第4章 4.3.1 第1课时 平行直线-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

第1课时 第4章 <<< 平行直线 1.了解空间两条直线的位置关系，异面直线的概念及画法. 2.了解基本事实4和等角定理. 学习目标 (1)初中所学的结论“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，在空间中是否仍成立？ (2)初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？ 让我们借助身边的几何体一起来学习吧！ 导 语 一、空间中直线与直线的位置关系 二、基本事实4 课时对点练 三、等角定理及其应用 随堂演练 内容索引 空间中直线与直线的位置关系 一 提示　平行. 观察你所在的教室. (1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？ 问题1 提示　既不是平行直线，也不是相交直线. 问题1 (2)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是平行直线吗？是相交直线吗？ 1.异面直线 _____________________的两条直线叫作异面直线. 2.空间中直线与直线的位置关系 位置关系 是否在同一平面内 公共点个数 共面 直线 相交直线 ____ 1 平行直线 是 0 异面直线 ____ 0 不同在任何一个平面内 是 否 知识梳理 　　　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　；  例 1 平行 在长方体ABCD-A1B1C1D1中， A1D1∥BC，A1D1=BC， ∴四边形A1BCD1为平行四边形， ∴A1B∥D1C. 9 (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 　　　；  异面 直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内. (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是　　　；  直线D1D与直线D1C相交于点D1. 相交 (4)直线AB与直线B1C的位置关系是　　　.  直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内. 异面 10 (1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线. (2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系. 判断空间两条直线位置关系的诀窍 反 思 感 悟 11 　　　　　若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是 A.平行 B.异面 C.相交 D.平行、相交或异面 跟踪训练 1 √ 可借助长方体来判断. 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，设A'D'所 在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异 面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体 ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，CC'，DD'. 故a和c可以平行、相交或异面. 12 二 基本事实4 提示　平行. 取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将纸板沿E，F折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何？ 问题2 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线_____ 图形语言   符号语言 若a，b，c为空间中三条不重合的直线，且a∥b，a∥c，则______ 作用 证明两条直线平行 说明 基本事实4表述的性质通常叫作平行线的_______ b∥c 平行 传递性 知识梳理 15 　　　如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：四边形MNA1C1是梯形. 例 2 16 如图，连接AC，在△ACD中， ∵M，N分别是CD，AD的中点， ∴MN是△ACD的中位线， ∴MN∥AC，且MN=AC. 由正方体的性质得AC∥A1C1，且AC=A1C1. ∴MN∥A1C1， 且MN=A1C1，即MN≠A1C1， ∴四边形MNA1C1是梯形. 17 反 思 感 悟 (1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明. (2)利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b. 证明空间中两条直线平行的方法 　　　　　如图，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形EBFD1是菱形. 跟踪训练 2 19 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，取棱BB1的中点G，连接C1G，EG. 因为E，G分别是棱AA1，BB1的中点， 所以EG　 A1B1， 又A1B1　 C1D1， 所以EG　 C1D1， 从而四边形EGC1D1为平行四边形， 所以D1E　 C1G. 20 因为F，G分别是棱CC1，BB1的中点，所以C1F　BG，从而四边形BGC1F为平行四边形，所以BF　C1G， 又D1E　C1G，所以D1E　BF， 从而四边形EBFD1为平行四边形. 不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a， 易知BE=BF=a， 故平行四边形EBFD1是菱形. 21 等角定理及其应用 三 在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立呢？ 问题3 23 提示　当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图1，图2所示的两种位置. 对于图1，我们可以构造两个全等三角形，使∠BAC和∠B'A'C'是它们的对应角，从而证明∠BAC=∠B'A'C'. 如图3，分别在∠BAC和∠B'A'C'的两边上截取AD，AE和A'D'，A'E'，使得AD=A'D'，AE=A'E'，连接AA'，DD'，EE'，DE，D'E'. 24 ∵AD　A'D'， ∴四边形ADD'A'是平行四边形， ∴AA'　DD'. 同理可证AA'　EE'， ∴DD'　EE'， ∴四边形DD'E'E是平行四边形， ∴DE=D'E'. ∴△ADE≌△A'D'E'， ∴∠BAC=∠B'A'C'. 