1.2 第2课时 向量的减法运算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

第2课时　向量的减法运算 学习目标 1.通过实例， 掌握向量减法的运算， 并理解其几何意义， 提升数学抽象与数学运算核心素养. 2.初步体会数形结合在向量减法解题中的应用， 培养直观想象核心素养. 知识点　向量的减法 定义 已知两个向量a，b，求x满足a＋x＝b，这样的运算叫作向量的减法，记为x＝b－a，x称为b与a之差 作法 已知向量a，b，在平面内任取一点O.作 ＝a，＝b，则＝b－a，即b－a＝b＋(－a). 三角形法则 (几何意义) 向量等于终点向量减起点向量 口诀 共起点，连终点，指向被减 [点拨]　(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，－＝，就可以把向量的减法转化为加法. (2)向量减法满足三角形法则，在用三角形法则作向量减法时，要谨记“共起点，连终点，指向被减”原则.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆. (3)｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当a，b方向相同时左侧取等号，a，b方向相反时右侧取等号. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量a－b当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量.(　　) (2)向量与向量是相反向量.(　　) (3)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2.在△ABC中，若＝a，＝b，则＝(　　) A.a B.a＋b C.b－a D.a－b 答案：D　 解析：＝－＝a－b.故选D. 3.化简下列各式： ①－(－)；②－＋－； ③－＋；④＋＋－. 其中结果为0的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D　 解析：①－(－)＝－＝0. ②－＋－＝(＋)－＝－＝0. ③－＋＝＋＝0. ④＋＋－＝＋＝0. 以上各式化简后结果均为0，故选D. 4.向量可以写成：①＋；②－；③－；④－.其中正确的是　　　　.(填序号) 答案：①④ 解析：①＋＝；②－＝－－＝－(＋)≠；③－＝；④－＝.故①④正确. 学生用书⬇第8页 探究点一　向量的减法运算 化简：(1)－－； (2)(－)－(－). 解：(1)方法一：－－＝－＝. 方法二：－－＝－(＋)＝－＝. (2)方法一：(－)－(－) ＝－－＋＝＋＋＋ ＝(＋)＋(＋) ＝＋＝0. 方法二：(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0. 向量减法运算的常用方法 对点练1.化简下列各式： (1)(＋)＋(－－)； (2)－－. 解：(1)方法一：原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝. 方法二：原式＝＋＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0＝. (2)方法一：原式＝－＝. 方法二：原式＝－(＋)＝－＝. 探究点二　向量的减法及其几何意义 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解：方法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 方法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 求作两个向量的差向量的2种思路 1.可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可. 2.可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 对点练2.如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使a＋b＝，c－d＝，并画出b－c和a＋d. 解：因为a＋b＝，c－d＝， 所以a＝，b＝，c＝，d＝.如图所示. 作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA. 根据平行四边形法则可得b－c＝，a＋d＝. 学生用书⬇第9页 探究点三　用已知向量表示其他向量 如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量. (1)； (2)； (3)－； (4)＋； (5)－. 解：(1)＝－＝c－a. (2)＝－＝d－a. (3)－＝＝－＝d－b. (4)＋＝－＋－＝b－a＋f－c. (5)－＝－－(－)＝－＝f－d. 用已知向量表示某向量的步骤 对点练3.四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. 解：因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，＝＋＝b－a＋c. 1.已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　) A.＋＋＝0 B.－＋＝0 C.＋－＝0 D.－－＝0 答案：A　 解析：因为＝，所以＋＝＋＝＝，所以＋＋＝0，故选A. 2.化简下列各式： ①－＋；②＋－；③－－＋；④－－＋. 其中结果为零向量的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D　 解析：①－＋＝＋＝0； ②＋－＝－＝0； ③－－＋＝＋－＝－＝0； ④－－＋＝＋＋＋＝0.故选D. 3. 如图，O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝　　　　. 答案：a－b＋c 解析：因为＝，＝－，＝－，所以－＝－，＝－＋，所以＝a－b＋c. 4.若O是△ABC所在平面内一点，且满足｜－｜＝｜－＋－｜，试判断△ABC的形状. 解：因为－＋－＝＋，－＝＝－， 又｜－｜＝｜－＋－｜， 所以｜＋｜＝｜－｜，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $