专题 2.1 一元二次方程和它的解（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 2.1 一元二次方程和它的解（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】一元二次方程的定义 1 ★【题型 1】一元二次方程的判断 1 ★【题型 2】一元二次方程的解(根) 3 【知识点二】一元二次方程的一般形式 5 ★【题型 3】一元二次方程的一般形式 5 ★【题型 4】由一元二次方程定义求参数 7 ★★【题型 5】由一元二次方程的解求代数式的值（整体思想） 9 ★★【题型 6】由一元二次方程的解估算 10 ★★【题型 7】一元二次方程的解与代数式化简求值综合 14 二.中考模拟真题 17 （一）单选题（6题） 17 （二）填空题（6题） 20 （三）解答题（2题） 22 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. ★【题型 1】一元二次方程的判断 【例题1】（24-25九年级上·甘肃平凉·月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 解：A：是分式方程，不是整式方程，故选项错误； B：可变形为，是一元一次方程，故选项错误； C：符合一元二次方程的定义，故选项正确； D：中，当时，不是一元二次方程，故选项错误； 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·广西河池·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据“只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程”这三个要点逐一判断选项． 解：A选项：方程中含有分式，是分式方程，不符合整式方程的要求，所以，不是一元二次方程； B选项：方程含有两个未知数和，是二元方程，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元二次方程； C选项：方程含有两个未知数和，是二元方程，不符合“只含一个未知数”的要求，不是一元二次方程； D选项：方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为：． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 解：A 、，最高次数为，故A选项不符合题意； B、是二元一次方程，故B选项不符合题意； C、是一元二次方程，故C选项符合题意； D、不是整式方程，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·月考）下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 解：A、当时，不是关于的一元二次方程，故选项不符合题意； B、是分式方程，故选项不符合题意； C、方程含有两个未知数，故选项不符合题意； D、整理得：，是一元二次方程，故选项符合题意； 故选：D． ★【题型 2】一元二次方程的解(根) 【例题1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程等价于，从表格中直接找出时对应的值即可． 解：∵等价于， 从表格中，当时，；当时，， ∴方程的根为，． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元测试）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，通过变形将所求方程转化为与已知方程形式一致的式子，利用已知方程的解来求解新方程的根是解题关键． 解：∵ ∴ ∴ ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴ ∴． ∴一元二次方程必有一根为． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·山东德州·月考）阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你写出正确的解答． 已知：是关于的方程的一个根，求的值． 解：把代入原方程，化简得，两边同除以，得， ，把代入原方程检验可知：符合题意． 答：的值是． 【答案】有错，的值是，正确解答见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是注意当时的特殊情况，不能直接在等式两边除以． 将代入方程，得到关于的方程，然后通过因式分解求解，同时要考虑的情况． 有错，不能直接约去，也有可能，因为当时，是不能作分母的． 正确的解答为：正确的解答为：把代入原方程，化简得， ． 将的三个值代入方程检验，均符合题意，故的值是． 【变式3】（25-26九年级上·全国·周测）结论开放题写出一个以2和3为根的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题根据一元二次方程解的定义即可得到方程。 解：根据一元二次方程的解的定义， 则二次项系数为1的方程为， 即; 故答案为：（答案不唯一）. 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，解题的关键是熟记定义解题。 【知识点二】一元二次方程的一般形式 一般地，我们把（为已知数，）称为一元二次方程的一般形式，其中分别称为二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数. ★【题型 3】一元二次方程的一般形式 【例题3】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）将二次函数 化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数是，一次项系数是，常数项是9 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．把化为一般形式，即可得到答案． 解：， 即， 则二次项系数是，一次项系数是，常数项是9． 【变式1】（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是，则这个一元二次方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，逐项判断，即可求解． 解：A选项：是一元一次方程，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意； B选项：的二次项系数为1，常数项为2，故本选项不符合题意； C选项：的常数项为，故本选项不符合题意； D选项：将移项得，其中二次项系数为3，常数项为，故本选项符合题意； 故选D 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）一元二次方程化为一般形式时的常数项是 ． 【答案】 【分析】将方程左边展开，移项整理成一元二次方程的一般形式，即可得到常数项． 解：方程左边展开：， 原方程化为：， 移项得：， 合并同类项：， 所以一般形式为 ， 常数项为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是先展开、再移项合并，将方程整理为的标准形式，从而确定常数项． 【变式3】（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）（2）（3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． ★【题型 4】由一元二次方程定义求参数 【例题4】（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程未知数的最高次数为2且二次项系数不为零是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列关于m的方程求解即可． 解：根据一元二次方程的定义可得： ，解得：． 所以当时，该方程是一元二次方程． 【变式1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．任意实数 B．3或 C．3 D． 【答案】D 【分析】将 代入方程，得到关于 m 的方程，再结合一元二次方程的定义（二次项系数不为零）确定 m 的值．本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解．解题的关键在于深刻理解一元二次方程的定义． 解：∵是方程的一个根， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ 或 ． 又∵ 方程为一元二次方程， ∴ 二次项系数 ，即 ， ∴， 故选D． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解此定义是关键；根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零，即可求解． 解：由题意，方程为一元二次方程， 则满足， 解得， 即或． 当时，二次项系数；当时，二次项系数． 故均符合条件． 故答案为：或． 【变式3】（25-26九年级上·江西九江·月考）已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． （1）解：∵方程是一元一次方程， 则且． 