对于图2，同理可证. 25 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_____或_____ 图形语言   符号语言 A'C'∥AC，A'B'∥AB⇒∠CAB=∠C'A'B'或∠CAB+∠C'A'B'=180° 作用 判断或证明两个角相等或互补 相等 互补 知识梳理 26 (1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同(或相反)，那么这两个角相等. (2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且一边的方向相同，另一边的方向相反，那么这两个角互补. 注 意 点 <<< 27 　　　(1)如图所示，△ABC和△A 'B 'C '的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一点O，且===，则=　　 　.  例 3 28 ∵AA'∩BB'=O，且==， ∴AB∥A'B'，同理AC∥A'C'，BC∥B'C'. ∵A'B'∥AB，A'C'∥AC，∴∠BAC=∠B'A'C'， 同理∠ABC=∠A'B'C'， ∴△ABC∽△A'B'C'且==， ∴==. 29 (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，证明：∠BGC=∠FD1E. 30 因为F为BB1的中点，所以BF=BB1， 因为G为DD1的中点，所以D1G=DD1. 又BB1　DD1， 所以BF　D1G， 所以四边形D1GBF为平行四边形. 所以D1F∥GB，同理D1E∥GC， 所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同. 所以∠BGC=∠FD1E. 反 思 感 悟 等角定理的结论是两个角相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能. 　　　　　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1. 跟踪训练 3 33 如图所示，连接B1C. 因为G，F分别为BC，BB1的中点， 所以GF∥B1C. 又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CD　AB，A1B1　AB， 由基本事实4知CD　A1B1， 所以四边形A1B1CD为平行四边形， 所以A1D　B1C. 又B1C∥FG，由基本事实4知A1D∥FG. 同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF. 又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且均为锐角， 所以∠DA1C1=∠EGF，∠A1DC1=∠EFG，∠DC1A1=∠GEF. 所以△EFG∽△C1DA1. 1.知识清单： (1)空间两直线的位置关系. (2)基本事实4. (3)等角定理. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：用等角定理时，角有可能相等或互补. 课堂小结 随堂演练 四 1.若空间中两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是 A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面 若直线a和b共面，则由题意可知a∥b； 若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线. √ 1 2 3 4 2.如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是 A.平行 　　　　B.相交 C.异面 　　　　D.平行或异面 在△MPN中，∵H，G分别为MP，MN的中点， ∴GH∥PN， 同理EF∥PN，∴GH∥EF. √ 1 2 3 4 3.如图所示，在长方体木块ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有 A.3条　　　　B.4条　　　　C.5条　　　　D.6条 EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1. √ 1 2 3 4 4.空间中两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β=　　　　　.  ∵空间两角α，β的两边分别对应平行， ∴这两个角相等或互补. ∵α=60°，∴β=60°或120°. 1 2 3 4 60°或120° 课时对点练 五 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C D C ABC C 2 平行 题号 11 12 13 14　 15 答案 CD D 120° 8 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示， 在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1， 交A1B1于点E， 交C1D1于点F，则直线EF即为所求. 理由： 因为EF∥B1C1，BC∥B1C1， 所以EF∥BC. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)证明　由G，H分别为FA，FD的中点，可得GH AD. 又BC AD，∴GH BC， ∴四边形BCHG为平行四边形. (2)解　C，D，F，E四点共面，理由如下： ∵BE AF，G为FA的中点，∴BE FG， ∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG CH，∴EF∥CH， ∴EF与CH共面. 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，所以EF∥AB，且EF=(AB+CD)， 又C'D'∥EF，EF∥AB，所以C'D'∥AB. 因为G，H分别为AD'，BC'的中点，所以GH∥AB， 且GH=(AB+C'D')=(AB+CD)， 所以GH EF， 所以四边形EFGH为平行四边形. (2)折叠前DN∥BC，且DM∥CE，MN∥EB， 折叠后，D'M∥C'E，MN∥EB， 所以∠C'EB与∠D'MN的对应边平行且方向相同， 所以∠C'EB=∠D'MN. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.空间两条互相平行的直线指的是 A.在空间没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D.在同一平面内且没有公共点的两条直线 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 2.