1.2.2 向量的减法 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第2课时　向量的减法 [学习目标]　1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握向量减法的意义及减法法则.2.理解向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加减法综合运算． 导语 上节课我们学习了向量的加法运算，掌握了加法的三角形法则和平行四边形法则，如何进行向量的减法运算呢？ 一、向量的减法 问题1　在数的运算中，减法是加法的逆运算．类比数的减法，向量的减法和加法有什么关系？ 提示　向量的减法是向量加法的逆运算． 问题2　类比减法的运算法则“减去一个数等于加上一个数的相反数”，你能定义向量的减法法则吗？ 提示　减去一个向量等于加上一个向量的相反向量． 知识梳理 1．定义：已知两个向量a，b，求x满足a＋x＝b，这样的运算叫作向量的减法．记为x＝b－a，x称为b与a之差． 如图，，，是△OAB的三边，记＝a，＝b，由于＋＝. 因此，＝－＝b－a. 也可以由，经过加法得到： ＝＋＝(－)＋ ＝(－a)＋b. 2．意义：减去一个向量a，等于加上它的相反向量－a，即b－a＝b＋(－a)． 例1　(1)(多选)下列各式可以化简为的是(　　) A.＋ B.－ C.－ D.－ 答案　AD 解析　对于A，＋＝；对于B，－＝－－＝－(＋)≠；对于C，－＝；对于D，－＝，故选AD. (2)化简： ①－－； ②－(－－)． 解　①－－＝＋＋＝0. ②－(－－)＝－(＋－)＝－(－)＝－＝0. 反思感悟　求两个向量的差向量的思路 (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号． (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简． 跟踪训练1　化简下列式子： (1)－－－； (2)(－)－(－)． 解　(1)原式＝＋－＝＋＝0. (2)原式＝－－＋ ＝(－)＋(－)＝＋＝0. 二、位置向量 知识梳理 任取一定点O，从O分别观测A，B两点的方向和距离，则点A，B的位置由点O分别到A，B的两个向量，唯一表示，，分别称为点A，B的位置向量．因此，向量等于终点向量减去起点向量. 例2　如图，已知向量a，b，c，求作向量a＋b－c. 解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 跟踪训练2　如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解　如图，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c， 则向量＝a－b－c. 三、向量加减法的综合应用 问题3　如图，在平行四边形ABCD中，记＝a，＝b，你能找到a＋b，a－b吗？ 提示　能．a＋b＝，a－b＝. 例3　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. 解　因为四边形ACDE是平行四边形， 所以＝＝c，＝－＝b－a， 故＝＋＝b－a＋c. 延伸探究 1．本例条件不变，试用向量a，b，c表示向量与. 解　＝－＝c－a，＝－＝c－b. 2.将本例中的条件“点B是平行四边形ACDE外一点”换为“点B是平行四边形ACDE内一点”，如图，其他条件不变，其结论又将如何呢？ 解　因为四边形ACDE是平行四边形， 所以＝＝c，＝－＝b－a， ＝＋＝b－a＋c. 反思感悟　用向量表示其他向量的方法 (1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则． (2)表示向量时要考虑以下问题：它是不是某个平行四边形的对角线，是否可以找到由起点到终点的恰当途径，它的起点和终点是否为两个有共起点的向量的终点． 跟踪训练3　如图所示，解答下列各题： (1)用a，d，e表示； (2)用b，c表示； (3)用a，b，e表示； (4)用c，d表示. 解　(1)＝＋＋＝d＋e＋a. (2)＝－＝－－＝－b－c. (3)＝＋＋＝a＋b＋e. (4)＝－＝－(＋)＝－c－d. 1.知识清单： (1)向量的减法运算． (2)位置向量． (3)向量加减法的综合运用． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算． 1．在△ABC中，＝a，＝b，则等于(　　) A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a 答案　B 解析　如图，∵＝＋＝a＋b， ∴＝－＝－a－b. 2.－＋等于(　　) A. B. C．0 D. 答案　C 解析　－＋＝＋＝0. 3.如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　) A．0 B. C. D. 答案　A 解析　＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0. 4．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|的长度为________． 答案　2 解析　|－＋|＝|＋＋|＝||＝2. 1．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是(　　) A.－＝ B.－＝ C.－＝ D.