2.2 二倍角的三角函数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦二倍角的三角函数核心知识点，通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导二倍角公式，梳理正弦、余弦（含三种形式）、正切公式及升幂缩角、降幂扩角等变换，构建从两角和公式到恒等变换的学习支架。 资料以推导过程培养逻辑推理，通过给角求值、给值求值等例题及对点练提升数学运算，结合判断正误、证明题等形式。课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固，体现用数学思维思考、用数学语言表达的核心素养。

2.2　二倍角的三角函数 学习目标 1.会由两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式， 并了解它们之间的内在联系， 提升逻辑推理核心素养. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换和数值计算， 并能灵活地将公式变形运用， 达到逻辑推理和数学运算核心素养学业质量水平要求. 知识点　二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.二倍角公式 记法 公式 推导 S(2α) sin 2α＝2sin αcos α S(α＋β)S(2α) C(2α) cos 2α＝cos2α－sin2α C(α＋β)C(2α) cos 2α＝1－2sin2α cos 2α＝2cos2α－1 利用cos2α＋sin2α＝1 消去sin2α或cos2α T(2α) tan 2α＝ T(α＋β)T(2α) 2.二倍角公式的变换 (1)因式分解变换 cos 2α＝cos2α－sin2α ＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α). (2)配方变换 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α ＝(sin α±cos α)2. (3)升幂缩角变换 cos 2α＝2cos2α－1，cos 2α＝1－2sin2α. (4)降幂扩角变换 cos2α＝(1＋cos 2α)，sin2α＝(1－cos 2α)， sin αcos α＝sin 2α. [点拨]　倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个角之间的倍数关系. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4α是2α的二倍角，α是的二倍角.(　　) (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　　) (3)∃α，使得sin 2α＝2sin α成立.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2.cos2－cos2＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：cos2－cos2 ＝cos2－cos2 ＝cos2－sin2 ＝cos＝. 故选D. 3.已知角A，B，C分别是△ABC的三个内角，且cos＝，则cos(B＋C)＝(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：A 解析：因为cos＝，且A＋B＋C＝π， 则cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A ＝－(2cos2－1)＝－(2×－1)＝－. 故选A. 4.已知tan α＝－，则＝　　　　. 答案：－ 解析：原式＝＝ ＝tan α－＝－－＝－. 学生用书⬇第57页 探究点一　给角求值问题 求下列各式的值. (1)； (2)； (3)tan 15°＋； (4)cos 20°·cos 40°·cos 80°. 解：(1)原式＝cos2－sin2 ＝cos (2×)＝cos ＝. (2)原式＝＝＝. (3)原式＝＋＝ ＝＝＝4. (4)原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 应用二倍角公式求解角的三角函数值的方法 1.注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活正用或逆用二倍角公式. 2.结合诱导公式恰当变换函数名称，灵活处理系数，构造二倍角公式的形式. 3.切弦同时存在时，应注意用tan α＝公式“切化弦”. 4.注意sin αcos α＝sin 2α，sin2α＝(1－cos 2α)，cos2α＝(1＋cos 2α)的应用. 对点练1.coscos＝(　　) A. B.－ C.－ D. 答案：D 解析：coscos＝cossin ＝sin ＝，故选D. 对点练2.求值＝　　　　　　　. 答案： 解析：原式＝＝· ＝·tan 45°＝. 探究点二　给值求值问题 如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若α∈(，π)，β＝，且点A的坐标为A(－1，m). (1)若tan 2α＝－，求实数m的值； (2)若tan∠AOB＝－，求sin 2α的值. 解：(1)由题意可得tan 2α＝＝－， 所以tan α＝－或tan α＝2. 因为α∈(，π)，所以tan α＝－，即＝－，所以m＝. (2)因为tan∠AOB＝tan(α－β)＝tan(α－)＝＝－， 又sin2(α－)＋cos2(α－)＝1，α－∈(，)， 所以sin(α－)＝，cos(α－)＝－， 所以sin(2α－)＝2sin(α－)cos(α－)＝－， cos(2α－)＝2cos2(α－)－1＝， 所以sin 2α＝sin＝sin(2α－)cos＋cos(2α－)sin＝. 学生用书⬇第58页 解决给值求值问题的方法 1.给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的转换和角之间的二倍关系. 2.注意几种公式的灵活应用，如： (1)sin 2x＝cos＝cos ＝2cos2－1＝1－2sin2； (2)cos 2x＝sin＝sin ＝2sin cos. 