若AB∥A'B'，BC∥B'C'，且∠ABC=45°，则∠A'B'C'等于 A.45° B.135° C.45°或135° D.不能确定 ∵AB∥A'B'，BC∥B'C'， ∴∠ABC与∠A'B'C'相等或互补， 又∵∠ABC=45°，∴∠A'B'C'=45°或135°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.在三棱台A1B1C1-ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与B1C1 A.相交　　　　B.异面　　　　C.平行　　　　D.垂直 如图所示， 因为G，H分别是AB，AC的中点，所以GH∥BC， 又由三棱台的性质得BC∥B1C1，所以GH∥B1C1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5.(多选)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是 A.∠D1DC 　　 B.∠D1C1C C.∠A1B1B 　　 D.∠C1CD 因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，又AB∥CD， 所以∠A1AB与∠D1DC相等. 又由于四边形A1ABB1，四边形D1DCC1为平行四边形， 所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 6.若直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 若b∥c，由a∥b，知a∥c，这与a，c异面相矛盾，则b与c不可能平行. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 7.在四棱锥P-ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF=2，则GH=　　.  由题意知EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC， 故EF　GH，故GH=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 答案 8.若P是△ABC所在平面外一点，D，E分别是△PAB，△PBC的重心，则DE与AC的位置关系为　　　.  ∵D，E分别为△PAB，△PBC的重心，连接PD，PE并延长，分别交AB，BC于M，N两点，如图所示，则M，N分别为AB，BC的中点， ∴DE∥MN，MN∥AC， ∴DE∥AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 平行 答案 9.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图所示， 在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1， 交A1B1于点E， 交C1D1于点F， 则直线EF即为所求. 理由： 因为EF∥B1C1，BC∥B1C1， 所以EF∥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 56 10.如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形， BC　AD，BE　FA，G，H分别为FA，FD的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由G，H分别为FA，FD的中点， 可得GH　AD. 又BC　AD，∴GH　BC， ∴四边形BCHG为平行四边形. 答案 (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 C，D，F，E四点共面，理由如下： ∵BE　AF，G为FA的中点， ∴BE　FG， ∴四边形BEFG为平行四边形， ∴EF∥BG. 由(1)知BG　CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面. 又D∈FH， ∴C，D，F，E四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 59 11.(多选)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是 A.l与AD平行 B.l与AD相交 C.l与AC平行 D.l与BD平行 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 答案 假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1， 知l∥B1C1， 这与l与B1C1不平行矛盾， ∴l与AD不平行. 又l在上底面中，AD在下底面中， 故l与AD无公共点，故l与AD不相交. CD可能成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.下列各图中，直线a与b平行的只可能是 A，B，C中直线a，b是异面直线，D中直线a，b共面，可能是平行直线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 13.如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三点，A'，B'，C'，D'，E'分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点.若∠A'B'C'=120°，则∠C'D'E'=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 120° 答案 因为A'，B'分别是AD，DB的中点， 所以A'B'∥a， 同理C'D'∥a，B'C'∥b，D'E'∥b， 所以A'B'∥C'D'，B'C'∥D'E'. 又∠A'B'C'的两边和∠C'D'E'的两边的方向都相同， 所以∠A'B'C'=∠C'D'E'， 所以∠C'D'E'=120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且==，若BD=6，四边形EFGH的面积为28，则EH，FG之间的距离为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 答案 由题意得EH是△ABD的中位线， ∴EH∥BD且EH=BD=3， 又∵==，∴GF∥BD且GF=BD=4， 由基本事实4知，EH∥GF， ∴四边形EFGH是梯形， 则EH，FG之间的距离就是梯形EFGH的高，设为h， 即=28，得h=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 拓广探究 15.