3.3 复数的几何表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦复数的几何表示核心知识点，系统梳理复数与复平面内点、向量的一一对应关系，复数模的计算、共轭复数的概念，以及复数加减法的几何意义，构建从代数形式到几何直观的知识支架。 资料通过判断正误、探究点实例（如复数对应点在象限或直线上的问题）设计，培养学生逻辑推理、直观想象与数学运算素养。课中辅助教师引导概念理解，课后练习题与解析帮助学生巩固知识，查漏补缺。

3.3　复数的几何表示 学习目标 1.通过实例了解复数与复平面内的点的一一对应关系，理解复数与平面向量一一对应关系，并能用复数的概念和几何表示解决相关问题， 发展学生的逻辑推理、数学抽象和直观想象素养. 2.掌握复数模的计算公式， 理解共轭复数的概念， 发展学生的数学运算素养. 知识点一　复数的几何意义 1.复平面：复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用直角坐标平面内唯一一点Z(a，b)来表示，也可用平面内唯一向量表示.如图： 2.复数的几何意义 [点拨]　(1)复平面内点的坐标与复数的实部和虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示； (2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数； (3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 知识点二　复数的模与共轭复数 名称 定义 表示(记法) 备注 复数 的模 对任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)，我们将它在复平面上所对应的向量的模 称为复数z的模，也称为z的绝对值 复数z＝a＋bi的模记为｜z｜或｜a＋bi｜ 公式：｜z｜＝｜a＋bi｜＝(a，b∈R) 共轭 复数 对任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)，如果保持它的实部a不变，将虚部b变成它的相反数－b，得到的复数a－bi称为原复数z的共轭复数 若z＝a＋bi(a，b∈R)，则共轭复数＝a－bi ①｜z｜＝｜｜＝ ②z＝a2＋b2＝｜z｜2＝｜｜2 [点拨]　(1)｜z｜＝1表示复平面上的单位圆. (2)复平面上两点P，Q关于x轴对称⇔它们所对应的复数相互共轭. 知识点三　复数加减法的几何意义 如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为，，四边形OQSP为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是. [点拨]　满足向量加、减法的平行四边形法则和三角形法则. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点.(　　) (2)实轴和虚轴的单位都是1.(　　) 学生用书⬇第75页 (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数.(　　) (4)复数与复平面内的无数多个向量对应.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.已知复数z的实部为－1，虚部为2，则｜z｜＝(　　) A.2 B.5 C. D.4 答案：C 解析：由题意可知z＝－1＋2i，所以｜z｜＝. 3.若复数a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，1) B.(－∞，－1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞) 答案：B 解析：因为z＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1，1－a)，又因为此点在第二象限，所以解得a＜－1.故选B. 4.复数的共轭复数是　　　　　. 答案：＋i 解析：因为复数＝＝－i，所以它的共轭复数为＋i. 探究点一　复数与复平面内点的关系 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二、四象限； (3)在直线y＝x上. 分别求实数m的取值范围. 解：复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10. (1)由题意得，m2－2m－8＝0. 解得m＝－2或4. (2)由题意得，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)＜0. 所以2＜m＜4或－5＜m＜－2，即m∈(－5，－2)∪(2，4). (3)由题意得，m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝. 利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤 1.找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据； 2.列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解. 对点练1.在复平面内，复数z＝(m2－5m＋4)＋(m2－2m)i对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A.(1，2) B.(0，1) C.(－∞，2)∪(4，＋∞) D.(2，4) 答案：B 解析：由题意，得 解得0＜m＜1，故选B. 探究点二　复数与复平面内的向量 (1)已知复平面中，O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　) A.－5＋5i B.5－5i C.5＋5i D.－5－5i (2)在复平面内，O为原点，向量表示的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量表示的复数为(　　) A.－2－i B.－2＋i C.1＋2i D.－1＋2i 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝(2，－3)，＝(－3，2). 由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5). 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i. (2)由题意得A(－1，2)，则B(－2，1)，所以向量表示的复数为－2＋i. 复数与平面向量的对应关系 1.根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量. 2.解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为依据，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 对点练2.