圆：切线长定理、切线的证明复习讲义-2026年中考数学一轮复习高频考点复习讲义

圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 考点目录 切线长定理 切线的证明 知识点解析 1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角. 3. 图示、符号表示与推论 （1）点为外一点，过点作的两条切线，切点分别为、. （2）. （3）、. （4）. （5） （6）、、、四点共圆，圆心为线段的中点. 4.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 5.切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径． 6.证明切线的基本思路： （1）思路一：若已知切点，则连接切点与圆心的半径，证明与切点相连的半径垂直于直径.（连半径，证垂直） （2）思路一：若不知道切点，则过圆心作切线的垂线，证明该垂线段的长度等于半径.（作垂直，证半径） 7.与角度相关的证明思路： （1）基础图形中的角度计算：三角形内角和为，四边形内角和为，边形内角和为. （2）特殊三角形：等腰三角形两个底角相等、三线合一；直角三角形两个锐角互余；等边三角形三个角均为. ※圆中任意两条半径可构成等腰三角形 （3）圆周角定义及其推论 ①同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半； ②同弧（等弧）所对的圆周角相等； ③直径所对的圆周角为直角； ④圆的内接四边形对角互补. （4）平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补. （5）全等三角形对应角相等 ※证明全等的方法：、、、、 真题速递 1．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，是的直径，，分别切于点B、C，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（   ） A．8 B． C． D．9 4．（2025·黑龙江·中考真题）如图，、是圆O的切线，A、B为切点，是直径，， 5．（2025·四川泸州·中考真题）如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为 ． 6．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 7．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 考点一 切线长定理 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 例2．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，，分别与相切于，两点，连接，若，，则的周长为（    ） A．18 B．12 C． D． 例3．（25-26九年级上·天津南开·期末）如图，的内切圆与分别相切于点，且，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，已知为的直径，切于B，切于D，交的延长线于点E，若，则的长为 ． 例5．（25-26九年级上·山西阳泉·月考）如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形（），则剪下的的周长为 ． 例6．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为 ． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，、是圆O的切线，A、B为切点，是直径，，的度数为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·云南怒江·月考）如图，均是的切线，切点分别是P，C，D．若，则的长是（） A．8 B．10 C．12 D．15 变式3．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，、、是的切线，点、、是切点，分别交、于、两点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·云南昆明·月考）如图，的内切圆与，，分别相切于点D、E、F，且，，，则的长为 ． 变式5．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图， 的周长为，， 是的内切圆，的切线与、分别交于点、， 则的周长为 ． 变式6．（25-26九年级上·福建南平·月考）如图，分别与相切于点A，B，C三点，若，则的周长为 ． 考点二 切线的证明 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，连接，是延长线上的一点，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的长． 例2．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，点O为的三等分点，且靠近点A，以点O为圆心，的长为半径的圆经过点D，交于点E． (1)求证：为的切线； (2)当时，求阴影部分的面积． 例3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 例4．