第2章 三角恒等变换 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（湘教版）

章末综合提升 学生用书⬇第65页 素养一　逻辑推理 　　逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是我们在数学活动中进行交流的基本思维品质，在本章中，主要表现在公式变形运用中. 题型一　公式变形运用 (1)求值：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝　　　　. 答案：1 解析：因为tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)， 又tan 30°＝tan(10°＋20°)＝＝， 所以3(tan 10°＋tan 20°)＝(1－tan 10°tan 20°)， 所以(tan 10°＋tan 20°)＝1－tan 10°tan 20°， 所以(tan 10°＋tan 20°)＋tan 10°tan 20°＝1， 所以tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1. (2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状. 解：因为tan A＋tan B＝tan Atan B－1， 所以(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1， 所以＝－， 所以tan(A＋B)＝－. 又0＜A＋B＜π，所以A＋B＝，所以C＝. 因为tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝， 所以tan B＋＋tan B＝，tan B＝， 所以B＝，所以A＝，所以△ABC为等腰钝角三角形. 素养二　数学建模 　　数学建模是对实际问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.在本章中体现在三角函数在实际问题中的应用. 题型二　三角函数在实际问题中的应用 某公司的职工活动室全天对职工开放，机动工作人员经过长期统计得到的时间t(0≤t≤24)(h)与到活动室活动人数y(人)的关系如下表： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 100 150 100 50 100 150 100 50 100 (1)选用一个三角函数模型来近似描述这个活动室的活动人数y与时间t的函数关系； (2)若活动室的活动人数达到140人时需机动工作人员进入活动室帮助管理，则机动工作人员每天在活动室需要工作多长时间(sin≈)？ 解：(1)以时间t为横坐标，活动人数y为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示. 根据图象，可考虑用函数y＝Asin(ωt＋φ)＋h描述人数与时间之间的函数关系. 由图象和数据，可知A＝50，h＝100，T＝12，φ＝0. 由T＝＝12，得ω＝. 所以这个活动室的活动人数y与时间t之间的函数关系式为y＝50sin＋100，t∈[0，24]. (2)由y≥140，即y＝50sin＋100≥140，得sin≥， 若sin＝，在[0，24]内可得t1＝1.8，t2＝6－1.8＝4.2，t3＝12＋1.8＝13.8，t4＝18－1.8＝16.2， 所以机动工作人员每天在活动室需要工作的时间为t2－t1＋t4－t3＝4.8(h). 学生用书⬇第66页 素养三　数学运算 　　数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.在本章中，主要表现在三角函数求值中. 题型三　三角函数求值 已知锐角α，β满足cos α＝，sin(α－β)＝－，求sin β的值. 解：因为α，β是锐角，即0＜α＜，0＜β＜， 所以－＜α－β＜， 因为sin(α－β)＝－＜0， 所以cos(α－β)＝， 因为cos α＝，所以sin α＝， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×＋×＝. 素养四　直观想象 　　直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，在本章中，主要表现在由图象求函数的解析式中. 题型四　由图象求函数的解析式 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，｜φ｜＜，且图象如图所示，求其解析式. 解：方法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以 ω＝2，又过点，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)得－×2＋φ＝0，即φ＝，所以f(x)＝3sin. 方法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，又图象过点， 所以f＝3sin＝0， 所以sin＝0，－＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为｜φ｜＜，所以k＝0，φ＝，所以f(x)＝3sin. 方法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin 2x向左平移个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sin＝3sin. (2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cos(α＋)sin β，则(　　) A.tan(α－β)＝1 B.tan(α＋β)＝1 C.tan(α－β)＝－1 D.tan(α＋β)＝－1 答案：C 解析：由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.故选C. (2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝(　　) A. B. C.－ D.－ 答案：B 解析：因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝，则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， 所以cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝.故选B. (2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　) A.－3m B.－ C. D.3m 答案：A 解析：由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m　①.由tan αtan β＝2得＝2　②，由①②得所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.故选A. 溯源：(人教A必修第一册P255T15(1))已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，求tan αtan β的值. 点评：高考试题和教材习题都涉及cos(α＋β)，cos(α－β)，tan αtan β三个量，是知二求一问题，是较为经典的源于教材的题目. 学生用书⬇第67页 (2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝　　　　. 答案：－ 解析：由题知tan＝＝＝－2，即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z，2mπ＋π＜β＜2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π＜α＋β＜2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan(α＋β)＜0，所以α＋β是第四象限角，故sin＝－. (2024·全国甲卷) 已知＝，则tan(α＋)＝(　　) A.2＋1 B.2－1 C. D.1－ 答案：B 解析：根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan(α＋)＝＝＝2－1.故选B. 溯源：(湘教必修第二册P73例7)已知tan α＝，分别求下列各式的值. (1)tan(α＋)；(2)tan(α－). 点评：高考题中的条件＝化简结果为tan α＝1－，所以高考题与教材习题的考查角度完全一致，只是换了一个数值而已. (2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为cos α＝1－2sin2＝，而α为锐角， 所以sin＝＝＝＝.故选D. 溯源：(湘教必修第二册P85练习T1)已知cos α＝，且＜α＜2π，求sin，cos 和tan的值. 点评：高考题及教材习题均考查正弦的半角公式，只是角的取值范围不同. (2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B； (2)求的最小值. 解：(1)因为＝＝＝，即sin B＝cos Acos B－sin Asin B＝cos＝－cos C＝， 而0＜B＜，所以B＝. (2)由(1)知，sin B＝－cos C＞0， 所以＜C＜π，0＜B＜. 而sin B＝－cos C＝sin， 所以C＝＋B，即有A＝－2B，所以B∈，C∈， 所以＝＝ ＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4－5. 当且仅当cos2B＝时取等号，所以的最小值为4－5. (2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A； (2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长. 解：(1)法一：(辅助角公式) 由sin A＋cos A＝2可得sin A＋cos A＝1，即sin(A＋)＝1， 由于A∈(0，π)⇒A＋∈(，)，故A＋＝，解得A＝. 法二：(同角三角函数的基本关系) 由sin A＋cos A＝2，又sin2A＋cos2A＝1，消去sin A得到， 4cos2A－4cos A＋3＝0⇔＝0，解得cos A＝， 又A∈(0，π)，故A＝. (2)由题意得bsin C＝csin 2B⇔sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B， 又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，进而cos B＝，得到B＝， 于是C＝π－A－B＝， sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝， 由正弦定理可得＝＝， 即＝＝，解得b＝2，c＝＋， 故△ABC的周长为2＋＋3. 学科网（北京）股份有限公司 $