对点练3.已知sin＝，则cos 的值是(　　) A. B. C.－ D.－ 答案：D 解析：因为sin＝， 所以cos＝cos ＝1－2sin2＝1－2×()2＝， 所以cos＝cos ＝cos＝－cos ＝－. 对点练4.已知sin－2cos＝0. (1)求tan x的值； (2)求的值. 解：(1)由sin－2cos＝0，知cos≠0， 所以tan＝2， 所以tan x＝＝＝－. (2)由(1)知，tan x＝－， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝×＝×＝×＝. 探究点三　简单的化简证明 (1)化简：－； (2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B. 解：(1)原式＝ ＝ ＝tan 2θ. (2)证明：左边＝－ ＝ ＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2Acos 2B＝右边. 所以原等式成立. 三角函数式的化简与证明 1.化简的方法 (1)弦切互化，异名化同名，异角化同角； (2)降幂或升幂； (3)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ. 2.证明三角恒等式的方法 (1)从复杂的一边入手，证明一边等于另一边； (2)比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1； (3)分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件. 对点练5.化简·等于(　　) A.2cos α B.2sin α C. D.cos α 答案：A 解析：原式＝·＝2cos α. 对点练6.求证：＝sin 4α. 证明： ＝2cos2α·(－cos 2α)· ＝cos2αcos 2αtan α ＝sin αcos αcos 2α＝sin 2αcos 2α ＝sin 4α， 所以原等式成立. 学生用书⬇第59页 探究点四　三角函数综合问题 阅读下面材料：sin 3θ＝sin＝sin 2θcos θ＋cos 2θsin θ＝2sin θcos2θ＋sin θ＝2sin θ＋(sin θ＝3sin θ－4sin3θ. 解答下列问题： (1) 证明：cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ； (2) 若函数f＝＋msin－5在x∈上有零点，求实数m的取值范围. 解：(1)cos 3θ＝cos ＝cos 2θcos θ－sin 2θsin θ ＝cos θ－2sin2θcos θ ＝2cos3θ－cos θ－2cos θ ＝4cos3θ－3cos θ， 即cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ. (2)因为f＝＋m(sin xcos＋cos xsin)－5 ＝＋m(sin x＋cos x)－5 ＝＋m(sin x＋cos x)－5 ＝4(1－cos xsin x)－3＋m(sin x＋cos x)－5 ＝m－4sin xcos x－4. 令t＝sin x＋cos x＝sin，因为x∈，所以x＋∈， 所以sin∈，所以t∈(1，]. 又(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x， 所以sin xcos x＝，所以令g＝mt－2(t2－1)－4＝－2t2＋mt－2，t∈(1，]. 令g＝0得m＝＋2t，因为y＝＋2t在(1，]上单调递增. 所以＋2t∈(4，3]，m∈(4，3]， 所以m∈(4，6]. 对点练7.已知函数f＝cos2x＋sincos(x＋)－，x∈R. (1)求f在区间上的最大值和最小值； (2)若f＝，求sin 2α的值. 解：(1) 函数f＝cos2x＋sincos(x＋)－ ＝＋sin－ ＝cos 2x＋sin 2x·＋cos 2x ＝sin. 在区间上，2x＋∈， 故当2x＋＝－即x＝－时，函数取得最小值为×＝－； 当2x＋＝即x＝时，函数取得最大值为. (2)因为f＝sin ＝sin＝， 所以sin＝， 所以sin 2α＝－cos 2＝2sin2－1＝. 1.若α∈，且sin 2α＝－，则tan 4α等于(　　) A. B. C.－ D.－ 答案：D 解析：因为α∈，所以2α∈. 又sin 2α＝－＜0，所以2α∈， 所以cos 2α＝＝， 所以tan 2α＝－， 所以tan 4α＝＝－.故选D. 2.(多选)下列关于函数f(x)＝1－2sin2的说法正确的是(　　) A.最小正周期为π B.最大值为1，最小值为－1 C.函数图象关于直线x＝0对称 D.函数图象关于点对称 答案：ABD 解析：f(x)＝1－2sin2＝cos＝sin 2x，所以最小正周期为π，最大值为1，最小值为－1，故A，B正确； 由2x＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z). 即函数图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称，故C不正确； 由2x＝kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)， 函数图象关于点(k∈Z)对称，故D正确.故选ABD. 3.已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝　　　　，cos 2θ＝　　　　. 答案：　 解析：因为sin ＋cos ＝， 所以＝， 即1＋2sin cos ＝， 所以sin θ＝， 所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝. 4.已知θ≠kπ(k∈Z)，求证：tan＝，并利用该公式解决如下问题：若sin θ＝，求tan(－)的值. 解：因为θ≠kπ，k∈Z，所以≠，k∈Z， 所以tan＝＝＝. 因为sin θ＝，所以cos θ＝±， 当sin θ＝，cos θ＝时，tan＝＝， tan(－)＝＝－； 当sin θ＝，cos θ＝－时，tan＝＝2， tan(－)＝＝. 综上，tan(－)＝±. 学科网（北京）股份有限公司 $