31 课时精练(二十八) 直线与平面平行-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(二十八)　直线与平面平行 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E＝EF＝FG＝GC1．则下列直线与平面A1BD平行的是(　　) A．CE B．CF C．CG D．CC1 B　[如图，连接AC，交BD于点O，连接A1O，CF，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于A1F＝AC，OC＝AC，所以A1F綊OC，即四边形A1OCF为平行四边形，所以A1O綊CF．又A1O平面A1BD，CF平面A1BD，所以CF∥平面A1BD．故选B．] 2．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则(　　) A．MF∥NE B．四边形MNEF为梯形 C．四边形MNEF为平行四边形 D．A1B1∥NE B　[在AA1B1B中，∵AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM∥BN，且AM＝BN，∴四边形ABNM为平行四边形，∴MN＝AB，MN∥AB．又∵MN平面ABC，AB平面ABC，∴MN∥平面ABC．又∵MN平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB．又∵在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．] 3．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　) A．GH∥SA B．GH∥SD C．GH∥SC D．以上均有可能 B　[因为GH∥平面SCD，GH平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行．故选B．] 4．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为(　　) A． B． C．1 D． A　[如图，连接AD1，AB1． ∵PQ∥平面AA1B1B， 平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ平面AB1D1， ∴PQ∥AB1． 又点P是面AA1D1D的中心， ∴PQ＝AB1＝＝．故选A．] 5．(多选)如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB，AD的中点，G、H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，则(　　) A．BD∥平面EGHF B．FH∥平面ABC C．AC∥平面EGHF D．直线GE，HF，AC交于一点 AD　[因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD． 又E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD且EF＝BD，则EF∥GH． 易知BD∥平面EGHF，FH与AC为相交直线，即A正确，B，C错误． 因为EGHF为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M． 所以EG平面ABC，FH平面ACD，则M是平面ABC与平面ACD的一个交点． 所以M∈AC，即直线GE，HF，AC交于一点，即D正确． 故选AD．] 6．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下面三个条件：①a∥γ，bβ；②a∥γ，b∥β；③aγ，b∥β． 命题“α∩β＝a，bγ，且________，则a∥b”是真命题．(在横线处填写条件) 解析：　①中a∥γ，bβ，γ∩β＝b，得出a∥b；③中aγ，b∥β，bγ，α∩β＝a，β∩γ＝a，得出a∥b． 答案：　①或③ 7．如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是________．(填序号) 解析：　如图①，连接A1B1． 在正方体中，知AB∥A1B1． 又因为N，Q分别为所在棱的中点，所以NQ∥A1B1，所以AB∥NQ， 因为AB平面MNQ，NQ平面MNQ，所以AB∥平面MNQ． 如图②，连接A1B1， 在正方体中，AB∥A1B1，又因为M，Q分别为所在棱的中点， 所以MQ∥A1B1，所以AB∥MQ，因为AB平面MNQ，MQ平面MNQ， 因此AB∥平面MNQ． 如图③，连接A1B1． 在正方体中，AB∥A1B1． 又因为M，Q分别为所在棱的中点，所以MQ∥A1B1，所以AB∥MQ， 因为AB平面MNQ，MQ平面MNQ， 所以AB∥平面MNQ． 如图④，连接A1B，取A1B的中点O，连接OQ． 因为O，Q分别为A1B和AA1的中点，所以OQ∥AB，又OQ∩平面MNQ＝Q，所以AB与平面MNQ不平行． 答案：　①②③ 8．如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面A′B′C′D′(含边界)上运动．请补充一个恰当条件，当点G满足__________________条件时，有BC′∥平面EFG． 解析：　当G在B′C′的中点与C′D′中点的连线上时，有BC′∥平面EFG． 证明如下：设B′C′的中点为M，C′D′的中点为N， 连接NF， 易得EF∥BD，B′D′∥MN，又BD∥B′D′，则EF∥MN， 因为BF＝C′N，BF∥C′N，则四边形BFNC′为平行四边形， 所以NF∥BC′，而NF平面EFMN，BC′平面EFMN， 所以BC′∥平面EFMN， 当G在B′C′的中点与C′D′中点的连线上时，平面EFG与平面EFMN重合， 故BC′∥平面EFG． 答案：　G点在B′C′的中点与C′D′中点的连线上 9．如图，在空间四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，AD上的点．若＝，P为线段CD上的一点(P与C，D不重合)，过M，N，P的平面与直线BC交于点Q，求证：BD∥PQ． 证明：　∵＝，∴MN∥BD． ∵BD平面MNPQ，MN平面MNPQ， ∴BD∥平面MNPQ． 又∵BD平面BCD，平面MNPQ∩平面BCD＝PQ， ∴BD∥PQ． 10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点． (1)求证：QN∥平面PAD； (2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明． 解析：　(1)证明：因为Q，N分别为PC，PB的中点， 所以QN∥BC， 因为底面ABCD是菱形，所以BC∥AD， 所以QN∥AD， 因为QN平面PAD，AD平面PAD， 所以QN∥平面PAD． (2)直线l与平面PBD平行． 证明如下：因为N，M分别为PB，PD的中点，所以MN∥BD， 又BD平面ABCD，MN平面ABCD，所以MN∥平面ABCD． 因为平面CMN与底面ABCD的交线为l，MN平面CMN， 所以MN∥l，所以BD∥l， 因为BD平面PBD，l平面PBD， 所以直线l∥平面PBD． [能力提升] 11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在对角线A1D上取点M，在CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，则线段MN长的最小值为(　　) A． B．1 C． D． D　[作MM1⊥AD于点M1，作NN1⊥CD于点N1， ∵线段MN平行于对角面A1ACC1， ∴M1N1∥AC． 设DM1＝DN1＝x，则MM1＝x，NN1＝1－x，M1N1＝x， 在直角梯形MNN1M1中， M1N＝DM＋DN＝x2＋x2＝2x2， MN2＝M1N＋(NN1－MM1)2＝(x)2＋(1－2x)2＝6(x－)2＋， ∴当x＝时，线段MN长的最小值为． 故选D．] 12．如图，四棱锥SABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为(　　) A．2＋ B．3＋ C．3＋2 D．2＋2 C　[由AB＝BC＝CD＝DA＝2．得AB∥CD，又因为CD平面DCFE，AB平面DCFE，即AB∥平面DCFE，因为平面SAB∩平面DCFE＝EF，AB平面SAB，所以AB∥EF．因为E是SA的中点，所以EF＝1，DE＝CF＝． 所以四边形DEFC的周长为3＋2．] 学科网（北京）股份有限公司 $$