解得； （2）解：方程是一元二次方程， 则， 解得． ★★【题型 5】由一元二次方程的解求代数式的值（整体思想） 【例题5】（25-26九年级上·北京海淀·期末）已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及平方差公式，熟练掌握一元二次方程的解及平方差公式是解题的关键；由题意易得，然后根据整体代入进行求解即可． 解：原式 ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴原式． 【变式1】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．13 B． C．39 D．65 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 利用m是方程的根，满足方程关系，将所求表达式中的用m表示后代入计算． 解：∵m是方程的根， ∴，即， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，整式的化简求值，利用 m 是方程的根，得到 ，再根据多项式乘以多项式的运算法则把所求式子展开为，据此求解即可． 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 【变式3】（25-26九年级上·北京·期末）若m是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，完全平方公式，平方差公式，准确计算是解题的关键． 首先根据根的定义得到，得到，然后利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后整体代入即可解答． 解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴ ∴， ， ． ★★【题型 6】由一元二次方程的解估算 【例题6】（23-24九年级上·山西吕梁·月考）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·月考）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令（，a，b，c为常数），根据表格信息，进而可求解． 解：令（，a，b，c为常数）， 当时，， 当时，， 时，二次函数的函数值范围为， 即方程的一个解x的范围是． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃张掖·开学考试）在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根x的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 解：由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根x的范围是． 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． （1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． ★★【题型 7】一元二次方程的解与代数式化简求值综合 【例题7】（25-26九年级上·山东临沂·月考）有人说：“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学习数学的重要法宝． 阅读下列例题： 设，求的值． 解：由得， 代入，有（整体代入或换元思想） 试一试：当是一元二次方程的一个根时， 求：的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及整体代入法． 由是一元二次方程的一个根得，，然后代入所给计算即可． 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 【变式1】（25-26九年级上·重庆万州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．18 B．20 C．21 D．22 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，掌握整体思想是解题的关键． 利用方程根的定义，将所求代数式通过方程变形降次，逐步化简计算． 解：是方程的根， ，且， ，， 左右两边同时除以m得，，则， 原式． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）已知、、是非零实数，关于的一元二次方程，，有公共解，则代数式的值为 ． 【答案】或 【分析】设公共解为，代入三个方程后相加得到关于和的关系，分两种情况讨论，分别代入代数式计算其值即可． 解：设公共解为， 则，，， 三式相加得， 即， ∵， ∴或， 当时，即时， 原式 ； 当时，分别代入三个方程可得，， 联立两式解得， 此时； 综上所述，代数式的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，因式分解的应用，求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中m为方程的解． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的加减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后根据m为方程的解，可以求得，然后代入化简后的式子即可解答本题． 解：原式 为的解 ， ∴， 原式． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·四川绵阳·一模）如果关于x方程是一元二次方程，那么k的值是（   ） A．1 B． C．2 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，方程需满足：①未知数的最高次数为2；②二次项系数不为0．由条件可得关于k的方程，即可求解． 解：∵关于x方程是一元二次方程， ∴，且， 解得， 故选：A． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，据此分析各选项． 解：A、，展开得，是一元二次方程； B、化简得，不是一元二次方程； C、 ，若，则方程不是二次方程，因此不一定是一元二次方程； D、不是整式方程，故不是一元二次方程． 故选：A． 3．（2025·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A．2028 B．2022 C． D．2025 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键． 利用一元二次方程根的定义，将代入方程求得的值，再代入代数式计算即可． 解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴， ∴ ． 故选A． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】B 【分析】本题考查利用函数值的连续性估算方程近似解，需关注函数值跨过目标值的区间． 通过比较表格中的值与1的大小关系，确定函数值从小于1到大于1的区间，从而得到方程解的范围． 解：当时，， 当时，， ∴方程的一个解的范围是， 故选：B． 5．（2025·广东珠海·一模）设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，再把，代入所求式子中计算求解即可． 解：∵是方程的一个实根， ∴， ∴，， ∴ ， 故选：B． 6．（2025·浙江绍兴·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 把m代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可． 解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故选C （二）填空题（6题） 7．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的含义是解题关键． 将方程的根代入原方程中，得到关于a的方程，解这个关于a的方程即可． 解：将 代入方程 ，得 ，即 ， 解得 ． 故答案为：5． 8．（2025·四川达州·中考真题）已知关于的方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 9．（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 10．（2025·贵州贵阳·二模）已知为方程的根，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用． 把代入已知方程，求得，然后将其整体代入所求的代数式求值． 解∶由题意，得 ，则 ． ． 故答案为： 11．（25-26九年级上·福建南平·月考）若是关于x的一元二次方程，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数且最高次数为2的方程叫作一元二次方程． 根据一元二次方程的定义列式计算即可． 解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：． 12．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． （三）解答题（2题） 13．（23-24九年级上·北京顺义·期末）已知是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，求代数式的值，先根据方程根的定义推出，然后将进行化简，再把代入化简后的代数式中计算即可．