4.3.2 第1课时 直线与平面平行-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦空间中直线与平面的位置关系，系统梳理直线在平面内、相交、平行三种位置关系的定义及表示，进而深入探究直线与平面平行的判定定理（线线平行推线面平行）和性质定理（线面平行推线线平行），构建从概念到应用的学习支架。 该资料通过图形、符号、文字三种语言融合呈现，设计判断、选择、证明等分层题型，如四棱锥中证明MN∥平面PAD，培养学生数学抽象、直观想象与逻辑推理素养。课中辅助教师系统授课，课后学生可通过对点练及解析巩固知识，有效查漏补缺。

4.3.2　空间中直线与平面的位置关系 第1课时　直线与平面平行 学习目标 1.了解空间中直线与平面的三种位置关系及三种语言表示，理解直线与平面平行的定义与判定定理，提升数学抽象与直观想象核心素养. 2.能利用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行，能利用直线与平面平行的性质定理解决相关的问题，提升逻辑推理核心素养. 知识点一　直线与平面的位置关系 位置关系 图形 写法 公共点情况 直线在平面内 a⊂α 直线上所有的点都是公共点 直线和平面相交 a∩α＝A 有且只有一个公共点 直线和平面平行 a∥α 没有公共点 [点拨]　一般地，直线a在平面α内，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平面α相交，应画成直线a与平面α有且只有一个公共点，被平面α遮住的部分画成虚线或不画；直线a与平面α平行，应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面α的平行四边形外.注意：直接和平面相交与直线和平面平行称为直线在平面外. 学生用书⬇第102页 知识点二　直线与平面平行 位置 关系 定理 符号表示 图形表示 直线与平面平行 判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒a∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 ⇒a∥b [点拨]　直线与平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，有如下示意图： 线线平行线面平行线线平行 所以线线平行是关键，证明线线平行的主要方法有：①中位线定理，②平行四边形的对边平行，③平行线分线段成比例，④线面平行的性质定理，⑤基本事实4. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(　　) (2)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.(　　) (3)若一条直线和两个相交平面都平行，则该直线平行于相交平面的交线.(　　) (4)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.直线a∥b，b⊂α，则a与α的位置关系是(　　) A.a∥α B.a与α相交 C.a与α不相交 D.a⊂α 答案：C 解析：当直线a∥b，b⊂α时，直线a与平面α的位置关系有可能是a∥α或a⊂α，不可能相交. 3.如图，四棱锥P􀆼ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(　　) A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能 答案：B 解析：因为MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，所以MN∥PA，故选B. 4.若在四棱锥S􀆼ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上的一点，当点E满足条件　　　　时，SC∥平面EBD. 答案：SE＝EA 解析：当E为SA的中点时，连接AC， 设AC与BD的交点为O，连接EO. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以点O是AC的中点. 又E是SA的中点， 所以OE是△SAC的中位线. 所以OE∥SC. 因为SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD， 所以SC∥平面EBD. 探究点一　空间中直线与平面位置关系的判断 (多选)下列命题错误的是(　　) A.直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α B.若直线a在平面α外，则a∥α C.若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α D.若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线 答案：ABC 解析：因为直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以A是假命题. 因为直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以B是假命题. 因为直线a∥b，b⊂α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于α，所以C是假命题. 因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，所以D是真命题. 直线与平面位置关系的判断 1.空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决.另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法. 2.要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点. 学生用书⬇第103页 对点练1.下面说法中正确的个数是(　　) ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行； ③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α. A.0 B.1 C.2 D.3 答案：B 解析：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥BB1，AA1在过BB1的平面ABB1A1内，故①不正确；AA1∥平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，但AA1不平行于BC，故②不正确；③中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确.