4.3.1 第1课时 平行直线-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦空间中直线与直线的位置关系，系统梳理相交、平行、异面三种关系，结合基本事实4（平行线传递性）和等角定理，以长方体模型为学习支架，衔接平面直线知识，为后续直线与平面位置关系学习奠基。 资料以正方体、空间四边形等模型为载体，通过探究点（如证明梯形、角相等）和对点练结合，培养直观想象与逻辑推理素养。课中辅助教师引导学生建立空间观念，课后练习题助力学生巩固应用，有效查漏补缺。

4.3　直线与直线、直线与平面的位置关系 4.3.1　空间中直线与直线的位置关系 第1课时　平行直线 学习目标 1.借助长方体的棱与各面之间的位置关系，理解空间中直线与直线的相交、平行、异面三种位置关系，理解基本事实4与等角定理，提升数学抽象、直观想象核心素养. 2.能运用直线与直线的位置关系、基本事实4与等角定理解决有关问题，提升逻辑推理核心素养. 知识点一　空间中直线与直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)特点：两条异面直线既不相交也不平行，即不同在任何一个平面内. 2.空间中两条直线的位置关系 位置关系 具体描述 共面直线 相交直线 在同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线 在同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 [点拨]　(1)异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线； (2)注意异面直线定义中“任何”两个字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线. 知识点二　基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行. [点拨]　此基本事实表述的性质通常叫作空间平行线的传递性，这是对初中所学的平面平行线的传递性的推广. 知识点三　等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. [点拨]　(1)定理表明把空间中的一个角平移后角的大小不变. (2)由定理可得，如果两条相交直线与另两条相交直线对应平行，那么这两组直线所成的角相等. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分别和两条异面直线平行的两条直线平行.(　　) (2)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.(　　) (3)垂直于同一直线的两条直线互相平行.(　　) (4)如果空间中的两个角相等或互补，那么这两个角的两条边分别对应平行.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.异面直线是指(　　) A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.平面内的一条直线与平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线 答案：D 解析：对于A，空间中两条不相交的直线有两种可能，一个是平行(共面)，另一个是异面，所以A应排除.对于B，分别位于两个不同平面内的直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，所以B应排除.对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除.只有D符合定义. 3.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形一定(　　) A.全等 B.相似 C.仅有一个角相等 D.无法判断 答案：B 解析：在△ABC和△A'B'C'中， 因为AB∥A'B'，AC∥A'C'， 所以∠BAC＝∠B'A'C'， 同理可证：∠ABC＝∠A'B'C'，∠ACB＝∠A'C'B'， 所以△ABC∽△A'B'C'， 故两三角形一定相似. 故选B. 4.已知棱长为a的正方体ABCD􀆼A'B'C'D'中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A'C'的位置关系是　　　　. 答案：平行 解析：如图所示，MN∥AC， 因为AC∥A'C'，所以MN∥A'C'. 学生用书⬇第97页 探究点一　空间中直线与直线位置关系的判断 如图，在长方体ABCD􀆼A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　　； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是　　　　； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是　　　　； ④直线AB与直线B1C的位置关系是　　　　. 答案：①平行　②异面　③相交　④异面 解析：经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面.同理，直线AB与直线B1C异面.所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”. 判断空间中两条直线位置关系的诀窍 1.建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线. 2.重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系. 对点练1.若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是(　　) A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交 答案：D 解析：a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，但a与c异面、相交都有可能. 对点练2.a，b为异面直线，且a⊂α，b⊂β.若α∩β＝l，则直线l必定(　　) A.与a，b都相交 B.与a，b都不相交 C.至少与a，b之一相交 D.至多与a，b之一相交 答案：C 解析：若a，b与l都不相交，则a∥l，b∥l，即a∥b，与a，b是异面直线矛盾.故选C. 探究点二　基本事实4的应用 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，G，H分别是BC，CD边上的点，且＝＝. 求证：四边形GHFE是梯形. 证明：因为在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点， 所以EF∥BD，且EF＝BD， 因为G，H分别是BC，CD边上的点， 且＝＝， 所以HG∥BD，且HG＝BD， 所以EF∥HG，且EF≠HG， 所以四边形GHFE是梯形. 关于空间中两直线平行的证明 1.辅助线：常见的辅助线作法是构造三角形中位线，平行四边形的对边. 2.证明依据：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基本事实4，几何体中相对的棱、对角线等的平行关系. 对点练3.如图，A是△BCD所在平面外一点.M，N分别是△ABC和△ACD的重心. (1)求证：MN∥BD； (2)若BD＝6，求MN的长. 解：(1)证明：因为M，N分别是△ABC和△ACD的重心， 连接AM交BC于E，连接AN交CD于F，连接MN，EF， 则E，F分别为BC，CD的中点， 则＝＝， 所以MN∥EF， 又E，F分别为BC，CD的中点， 所以EF∥BD， 所以MN∥BD. (2)若BD＝6，由(1)知EF＝3， 由重心性质知＝， 所以MN＝2. 学生用书⬇第98页 探究点三　等角定理的应用 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E. 证明：因为F为BB1的中点， 所以BF＝BB1，因为G为DD1的中点， 所以D1G＝DD1.又BB1∥DD1，BB1＝DD1， 所以BF∥D1G，BF＝D1G. 所以四边形D1GBF为平行四边形. 所以D1F∥GB，同理D1E∥GC. 所以∠BGC与∠FD1E的边对应平行且方向相同， 所以∠BGC＝∠FD1E. 空间角相等的证明方法 1.等角定理法，“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能. 2.转化法，转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明. 对点练4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N，P分别为AA1，BB1，CC1的中点. 求证：∠MC1N＝∠APB. 证明：因为N，P分别是BB1，CC1的中点， 所以BN∥C1P，所以四边形BPC1N为平行四边形，所以C1N∥BP. 同理可证C1M∥AP. 又∠MC1N与∠APB方向相同， 所以∠MC1N＝∠APB. 1.空间中有三条直线AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　) A.平行 B.异面 C.相交或平行 D.平行、异面、相交均有可能 答案：D 解析：由图可知直线AB与CD有相交、平行、异面三种情况，故选D. 2.如图所示，在三棱锥S􀆼MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 答案：A 解析：因为E，F分别是SN和SP的中点，所以EF∥PN.同理可证HG∥PN，所以EF∥HG.故选A. 3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6，四边形EFGH的面积为28，则直线EH，FG之间的距离为　　　　. 答案：8 解析：因为＝＝， 所以FG∥BD，FG＝BD＝4， 因为E，H分别是AB，AD的中点， 所以EH∥BD. 所以FG∥EH，且EH＝3， 设平行线EH，FG间的距离为h， 所以SEFGH＝×(3＋4)·h＝28， 解得h＝8. 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点. (1)求证：四边形MNA1C1是梯形； (2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1. 证明：(1)连接AC，在△ACD中， 因为M，N分别是棱CD，AD的中点， 所以MN是三角形的中位线， 所以MN∥AC，MN＝AC. 由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1. 所以MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1， 所以四边形MNA1C1是梯形； (2)由(1)可知MN∥A1C1， 又因为ND∥A1D1， 所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补， 而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角， 所以∠DNM＝∠D1A1C1. 学科网（北京）股份有限公司 $