课时分层评价16 二倍角的三角函数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（湘教版）

课时分层评价16　二倍角的三角函数 (时间：40分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1.已知sin α＝，则cos(π－2α)＝(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：B 解析：cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×()2－1＝－. 2.化简·cos 28°的结果为(　　) A.sin 28° B.sin 28° C.2sin 28° D.sin 14°cos 28° 答案：A 解析：原式＝tan 28°·cos 28°＝sin 28°，故选A. 3.化简＝(　　) A.1 B.2 C. D.－1 答案：B 解析：＝＝＝2. 4.已知α∈，sin(π－2α)＝－，则sin α－cos α＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：D 解析：由已知得sin 2α＝－，即2sin αcos α＝－，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.又α∈，所以sin α＜cos α，所以sin α－cos α＝－，故选D. 5.在△ABC中，若sin Bsin C＝cos2，则△ABC是(　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案：B 解析：由sin Bsin C＝cos2得 sin Bsin C＝， 所以2sin Bsin C＝1＋cos A， 所以2sin Bsin C＝1＋cos[π－(B＋C)] ＝1－cos(B＋C)， 所以2sin Bsin C＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C， 所以cos Bcos C＋sin Bsin C＝1， 所以cos(B－C)＝1. 又因为－180°＜B－C＜180°，所以B－C＝0°. 所以B＝C，所以△ABC是等腰三角形. 6.设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是　　　　　　　. 答案： 解析：因为sin 2α＝2sin αcos α，而sin 2α＝－sin α，α∈， 故cos α＝－，则α＝， 所以tan 2α＝tan ＝tan(π＋)＝tan ＝. 7.sin 50°(1＋tan 10°)的值　　　　. 答案：1 解析： sin 50°(1＋tan 10°) ＝sin 50°× ＝ ＝＝ ＝＝＝ ＝1. 8.已知α，β均为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝，则tan α＝　　　　，β＝　　　　. 答案：　 解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin2α) ＝sin αcos α， 即2sin2α＝sin αcos α. 因为α为锐角，所以sin α≠0， 所以2sin α＝cos α，即tan α＝. 方法一：由tan(β－α)＝＝＝，得tan β＝1. 因为β为锐角，所以β＝. 方法二：tan β＝tan[(β－α)＋α]＝ ＝＝1. 因为β为锐角，所以β＝. 9.(10分)已知α，β均为锐角，sin α＝，sin β＝，求下列各式的值： (1)sin 2α＋cos2； (2)α＋β. 解：(1)因为α，β均为锐角，sin α＝， 所以cos α＝ ＝， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝， cos β＝ ＝， 则cos2＝＝， 所以sin 2α＋cos2＝＋＝. (2)因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝， 又因为0＜α＋β＜π，所以α＋β＝. 10.(10分)某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°； cos280°＋cos2(－50°)－sin 80°sin(－50°)； cos2170°＋cos2(－140°)－sin 170°sin(－140°). (1)求出这个常数； (2)结合(1)的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 解：(1)cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15° ＝2cos215°－sin215° ＝1＋cos 30°－(1－cos 30°) ＝1＋－×＝. (2)推广：当α＋β＝30°时， cos2α＋cos2β－sin αsin β＝. 证明：因为α＋β＝30°，所以β＝30°－α， cos2α＋cos2β－sin αsin β ＝cos2α＋cos2(30°－α)－sin αsin(30°－α) ＝cos2α＋(cos α＋sin α)2－sin α·(cos α－sin α) ＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos αsin α＋sin2α ＝cos2α＋sin2α＝. 11.(5分)17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，＝.根据这些信息，可得sin 234°＝(　　) A. B.－ C.－ D.－ 答案：C 解析：由图可知，∠ACB＝72°，且cos 72°＝＝， 所以cos 144°＝2cos272°－1＝2×()2－1＝－， 则sin 234°＝sin(144°＋90°)＝cos 144°＝－. 故选C. 12.(15分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 解：(1)选择②式，计算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15° ＝1－sin 30°＝1－＝. (2)三角恒等式为： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 证明如下： 方法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ＝sin2α＋cos2α＝. 方法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α ＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α) ＝1－cos 2α－＋cos 2α＝. 学科网（北京）股份有限公司 $