(多选)如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则 A.PQ=MN B.PQ∥MN C.M，N，P，Q四点共面 D.四边形MNPQ是梯形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 由题意知PQ=DE，且DE≠MN， 所以PQ≠MN，故A不正确； 又PQ∥DE，DE∥MN， 所以PQ∥MN，又PQ≠MN， 所以M，N，P，Q四点共面，且四边形MNPQ是梯形. 故B，C，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，DN∥BC，DN与EF相交于M.将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C'D'的位置，G，H分别为AD'和BC'的中点，求证： (1)四边形EFGH为平行四边形； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点， 所以EF∥AB，且EF=(AB+CD)， 又C'D'∥EF，EF∥AB， 所以C'D'∥AB. 因为G，H分别为AD'，BC'的中点， 所以GH∥AB， 且GH=(AB+C'D')=(AB+CD)，所以GH　EF， 所以四边形EFGH为平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 (2)∠C'EB=∠D'MN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 折叠前DN∥BC，且DM∥CE，MN∥EB， 折叠后，D'M∥C'E，MN∥EB， 所以∠C'EB与∠D'MN的对应边平行且方向相同， 所以∠C'EB=∠D'MN. 答案 第一章 <<< $$ 4.3.1　空间中直线与直线的位置关系 第1课时　平行直线 [学习目标]　1.了解空间两条直线的位置关系，异面直线的概念及画法.2.了解基本事实4和等角定理. 导语 (1)初中所学的结论“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，在空间中是否仍成立？ (2)初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？ 让我们借助身边的几何体一起来学习吧！ 一、空间中直线与直线的位置关系 问题1　观察你所在的教室. (1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？ (2)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是平行直线吗？是相交直线吗？ 提示　(1)平行. (2)既不是平行直线，也不是相交直线. 知识梳理 1.异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线. 2.空间中直线与直线的位置关系 位置关系 是否在同一平面内 公共点个数 共面 直线 相交直线 是 1 平行直线 是 0 异面直线 否 0 例1　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　　；  (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 　　　　；  (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是　　　；  (4)直线AB与直线B1C的位置关系是　　　　.  答案　(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面 解析　(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中， A1D1∥BC，A1D1=BC， ∴四边形A1BCD1为平行四边形， ∴A1B∥D1C. (2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内. (3)直线D1D与直线D1C相交于点D1. (4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内. 反思感悟　判断空间两条直线位置关系的诀窍 (1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线. (2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系. 跟踪训练1　若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　) A.平行 B.异面 C.相交 D.平行、相交或异面 答案　D 解析　可借助长方体来判断. 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，设A'D'所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，CC'，DD'.故a和c可以平行、相交或异面. 二、基本事实4 问题2　取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将纸板沿E，F折起，在空间中直线AD与BC的位置关系如何？ 提示　平行. 知识梳理 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 若a，b，c为空间中三条不重合的直线，且a∥b，a∥c，则b∥c 作用 证明两条直线平行 说明 基本事实4表述的性质通常叫作平行线的传递性 例2　如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：四边形MNA1C1是梯形. 证明　如图，连接AC，在△ACD中， ∵M，N分别是CD，AD的中点， ∴MN是△ACD的中位线， ∴MN∥AC，且MN=AC. 由正方体的性质得 AC∥A1C1，且AC=A1C1. ∴MN∥A1C1， 且MN=A1C1， 即MN≠A1C1， ∴四边形MNA1C1是梯形. 反思感悟　证明空间中两条直线平行的方法 (1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明. (2)利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b. 跟踪训练2　如图，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形EBFD1是菱形. 证明　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，取棱BB1的中点G，连接C1G，EG. 因为E，G分别是棱AA1，BB1的中点， 所以EGA1B1， 又A1B1C1D1， 所以EGC1D1， 从而四边形EGC1D1为平行四边形， 所以D1EC1G. 