交AD于点F，则OB⊥AC. 因为DC⊥平面ABC，OB⊂平面ABC， 所以DC⊥OB， 因为DC∩AC＝C，DC⊂平面ADC，AC⊂平面ADC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以OB⊥平面ADC， 因为AD⊂平面ADC，所以OB⊥AD，因为BE⊥AD，OB∩BE＝B，OB⊂平面BOE，BE⊂平面BOE， 所以AD⊥平面BOE， 因为OE⊂平面BOE，所以AD⊥OE， 因为AE∥DC，所以∠DAE＝∠ADC， 又∠AFE＝∠ACD＝90°，所以∠AEO＝∠CAD， 所以△AEF∽△DAC∽△OAF， 所以＝＝， 所以＝，所以AE·CD＝2，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(15分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1， ∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点. (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B； 证明：因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，又D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1，因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，所以C1D⊥平面AA1B1B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？ 并证明你的结论. 证明：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F， 则AB1⊥平面C1DF，点F为所求，此时F为BB1的中点. 由(1)知C1D⊥平面AA1B1B， AB1⊂平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1，又AB1⊥ DF，DF∩C1D＝D，所以AB1⊥平面C1DF. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 第2课时　直线与平面垂直的判定 返回 $