（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，是的直径，为上一点，为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，为的外接圆的直径，为的延长线上一点，连接并延长至点，过点E作于点，交于点G．若 (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 变式2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的外接圆，，延长至点，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径，求的长． 变式3．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图1，是的直径，，弦 (1)求证：是的切线； (2)如图2，延长交于点，若，求长． 变式4．（2026·湖北黄石·一模）如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 考点目录 切线长定理 切线的证明 知识点解析 1.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角 3.图示、符号表示与推论 (1)点A为⊙O外一点，过点A作⊙O的两条切线，切，点分别为B、C. (2)AB=AC. B (3)OB⊥AB、0C⊥AC. (4)△0AB兰△0AC. (5)OA⊥BC (6)O、A、B、C四，点共圆，圆心为线段OA的中点. 4.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 5.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 6.证明切线的基本思路： (1)思路一：若已知切，点，则连接切点与圆心的半径，证明与切点相连的半径垂直于直径.（连半径，证垂直） (2)思路一：若不知道切点，则过圆心作切线的垂线，证明该垂线段的长度等于半径.（作垂直，证半径） 7.与角度相关的证明思路： (1)基础图形中的角度计算：三角形内角和为180°，四边形内角和为180°，边形内角和为180°. (2)特殊三角形：等腰三角形两个底角相等、三线合一；直角三角形两个锐角互余；等边三角形三个角均为60°. ※圆中任意两条半径可构成等腰三角形 (3)圆周角定义及其推论 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 ①同孤（等孤）所对的圆周角是圆心角的一半： ②同孤（等孤)所对的圆周角相等； ③直径所对的圆周角为直角： ④圆的内接四边形对角互补 (4)平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补. (5)全等三角形对应角相等 ※证明全等的方法：SSS、SAS、AAS、ASA、HL 真题速递 1.(2024甘肃甘南中考真题)如图，AB是⊙0的直径，DB,DE分别切O0于点B、C,若∠ACE=18°，则 ∠D的度数是() B 0 A E C D A.18° B.36° C.48° D.72° 【答案】B 【详解】解：连接BC, B O C D DB,DE分别切OO于点B、C, :.BD=DC, LDBC=∠DCB, AB是OO的直径， ∠ACB=90°， ∠DBC=∠DCB=90°-18°=72°， 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 ∠D=180°-72°×2=36°. 故选：B. 2.(2024四川泸州中考真题)如图，EA,ED是⊙0的切线，切点为A,D,点B,C在⊙0上，若 ∠BAE+∠BCD=236°，则∠E=() B A.56° B.60° C.68° D.70° 【答案】C 【详解】解：如图，连接AD, A B 四边形ABCD是OO的内接四边形， ∠BAD+∠BCD=180°， ∠BAE+∠BCD=236°， .∠BAE+∠BCD-(∠BAD+∠BCD)=236°-180°， 即∠BAE-∠BAD=56°， ∠EAD=56°， ~EA,ED是OO的切线，根据切线长定理得， EA=ED, ∠EAD=∠EDA=56°， ∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-56°-56°=68°. 故选：C 3.(2024江苏南京中考真题)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD,CD分别与扇形BAF相切于点A,E,若 AB=15,BC=17,则AD的长为() 3 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 B A.8 B.8.5 c.55 D.9 【答案】D 【详解】解：连接BE,作DH⊥BC于点H, D 则∠BHD=∠CHD=90°， :AD,CD分别与扇形BAF相切于点A,E,AB=15,BC=17, :AB=EB=I5,AD⊥AB,CD⊥EB,AD=ED, ∴.∠BAD=∠BEC=90°， :CE=VBC2-EB2=V172-152=8, :AD∥BC, LADH=LCHD=90°， :∠BAD=∠ADH=∠BHD=90°， :四边形ABHD是矩形， :BH=AD,DH=AB=15, :CH =BC-BH =17-AD, 在△DHC中，根据勾股定理可得： 152+17-AD)2=(8+AD)2, 解得：AD=9, 故选：D. 4.