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们在复平面上所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是　　　　. 答案：5 解析：由复数的几何意义，知3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，所以3－2i＝y－x＋(2x－y)i.根据复数相等的充要条件，得所以x＋y＝5. 学生用书⬇第76页 探究点三　复数的模 已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i. (1)求｜z1｜及｜z2｜并比较大小； (2)设z∈C，满足条件｜z｜＝｜z1｜的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？ 解：(1)｜z1｜＝｜＋i｜＝ ＝2， ｜z2｜＝＝1， 所以｜z1｜＞｜z2｜. (2)方法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则点Z的坐标为(x，y)， 由｜z｜＝｜z1｜＝2，得 ＝2， 即x2＋y2＝4. 所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆. 方法二：由｜z｜＝｜z1｜＝2，知｜｜＝2(O为坐标原点)，所以Z到原点的距离为2. 所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆. 求解复数的模的思路 　　关于复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解. 对点练3.若复数z对应的点在直线y＝2x上，且｜z｜＝，则复数z＝(　　) A.1＋2i B.－1－2i C.±1±2i D.1＋2i或－1－2i 答案：D 解析：依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由｜z｜＝＝，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i. 对点练4.如果复数z＝1＋ai满足条件｜z｜＜2，那么实数a的取值范围是(　　) A.(－2，2) B.(－2，2) C.(－1，1) D.(－，) 答案：D 解析：因为｜z｜＜2，所以＜2，则1＋a2＜4，a2＜3，解得－＜a＜. 探究点四　共轭复数 已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是4－20i的共轭复数，求x的值. 解：由题意得，4－20i的共轭复数为4＋20i，则解得x＝－3，故x的值为－3. 　　关于共轭复数及其应用型问题，通常抓住共轭复数的代数特征，建立方程进行求解. 对点练5.若复数z满足3z＋＝1＋i，则｜z｜＝　　　　　　　. 答案： 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi， 则由3z＋＝1＋i得3(a＋bi)＋a－bi＝1＋i， 即4a＋2bi＝1＋i， 则，得， 则｜z｜＝＝＝＝. 对点练6.已知复数的共轭复数是b＋i(其中a，b均为实数，i为虚数单位)，则｜a＋bi｜等于　　　　　　　. 答案： 解析：因为复数＝－ai＋1的共轭复数是1＋ai＝b＋i， 所以b＝1，a＝1， 所以｜a＋bi｜＝｜1＋i｜＝. 探究点五　复数加减法的几何意义 如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求： (1)所表示的复数，所表示的复数； (2)对角线所表示的复数； (3)对角线所表示的复数及的长度. 解：(1)因为0－(3＋2i)＝－3－2i， 所以所表示的复数为－3－2i. 因为＝， 所以所表示的复数为－3－2i. (2)因为＝－， 所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线＝＋＝＋， 所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，故｜｜＝＝. 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 　　向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数). 对点练7.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是(　　) A.2＋4i B.－2＋4i C.－4＋2i D.4－2i 答案：D 解析：在平行四边形ABCD中，＝＝－＝(3，1)－(－1，3)＝(4，－2)，所以对应的复数是4－2i.故选D. 学生用书⬇第77页 1.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：B 解析：因为z＝i＋2i2＝－2＋i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限. 2.已知i为虚数单位，在复平面内，O为原点，向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，则向量＋对应的复数为(　　) A.－3＋2i B.－2＋10i C.4－2i D.－1＋2i 答案：B 解析：因为向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，所以＝(1，4)，＝(－3，6)，所以＋＝(1，4)＋(－3，6)＝(－2，10)，故向量＋对应的复数为－2＋10i. 3.若复数z1，z2满足z1＝，则z1，z2在复平面内对应的点Z1，Z2(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y＝x对称 答案：A 解析：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则Z1(a，b)，Z2(c，d).由于z1＝得，a＋bi＝c－di，则a＝c，b＝－d，所以z1，z2在复平面内对应的点Z1，Z2关于x轴对称. 4.实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i. (1)对应的点在x轴上方； (2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上？ 解：(1)若复数z对应的点在x轴上方，则虚部m2－2m－15＞0，得m＜－3或m＞5，所以当m＜－3或m＞5时，复数z对应的点在x轴上方. (2)若复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上，则(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，即2m2＋3m－5＝0，得m＝1或－，所以当m＝1或－时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上. 学科网（北京）股份有限公司 $