故选B. 探究点二　直线与平面平行的判定 如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点. 求证：MN∥平面PAD. 证明：如图，取PD的中点G，连接GA，GN. 因为G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点， 所以GN∥DC，GN＝DC. 因为M为平行四边形ABCD的边AB的中点， 所以AM＝DC，AM∥DC， 所以AM∥GN，AM＝GN， 所以四边形AMNG为平行四边形， 所以MN∥AG. 又因为MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD， 所以MN∥平面PAD. 应用判定定理证明线面平行的步骤 对点练2.如图，已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE. 证明：作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图所示， 则PM∥QN， ＝， ＝. 因为EA＝BD，AP＝DQ，所以EP＝BQ. 又AB＝CD，所以PM∥QN， 所以四边形PMNQ是平行四边形，所以PQ∥MN. 又PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，所以PQ∥平面CBE. 探究点三　直线与平面平行的性质定理的应用 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH. 证明：如图，连接AC交BD于点O，连接MO. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以点O是AC的中点. 又因为点M是PC的中点， 所以AP∥OM. 又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM， 所以AP∥平面BDM. 因为平面PAHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面PAHG， 所以AP∥GH. 应用线面平行的性质定理解题的步骤 对点练3.如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，E是PB的中点，过A，D，E的平面α与平面PBC的交线为l. 证明：l∥平面PAD. 证明：因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以AD∥平面PBC， 又平面α与平面PBC的交线为l，且AD⊂平面α， 所以AD∥l， 又l⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 故l∥平面PAD. 学生用书⬇第104页 探究点四　直线与平面平行的判定、性质定理的综合应用 如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l. 求证：直线l∥平面PAC. 证明：因为E，F分别是PA，PC的中点， 所以EF∥AC. 又因为EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l， 所以EF∥l. 因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC， 所以l∥平面PAC. 　　利用线面平行的判定定理和性质定理，可以完成线线平行与线面平行的相互转化.转化思想是一种重要的数学思想.该转化过程可概括为 对点练4.如图，在正四棱锥P-ABCD中，若G为三角形PAC的重心，在边BC上是否存在点E，使得GE∥平面PAB，若存在，求BE∶EC的值，若不存在，请说明理由. 解：存在这样的点E，使得GE∥平面PAB， 如图，连接CG并延长交PA于点F，连接BF， 因为GE∥平面PAB，平面BCF∩平面PAB＝BF，GE⊂平面BCF， 所以GE∥BF， 因为G为三角形PAC的重心，所以GF＝CG. 所以BE＝EC，所以＝. 1.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点.在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM⊄平面PCD，且OM⊄平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC均相交. 2.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论： ①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④直线CE与直线BF异面. 其中正确的结论个数为(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：C 解析：画出几何体的图形，如图， 由题意可知，EF∥AD∥BC， 所以直线BE与直线CF共面，直线CE与直线BF共面，①④不正确， 又BE∩平面ADP＝E，AF⊂平面PAD，E∉AF， 所以直线BE与直线AF异面，②正确. 因为EF∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以直线EF∥平面PBC， 所以③正确.故选C. 3.已知m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个：　　　　. 答案：①②⇒③(或①③⇒②) 解析：若m∥n，m∥α，则n∥α.同样，若m∥n，n∥α，则m∥α. 4.如图，四边形ABCD，ADEF都是正方形，M∈BD，N∈AE，且BM＝AN.求证：MN∥平面CED. 证明：方法一：连接AM，并延长交CD于点G，连接GE. 因为AB∥CD，所以＝，所以＝，即＝. 因为BD＝AE且AN＝BM，所以＝， 所以MN∥EG. 又因为EG⊂平面CED，MN⊄平面CED， 所以MN∥平面CED. 方法二：如图，过点M在平面ABCD中作MS∥AD交CD于点S，过点N在平面ADEF中作NT∥AD交DE于点T，连接ST， 所以MS∥BC，则＝. 因为BM＝AN，BD＝AE， 所以BD－BM＝AE－AN，即DM＝EN. 所以＝. 又因为NT∥AD，所以＝，所以＝. 又因为AD＝BC，所以MS＝NT. 又因为MS∥AD，NT∥AD，所以MS∥NT， 所以四边形MSTN为平行四边形，所以MN∥ST. 又因为MN⊄平面CED，ST⊂平面CED， 所以MN∥平面CED. 学科网（北京）股份有限公司 $