(2025黑龙江中考真题)如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，LBAC=35°，∠P= 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 B 【答案】70° 【详解】解：PA是切线， PA⊥AC,即∠PAC=90°， ∠BAC=35°， ∠PAB=∠PAC-∠BAC=55°， PA、PB是圆O的切线， :.PA=PB, .∠PBA=∠PAB=55°， ∠P=180°-∠PBA-∠PAB=180°-55°-55°=70°. 故答案为：70°. 5.(225·四川泸州中考真题)如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=10,⊙0与梯形ABCD的各边都相切， 且⊙0的面积为16π，则点B到CD的距离为_ A D 0 B 【答案】4 【详解】解：设AD,CD,BC分别与OO的切点记为点E,F,G,连接OE,OG,OF,过点D作DH⊥BC于点H,过点 B作BK⊥CD于点K,过点A作AM⊥BC于点M, 、K B MGH OE⊥AD,OF⊥CD,OG⊥BC,DE=DF,CD=CG, ∠OGC=∠OED=∠DHG=∠DHC=∠BKC=90°， 梯形ABCD,AD∥BC, 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 点E,O,G共线， 四边形EGHD为矩形， ∴EG=DH,DE=HG, ~00的面积为16π， ∴π0E2=16元， 0E=4, EG=20E=8=DH, 设DE=DF=HG=x, ×CD=10, ∴CF=CG=10-x, CH=CG-HG=10-2x ~在Rt△DHC中，DH+HC2=DC2, ∴82+10-2x)2=102, 解得：x=2或x=8(舍)， CH=10-2×2=6, 同理可得：AE=MG=2,BM=6, BC=BM+MG+GH+CH=6+2+2+6=16, ∠C=∠C,∠BKC=∠DHC=90°， .△BKC∽△DHC, BK BC DH DC' BK 16 810 “BK=4 点B到CD的距离为4 , 故答案为：5 64 6.(2025·江苏盐城中考真题)如图，AB是00的弦，过点B作直线EF,以O为顶点作∠AOC=90°，分别交EF、 AB于点C、D,若CB=CD. 6 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 A E C B F (1)试判断直线EF与⊙0的位置关系，并说明理由： (@若⊙0的半径为3，tan∠0AD,求BC的长 【答案】(1)EF与O0相切，理由见解析 (2)BC=4 【详解】(1)解：EF与⊙0相切； 理由如下：如图，连接OB, E C B CB=CD ∠CDB=LCBD, ∠A0C=90°， ∴.∠AD0+∠0AD=90°， 又∠ADO=LCDB, ∴.∠ADO=∠CDB=∠CBD, ∠CBD+∠0AD=90°， 0A=0B, ∠OAD=∠OBD, LCBD+∠OBD=∠CBO=90°，即OB⊥BC, ~OB为半径， ∴EF与O0相切： (2)解：如(1)图，∠CB0=90°， 00的半径为3， 0A=0B=3 ∠A0C=90°，an∠0AD=1」 3 D01 ∴.tan∠OAD= A0 3' 7 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 “0D=1, BC=CD=x,CO=CD+DO=x+1, 在RtaB0C中，CO=CB2+OB2, (x+)=32+x2 解得：x=4 ∴BC=4. 7.(2025山东济南中考真题)如图，AB是⊙0的直径，C为00上一点，P为⊙0外一点，OP∥AC,且 L0BP=90°，连接PC. A B (1)求证：PC与00相切； (2)若A0=3,0P=5,求AC的长. 【答案】（①）见解析 【详解】(1)证明：如图，连接0C, P 0C=0A, :∠0AC=L0CA, :0P∥AC, :∠0AC=∠BOP,∠OCA=∠COP, ∠COP=∠BOP, 在△COP和△BOP中， OC=OB ∠COP=∠BOP OP=OP :ACOP≌△BOP(SAS, 8 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 :∠0CP=L0BP=90°， :.OC L PC, :PC与00相切： (2)解：如图，连接BC交OP于点D, y D P:△COP≌△BOP, B :PC=PB,OB=OC, :OP垂直平分BC, :A0=B0=3,0P=5,∠0BP=90°， ·BP=V0P2-0B2=V52-32=4, t5m08-8p-0p.80. ·BD=OB:B=3×4=兰， OP 5 24 :BC=2BD= :AB是O0的直径， :AB=20A=6,∠ACB=90°， ac=-c-6-- 0 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 考点一 切线长定理 【例题分析】 例1.(25-26九年级上福建莆田期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心，AD为半 径的弧恰好与BC相切，切点为E,若AB=l,CD=3,求半径AD的长是() A E D C A.2 B.5 C.5 D.5 【答案】C 【详解】解：连接DB、DE, A B ~AD⊥AB,AD是⊙D的半径， AB是⊙D的切线， BC是⊙D的切线， AB=BE=I,∠ABD=∠EBD,DE⊥BC, AB∥CD, ∠ABD=∠BDC, ∠EBD=∠BDC, DC=BC=3, EC=BC-BE=3-1=2, 在R△DEC中，DE=V32-22=√5， 六AD=DE=√5， 故选：C. 例2.(25-26九年级上广东汕头·期末)如图，PA,PB分别与O0相切于A,B两点，连接AB,若∠APB=60°， PA=6,则△ABP的周长为() 10