因为F，G分别是棱CC1，BB1的中点，所以C1FBG，从而四边形BGC1F为平行四边形，所以BFC1G， 又D1EC1G，所以D1EBF， 从而四边形EBFD1为平行四边形. 不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，易知BE=BF=a， 故平行四边形EBFD1是菱形. 三、等角定理及其应用 问题3　在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立呢？ 提示　当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图1，图2所示的两种位置. 对于图1，我们可以构造两个全等三角形，使∠BAC和∠B'A'C'是它们的对应角，从而证明∠BAC=∠B'A'C'. 如图3，分别在∠BAC和∠B'A'C'的两边上截取AD，AE和A'D'，A'E'，使得AD=A'D'，AE=A'E'，连接AA'，DD'，EE'，DE，D'E'. ∵ADA'D'， ∴四边形ADD'A'是平行四边形， ∴AA'DD'. 同理可证AA'EE'， ∴DD'EE'， ∴四边形DD'E'E是平行四边形， ∴DE=D'E'. ∴△ADE≌△A'D'E'， ∴∠BAC=∠B'A'C'. 对于图2，同理可证. 知识梳理　 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 图形语言 符号语言 A'C'∥AC，A'B'∥AB⇒∠CAB=∠C'A'B'或∠CAB+∠C'A'B'=180° 作用 判断或证明两个角相等或互补 注意点： (1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同(或相反)，那么这两个角相等. (2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且一边的方向相同，另一边的方向相反，那么这两个角互补. 例3　(1)如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一点O，且===，则=　　　　.  答案　 解析　∵AA'∩BB'=O，且==， ∴AB∥A'B'，同理AC∥A'C'，BC∥B'C'. ∵A'B'∥AB，A'C'∥AC，∴∠BAC=∠B'A'C'， 同理∠ABC=∠A'B'C'， ∴△ABC∽△A'B'C'且==， ∴==. (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，证明：∠BGC=∠FD1E. 证明　因为F为BB1的中点， 所以BF=BB1， 因为G为DD1的中点， 所以D1G=DD1. 又BB1DD1， 所以BFD1G， 所以四边形D1GBF为平行四边形. 所以D1F∥GB，同理D1E∥GC， 所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同. 所以∠BGC=∠FD1E. 反思感悟　等角定理的结论是两个角相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能. 跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1. 证明　如图所示，连接B1C. 因为G，F分别为BC，BB1的中点， 所以GF∥B1C. 又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CDAB，A1B1AB， 由基本事实4知CDA1B1， 所以四边形A1B1CD为平行四边形， 所以A1DB1C. 又B1C∥FG，由基本事实4知A1D∥FG. 同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF. 又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且均为锐角， 所以∠DA1C1=∠EGF，∠A1DC1=∠EFG，∠DC1A1=∠GEF. 所以△EFG∽△C1DA1. 1.知识清单： (1)空间两直线的位置关系. (2)基本事实4. (3)等角定理. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：用等角定理时，角有可能相等或互补. 1.若空间中两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　) A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面 答案　D 解析　若直线a和b共面，则由题意可知a∥b； 若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线. 2.如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是(　　) A.平行 　　　　B.相交 C.异面 　　　　D.平行或异面 答案　A 解析　在△MPN中， ∵H，G分别为MP，MN的中点， ∴GH∥PN， 同理EF∥PN，∴GH∥EF. 3.如图所示，在长方体木块ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有(　　) A.3条　B.4条　C.5条　D.6条 答案　B 解析　EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1. 4.空间中两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β=　　　　.  答案　60°或120° 解析　∵空间两角α，β的两边分别对应平行， ∴这两个角相等或互补. ∵α=60°，∴β=60°或120°. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.空间两条互相平行的直线指的是(　　) A.在空间没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D.在同一平面内且没有公共点的两条直线 答案　D 2.若AB∥A'B'，BC∥B'C'，且∠ABC=45°，则∠A'B'C'等于(　　) A.45° B.135° C.45°或135° D.不能确定 答案　C 解析　∵AB∥A'B'，BC∥B'C'， ∴∠ABC与∠A'B'C'相等或互补， 又∵∠ABC=45°，∴∠A'B'C'=45°或135°. 3.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　) A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面 答案　D 解析　可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾). 4.