课时分层评价29 直线与平面垂直的判定-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（湘教版）

课时分层评价29　直线与平面垂直的判定 (时间：40分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.如图，AB是☉O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体P􀆼ABC的四个面中，直角三角形的个数有(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：A 解析：因为AB是☉O的直径，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC，所以三角形ABC是直角三角形.又因为PA⊥平面ABC，所以△PAC，△PAB是直角三角形，且BC在这个平面内，所以PA⊥BC，因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，所以BC⊥平面PAC，所以△PBC是直角三角形.从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC都是直角三角形，共4个.故选A. 2.若l， m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：已知直线l⊥平面α， 当“m∥α”为真时，过m作平面β，使与α交于直线n，根据线面平行的性质定理得m∥n， 因为l⊥α，n⊂α，所以l⊥n， 又因为m∥n，所以m⊥l， 所以“m∥α”是“m⊥l”的充分条件， 但由直线l⊥平面α，且m⊥l不能得出m∥α，可能m⊂α， 所以“m∥α”不是“m⊥l”的必要条件， 即“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件. 故选A. 3.如图，PA垂直于☉O所在的平面，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影.给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥BC. 其中正确的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：因为AB是☉O的直径，所以AC⊥BC.因为PA垂直于☉O所在的平面，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，又因为AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AF，③正确.又因为AF⊥PC，BC∩PC＝C，所以AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，①正确.又因为AE⊥PB，AF∩AE＝A，所以PB⊥平面AEF，所以EF⊥PB，②正确.若AE⊥BC，则由AE⊥PB，PB∩BC＝B，得AE⊥平面PBC，此时E，F重合，与已知矛盾，所以④错误.故选C. 4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为(　　) A.20° B.40° C.50° D.90° 答案：B 解析：可设A所在的纬线圈的圆心为O'，OO'垂直于纬线所在的圆面， 由图可得∠OHA为晷针与点A处的水平面所成的角， 又∠OAO'＝40°且OA⊥AH， 在Rt△OHA中，O'A⊥OH， 所以∠OHA＝∠OAO'＝40°， 故选B. 5.(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) 答案：BD 解析：对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC(图略)，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE.故选BD. 6.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则AD1与B1E的关系为(　　) A.AD1⊥B1E B.AD1∥B1E C.AD1与B1E共面 D.以上都不对 答案：A 解析：如图，连接A1D.由正方形的性质，知AD1⊥A1D.因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1A1⊥平面AA1D1D.又AD1⊂平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1.因为A1D∩B1A1＝A1，所以AD1⊥平面A1B1ED.又B1E⊂平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E.故选A. 7.如图所示，PA⊥平面ABC，M，N分别为PC，AB的中点，使得MN⊥AC的一个条件为　　　　. 答案：AC⊥BC 解析：如图，取AC的中点Q，连接MQ，NQ， 则MQ∥AP，NQ∥BC. 由已知条件，得MQ⊥AC，若AC⊥BC， 则NQ⊥AC，又因为MQ∩NQ＝Q，所以AC⊥平面MNQ，所以AC⊥MN. 8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB，E为棱BC上的动点，若PE＋DE的最小值为2，则PB＝　　　　. 答案：4 解析：因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB， 因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，故BC⊥PA， 又AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，则BC⊥平面PAB，则BC⊥PB， 将△PCB沿棱BC翻折至与底面ABCD共面，点P翻折至P'处，如图所示： 设AB＝x，则PB＝2x， 当P'，D，E三点共线时，PE＋DE取得最小值， 故＝2， 解得x＝2，则PB＝4. 9.(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE. 证明：(1)在四棱锥P-ABCD中， 因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥CD.又因为AC⊥CD，且PA∩AC＝A， 所以CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC， 所以CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. 因为E是PC的中点，所以AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， 所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB. 又因为AB⊥AD，且PA∩AD＝A， 所以AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE. 10.(10分)在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点. (1)求证：BM∥平面PAD； (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由. 解：(1)证明：如图，取PD的中点E，连接EM，AE， 所以EM∥CD，EM＝CD，而AB∥CD，AB＝CD， 所以EM∥AB， 所以四边形ABME是平行四边形，所以BM∥AE， 因为AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD， 所以BM∥平面PAD. (2)因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥AB，而AB⊥AD，PA∩AD＝A， 所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD， 因为PA＝AD，E是PD的中点， 所以PD⊥AE，又因为AB∩AE＝A， 所以PD⊥平面ABME， 作MN⊥BE，交AE于点N，所以MN⊥PD，又PD∩BE＝E，PD，BE⊂平面PBD， 所以MN⊥平面PBD， 由题意知△BME∽△MEN，而BM＝AE＝，EM＝CD＝1， 由＝，得EN＝＝＝， 所以AN＝，即点N为AE的中点. 11.(5分)如图所示，△ABC是等腰三角形，BA＝BC，DC⊥平面ABC，AE∥DC，若AC＝2，且BE⊥AD，则(　　) A.AB·BC＝1 B.AB·BC＝2 C.AE·CD＝1 D.AE·CD＝2 答案：D 解析：取AC的中点O，连接OB，OE，OE交AD于点F，则OB⊥AC. 因为DC⊥平面ABC，OB⊂平面ABC， 所以DC⊥OB， 因为DC∩AC＝C，DC⊂平面ADC，AC⊂平面ADC， 所以OB⊥平面ADC， 因为AD⊂平面ADC，所以OB⊥AD，因为BE⊥AD，OB∩BE＝B，OB⊂平面BOE，BE⊂平面BOE， 所以AD⊥平面BOE， 因为OE⊂平面BOE，所以AD⊥OE， 因为AE∥DC，所以∠DAE＝∠ADC， 又∠AFE＝∠ACD＝90°，所以∠AEO＝∠CAD， 所以△AEF∽△DAC∽△OAF， 所以＝＝， 所以＝，所以AE·CD＝2，故选D. 12.(15分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点. (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B； (2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论. 证明：(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，又D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1，因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，所以C1D⊥平面AA1B1B. (2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求，此时F为BB1的中点. 由(1)知C1D⊥平面AA1B1B， AB1⊂平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1，又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，所以AB1⊥平面C1DF. 学科网（北京）股份有限公司 $