－＝ 答案　C 解析　对于A，－＝，A正确； 对于B，－＝＋＝，B正确； 对于C，－＝－ ＝－2≠，C错误； 对于D，－＝＋＝，D正确． 2．已知四边形ABCD，O为任意一点，若＋＝＋，那么四边形ABCD的形状是(　　) A．正方形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 答案　B 解析　由＋＝＋得， －＝－， ∴＝， ∴BA∥CD，且BA＝CD， ∴四边形ABCD的形状是平行四边形． 3．下列各式不能化简为的是(　　) A.＋(＋) B.＋＋－ C.－＋ D.＋－ 答案　D 解析　＋(＋)＝＋＋＝， ＋＋－＝＋＋＋＝， －＋＝＋＋＝， 因为＋＝，＋＝， 所以≠＋－＝－. 4．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　) A．1 B．2 C. D. 答案　D 解析　如图，作菱形ABCD， 则|－|＝|－| ＝||＝. 5．(多选)下列结果恒为零向量的是(　　) A.－(＋) B.－＋－ C.－＋ D.＋＋－ 答案　BCD 解析　A项，－(＋)＝－＝＋；B项，－＋－＝＋＝0；C项，－＋＝＋＝0；D项，＋＋－＝＋＝0. 6.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c 答案　A 解析　＝－ ＝＋－ ＝－＋ ＝a－b＋c. 7.如图，在三角形ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝______. 答案　0 解析　因为D是边BC的中点，所以＝， 所以－＋＝＋－＝－＝0. 8．在矩形ABCD中，||＝2，||＝4，则|＋－|＝________，|＋＋|＝________. 答案　4　8 解析　在矩形ABCD中，因为＋－＝＋＋＝＋，所以|＋－|＝2||＝4.因为＋＋＝＋＋＝＋，所以|＋＋|＝2||＝8. 9.如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作： (1)b＋c－a； (2)a－b－c. 解　(1)如图所示，以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c， 所以b＋c－a＝－＝. (2)由(1)知，＝b＋c， 则a－b－c＝－＝. 10．已知在△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积． 解　由已知得||＝||， 以，为邻边作平行四边形OACB如图， 且＝a＋b，＝a－b， 由于|a|＝|b|＝|a－b|， 则OA＝OB＝BA， ∴△OAB为正三角形，四边形OACB为菱形， ∴|a＋b|＝||＝2×＝2， S△OAB＝×2×＝. 11．(多选)已知点O，N在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，则点O，N分别是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 答案　AC 解析　因为||＝||＝||，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为△ABC的外心；由＋＋＝0，得＋＝－＝，由中线的性质可知点N在AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为△ABC的重心． 12．已知非零向量a与b同向，则a－b(　　) A．必与a同向 B．必与b同向 C．可能与a同向、反向也可能是0 D．不可能与b同向 答案　C 解析　向量a与b同向， 当|a|>|b|时，a－b与a同向； 当|a|<|b|时，a－b与a反向； 当|a|＝|b|时，a－b＝0. 13．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是(　　) A．[3,8] B．(3,8) C．[3,13] D．(3,13) 答案　C 解析　∵||＝|－|且|||－|||≤|－|≤|A|＋||， ∴3≤|－|≤13，∴3≤||≤13. 14．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________. 答案　13 解析　∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°， ∴||2＋||2＝||2，∴||＝13. ∵＝a，＝b， ∴a－b＝－＝， ∴|a－b|＝||＝13. 15．若点O是△ABC的外心，且＋＋＝0，则△ABC的内角C等于(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 答案　D 解析　∵＋＋＝0， ∴＋＝， ∴四边形OACB为平行四边形， 又点O是△ABC的外心， ∴||＝||＝||＝||＝||， ∴∠ACO＝∠BCO＝60°， 故∠ACB＝120°. 16.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，求： (1)|a＋b＋c|； (2)|a－b＋c|. 解　(1)由已知得a＋b＝＋＝， ∵＝c，∴延长AC到点E，使||＝||，如图所示， 则a＋b＋c＝， 且||＝2. ∴|a＋b＋c|＝2. (2)作＝，连接CF，则＋＝， 而＝－＝－＝a－b， ∴|a－b＋c|＝|＋|＝||且||＝2. ∴|a－b＋c|＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$