在三棱台A1B1C1-ABC中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与B1C1(　　) A.相交　B.异面　C.平行　D.垂直 答案　C 解析　如图所示， 因为G，H分别是AB，AC的中点，所以GH∥BC， 又由三棱台的性质得BC∥B1C1，所以GH∥B1C1. 5.(多选)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是(　　) A.∠D1DC 　　B.∠D1C1C C.∠A1B1B 　　D.∠C1CD 答案　ABC 解析　因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，又AB∥CD， 所以∠A1AB与∠D1DC相等. 又由于四边形A1ABB1，四边形D1DCC1为平行四边形， 所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等. 6.若直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c(　　) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 答案　C 解析　若b∥c，由a∥b，知a∥c，这与a，c异面相矛盾，则b与c不可能平行. 7.(5分)在四棱锥P-ABCD中，E，F，G，H分别是PA，PC，AB，BC的中点，若EF=2，则GH=　　　　.  答案　2 解析　由题意知EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC， 故EFGH，故GH=2. 8.(5分)若P是△ABC所在平面外一点，D，E分别是△PAB，△PBC的重心，则DE与AC的位置关系为　　　　　.  答案　平行 解析　∵D，E分别为△PAB，△PBC的重心，连接PD，PE并延长，分别交AB，BC于M，N两点，如图所示，则M，N分别为AB，BC的中点， ∴DE∥MN，MN∥AC， ∴DE∥AC. 9.(10分)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由. 解　如图所示， 在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1， 交A1B1于点E， 交C1D1于点F， 则直线EF即为所求. 理由： 因为EF∥B1C1， BC∥B1C1， 所以EF∥BC. 10.(10分)如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形，BCAD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(5分) (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(5分) (1)证明　由G，H分别为FA，FD的中点， 可得GHAD. 又BCAD，∴GHBC， ∴四边形BCHG为平行四边形. (2)解　C，D，F，E四点共面，理由如下： ∵BEAF，G为FA的中点， ∴BEFG， ∴四边形BEFG为平行四边形， ∴EF∥BG. 由(1)知BGCH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面. 又D∈FH， ∴C，D，F，E四点共面. 11.(多选)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是(　　) A.l与AD平行 B.l与AD相交 C.l与AC平行 D.l与BD平行 答案　CD 解析　假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1， 知l∥B1C1， 这与l与B1C1不平行矛盾， ∴l与AD不平行. 又l在上底面中，AD在下底面中， 故l与AD无公共点，故l与AD不相交. CD可能成立. 12.下列各图中，直线a与b平行的只可能是(　　) 答案　D 解析　A，B，C中直线a，b是异面直线，D中直线a，b共面，可能是平行直线. 13.(5分)如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三点，A'，B'，C'，D'，E'分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点.若∠A'B'C'=120°，则∠C'D'E'=　　　　.  答案　120° 解析　因为A'，B'分别是AD，DB的中点， 所以A'B'∥a， 同理C'D'∥a，B'C'∥b，D'E'∥b， 所以A'B'∥C'D'，B'C'∥D'E'. 又∠A'B'C'的两边和∠C'D'E'的两边的方向都相同， 所以∠A'B'C'=∠C'D'E'， 所以∠C'D'E'=120°. 14.(5分)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且==，若BD=6，四边形EFGH的面积为28，则EH，FG之间的距离为　　　　.  答案　8 解析　由题意得EH是△ABD的中位线， ∴EH∥BD且EH=BD=3， 又∵==， ∴GF∥BD且GF=BD=4， 由基本事实4知，EH∥GF， ∴四边形EFGH是梯形， 则EH，FG之间的距离就是梯形EFGH的高，设为h， 即=28，得h=8. 15.(多选)如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则(　　) A.PQ=MN B.PQ∥MN C.M，N，P，Q四点共面 D.四边形MNPQ是梯形 答案　BCD 解析　由题意知PQ=DE，且DE≠MN， 所以PQ≠MN，故A不正确； 又PQ∥DE，DE∥MN， 所以PQ∥MN，又PQ≠MN， 所以M，N，P，Q四点共面，且四边形MNPQ是梯形.故B，C，D正确. 16.(12分)在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，DN∥BC，DN与EF相交于M.将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C'D'的位置，G，H分别为AD'和BC'的中点，求证： (1)四边形EFGH为平行四边形；(6分) (2)∠C'EB=∠D'MN.(6分) 证明　(1)因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点， 所以EF∥AB，且EF=(AB+CD)， 又C'D'∥EF，EF∥AB， 所以C'D'∥AB. 因为G，H分别为AD'，BC'的中点， 所以GH∥AB， 且GH=(AB+C'D')=(AB+CD)， 所以GHEF， 所以四边形EFGH为平行四边形. (2)折叠前DN∥BC，且DM∥CE，MN∥EB， 折叠后，D'M∥C'E，MN∥EB， 所以∠C'EB与∠D'MN的对应边平行且方向相同， 所以∠C'EB=∠D'MN. 学科网（北京）股份有限公司 $$