解题的关键是掌握一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 14．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）． (2)已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值． (3)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)4 【分析】本题主要考查了解一元二次方程解的定义，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）根据黄金方程的定义进行求解即可； （2）根据黄金方程的定义得到，则原方程为，再由a是此黄金方程的一个根，得到，解方程即可； （3）利用配方法，非负数的性质求解即可． （1）解：①是黄金方程，理由： ∵， ∴， ∴ ∴， ∴是黄金方程； ②不是黄金方程，理由： ∵ ∴ ∴， ∴， 故不是黄金方程； ③是黄金方程， ∴， ∴， ∴是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵是关于的黄金方程， ∴， ∴， ∴原方程为， ∵是此黄金方程的一个根， ∴，即 ∴， 解得或； （3）解：∵关于的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的最小值为4． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.1 一元二次方程和它的解（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】一元二次方程的定义 1 ★【题型 1】一元二次方程的判断 1 ★【题型 2】一元二次方程的解(根) 2 【知识点二】一元二次方程的一般形式 3 ★【题型 3】一元二次方程的一般形式 3 ★【题型 4】由一元二次方程定义求参数 3 ★★【题型 5】由一元二次方程的解求代数式的值（整体思想） 4 ★★【题型 6】由一元二次方程的解估算 4 ★★【题型 7】一元二次方程的解与代数式化简求值综合 6 二.中考模拟真题 6 （一）单选题（6题） 6 （二）填空题（6题） 7 （三）解答题（2题） 7 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. ★【题型 1】一元二次方程的判断 【例题1】（24-25九年级上·甘肃平凉·月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·广西河池·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·月考）下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． ★【题型 2】一元二次方程的解(根) 【例题1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元测试）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式2】（25-26九年级上·山东德州·月考）阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你写出正确的解答． 已知：是关于的方程的一个根，求的值． 解：把代入原方程，化简得，两边同除以，得， ，把代入原方程检验可知：符合题意． 答：的值是． 【变式3】（25-26九年级上·全国·周测）结论开放题写出一个以2和3为根的一元二次方程： ． 【知识点二】一元二次方程的一般形式 一般地，我们把（为已知数，）称为一元二次方程的一般形式，其中分别称为二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数. ★【题型 3】一元二次方程的一般形式 【例题3】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）将二次函数 化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【变式1】（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是，则这个一元二次方程可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）一元二次方程化为一般形式时的常数项是 ． 【变式3】（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． ★【题型 4】由一元二次方程定义求参数 【例题4】（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 【变式1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．任意实数 B．3或 C．3 D． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【变式3】（25-26九年级上·江西九江·月考）已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ ★★【题型 5】由一元二次方程的解求代数式的值（整体思想） 【例题5】（25-26九年级上·北京海淀·期末）已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【变式1】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．13 B． C．39 D．65 【变式2】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【变式3】（25-26九年级上·北京·期末）若m是一元二次方程的一个根，求代数式的值． ★★【题型 6】由一元二次方程的解估算 【例题6】（23-24九年级上·山西吕梁·月考）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【变式1】（25-26九年级上·广东深圳·月考）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃张掖·开学考试）在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根x的范围是 ． 【变式3】（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 ★★【题型 7】一元二次方程的解与代数式化简求值综合 【例题7】（25-26九年级上·山东临沂·月考）有人说：“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学习数学的重要法宝． 阅读下列例题： 设，求的值． 解：由得， 代入，有（整体代入或换元思想） 试一试：当是一元二次方程的一个根时， 求：的值． 【变式1】（25-26九年级上·重庆万州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．18 B．20 C．21 D．22 【变式2】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）已知、、是非零实数，关于的一元二次方程，，有公共解，则代数式的值为 ． 【变式3】（25-26九年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中m为方程的解． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·四川绵阳·一模）如果关于x方程是一元二次方程，那么k的值是（   ） A．1 B． C．2 D．1或 2．（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A．2028 B．2022 C． D．2025 4．（2025九年级上·全国·专题练习）根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 5．（2025·广东珠海·一模）设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 6．（2025·浙江绍兴·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 （二）填空题（6题） 7．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 ． 8．（2025·四川达州·中考真题）已知关于的方程的一个根是，则的值为 ． 9．（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 10．（2025·贵州贵阳·二模）已知为方程的根，那么代数式的值为 ． 11．（25-26九年级上·福建南平·月考）若是关于x的一元二次方程，则a的值为 ． 12．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则 ． （三）解答题（2题） 13．（23-24九年级上·北京顺义·期末）已知是方程的根，求代数式的值． 14．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）． (2)已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值． (3)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $