第3章 复数 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（湘教版）

章末综合提升 素养一　数学抽象 　　数学抽象是数学的基本思路，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在本章中，主要体现在复数的基本概念中. 题型一　复数的概念 (1)设i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a＝(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 (2)i是虚数单位，复数z＝a＋i(a∈R)满足z2＋z＝1－3i，则｜z｜＝(　　) A.或 B.2或5 C. D.5 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)因为a＋＝a＋ ＝a＋＝a－2－4i是纯虚数， 所以a－2＝0，即a＝2.故选C. (2)因为z2＋z＝(a＋i)2＋a＋i ＝a2－1＋a＋(2a＋1)i＝1－3i， 所以解得a＝－2. 所以z＝－2＋i，故｜z｜＝＝. 故选C. 素养二　数学运算 　　数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.在本章中，主要表现在复数的四则运算中. 题型二　复数的四则运算 (1)已知复数z＝1＋i(i为虚数单位)，则z2＋＝(　　) A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i (2)复数＝(　　) A.－i B.－1 C.－i D.－i 答案：(1)A　(2)A 解析：(1)因为z＝1＋i， 所以z2＋＝(1＋i)2＋＝2i＋＝1＋i.故选A. (2)＝＝＝＝－i，故选A. 素养三　直观想象 　　直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，在本章中，主要表现在复数z、复平面上的点Z及向量之间的相互联系中. 题型三　复数的几何意义 (1)在复平面内，复数z满足(1－i)z＝1＋i＋(2i)2，则复数z对应的点位于(　　) 学生用书⬇第81页 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为(　　) A.1＋i B.－1＋i C.－1－i D.－1±i 答案：(1)C　(2)D 解析：(1)由已知得(1－i)z＝－3＋i，则z＝＝＝＝－2－i， 所以复数z对应的点为(－2，－1)，位于第三象限，故选C. (2)设复数z在复平面内对应的点的坐标为Z(a，b). 根据题意可画图形如图所示. 因为｜z｜＝2，且与x轴正方向的夹角为120°， 所以a＝－1，b＝±， 即点Z的坐标为(－1，)或(－1，－). 所以z＝－1＋i或－1－i. (2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i 答案：C 解析：因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C. 溯源：(湘教必修第二册P109习题3.2T6)根据下列条件，求z. (1)z(1＋i)＝2；(2)z－1＋zi＝－4＋4i. 点评：高考题与教材习题题型一致，都是考查复数的运算，解题方法完全相同. (2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则＝(　　) A.0 B.1 C. D.2 答案：C 解析：若z＝－1－i，则＝＝.故选C. 溯源：(湘教必修第二册P114习题3.3T4)已知复数－1＋i，－3－4i，4＋3i，4i，－i.(2)求各复数的模； 点评：高考题与教材习题题型一致，都是考查复数的模的计算，解题方法完全相同. (2024·全国甲卷理)若z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　) A.10i B.2i C.10 D.2 答案：A 解析：由z＝5＋i⇒＝5－i，z＋＝10，则i＝10i.故选A. (2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　) A.－i B.i C.0 D.1 答案：A 解析：因为z＝＝＝＝－i，所以＝i，即z－＝－i.故选A. 溯源：(湘教必修第二册P114练习T3)设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，求－在复平面内对应的点位于第几象限. 点评：以上两道高考试题都是考查共轭复数的概念性质与复数运算的，与教材练习题基本一致，比教材练习题考查面更全面. (2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：A 解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限.故选A. (2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案：C 解析：因为(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以解得a＝1.故选C. 溯源：(湘教必修第二册P107例2)计算： (1)(1＋2i)(4－3i)；(2)(1＋i)2；(3)(1－i)2；(4)(1＋i)1 000. 点评：以上两道高考题和教材例题考查的角度基本一致，都是简单的复数乘法运算. 学科网（北京）股份有限公司 $