第28讲 解三角形（4考点+9题型）讲义-2027届高三数学一轮复习

第28讲解三角形 目录■ Contents Part1考点突破 【考点1：知识点1：基本定理公式】 【考点2：知识点2：相关应用】 【考点3：知识点3：实际应用】 【考点4：解题方法总结】 Part2题型探究 【题型一：正弦定理的应用】 【题型二：余弦定理的应用】 【题型三：判断三角形的形状】 【题型四：正、余弦定理的综合运用】 【题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】 【题型六：解三角形的实际应用】 【题型七：倍角关系】 【题型八：三角形解的个数】 【题型九：三角形中的面积与周长问题】 Part3分层通关 Part1 考点突破 【考点1：知识点1：基本定理公式】 知识点1：基本定理公式 (1)正余弦定理：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外 接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A: a b c 公式 =2R b2=c2+a2-2accosB sinA sin B sinC c2=a2+b2-2abcosC COSA=bi+e-a (1)a=2Rsin A,b=2RsinB,c=2RsinC, 2bc b 常见变形 sin A=- sinB=- sinC=c cosB=c+a-b2 (2) 2R 2R, 2R: 2ac cosC= a2+b2-c2 2ab (2)面积公式： 1 1 1 SABC=。absinC=besin A=。acsin B ny S.ABC=abe1 4R-2(a+b+e).r (r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R,r.) 10 √10 5 5 A.10 B 5 C.10 D.5 【例1】在△1BC中，角4，B,C的对边分别为a,b,c已知=26=3c=V ，则Cs A.30 B.45 C.60 D.90 【考点2：知识点2：相关应用】 知识点2：相关应用 (1)正弦定理的应用 ①边化角，角化边台a:b:c=sinA:sinB:sinC ②大边对大角大角对大边 a>b台A>B台sinA>sinB台cosA<cosB ③ 合 分 比 a+b+c a+b b+c a+c ab=c=2R sin A+sin B+sin C sin A+sin B sin B+sin C sin A+sin C sin A sin B sin C (2)△ABC内角和定理：A+B+C=π 1 sin C=sin(4+B)=sin Acos B+cos Asin Bc=acos B+bcosA 同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC -cosC=cos(4+B)=cos Acos B-sinAsinB -tan C=tan(A+B)= tan 4+tan B ③ 斜 三角形中 1-tan A.tan B tan 4+tan B+tanC tan A.tan B.tanC ④ 2 2 )=sin C Sin(A+B)=cosC cos()=s 台B=7,A+C=2 ⑤在△ABC中，内角A,B,C成等差数列 3 3 2π 3π 5π A.3 B.3 C. 4 D. 6 【例2】在△1BC中，内角4，B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,c=5,C= 3,则a 的值为( ) A.2 B.3 C.1 D.4 【考点3：知识点3：实际应用】 知识点3：实际应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯 角（如图①). 视线 北 北 西 东 线 俯角线 北偏东目标 视线 南B 一东 图① 图② 图③ 图④ 2、方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）， 3、方向角：相对于某一正方向的水平角 (1)北偏东a,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）· (2)北偏西a,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向， (3)南偏西等其他方向角类似 4、坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角0为坡角）· (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）.坡度又称为坡比. B M MN2=a2+b2-2abcos135 16 16 2sin(2a+45)-√22-√2 【例3】(24-25高一下·北京房山期末)如图，甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船 20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里 的速度由A处向南偏西60°方向行驶，当甲、乙两船相距最近时，行驶的时间为( ) C D B 70 71 7 4 A. 6小时 B.60小时 C,6小时 D.3小时 【考点4：解题方法总结】 解题方法总结 1、方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a,b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 B 关系式 a=bsin A bsin A< a≥b a>b a≤b 解的个 一解 两解 一解 一解 无解 数 2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦 定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： (1)若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； (2)若式子含有a,b,c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”： (3)若式子含有C0sx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； (4)代数变形或者三角恒等变换前置： (5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用： (6)同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A+B+C=π 3、三角形中的射影定理 在△ABC中，a=bcosC+ccos B;b=acosC+ccosA:c=bcosA+acosB 0000 题型洞察 解三角形通法：①画图标已知；②选定理（求边用余弦、求角用正弦/余弦、SSA判解 数)；③联立化简；④用面积公式收尾。遇到"最值/范围"问题，先把目标式化成单角 三角函数再求区间最值。 【例4】记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (a2+b2-c2)(acosB+bcosA)=abc (1)求C: (2)若△ABC为锐角三角形，C=2,求△ABC周长范围. Part2 题型探究 【题型一：正弦定理的应用】 【例1】在△ABC中，AC=1,BC=V5, B=名，则A为( A君 B π2π C.6或3 π2π D.3或3 【变式1】(24-25高一下江苏南京期中)在△MBC中，B=22∠BAC=60 中， ∠ABC=75 C= ,则 () A.② B.3 C.v6 D.25 【变式2】(24-25高一下北京朝阳期中)在△1BC 中，已知4=450，a=6b=32 则B的大小为( A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120 【题型二：余弦定理的应用】 【例2】(24-25高-下甘肃天水月考)在△ABC中，∠A=60,AB=2,BC=V5 则 边AC的长为( ) A.1 B V2 C.2 D. 【变式3】(24-25高一下安徽安庆月考)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为 2π a,b,c,若A= 3,a2=4bc,sinB+sinC= ) 3 15 3 A.2 B.4 C.4 D.2 【变武】在△8C中，c0s25 2=5,AC=5AB=7 ,则BC=( A.3 B.5 C.4 D.4v2 【题型三：判断三角形的形状】 【例3】在△ABC中，若sin2A>sin2B+sin2C,则△ABC的形状是( A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【变式5】(24-25高一下·安徽月考)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b, c,若c cos C=a cos A,则△ABC的形状一定是( A,等腰直角三角形 B.等腰或直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 变式6】24-25高一下贵州毕节月考)已知在BC中，A+C=元，b=ac,厕 3 △ABC的形状是() A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【题型四：正、余弦定理的综合运用】 【例4】(24-25高一下广西南宁·月考)在锐角△ABC中，a,b,c分别为内角A,B, c的对边.已知h=3,c=2,咖4= 4,则sinC=（ 6 2 √6 6 A.3 B.3 C.4 D.2 【变式7】(24-25高一下·安徽合肥期末)△ABC的三内角A,B,C所对边长分别是a, sinB-sinA√2a+c b,c,若 sin C a+b,则角B的大小为( ) 3π 5π A. 4 B. 6 c.3 D 【变式8】(24-25高一下·江苏镇江·期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, c,面积为8若a=1,C= 3,且2S=cosB+bcos4,则B=( A.6 B. c.2 7π D.12 【题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】 【例5】在1BC中，内角4，B,C所对的边分别为a,b,C,已知 bsin A=3acos B (1)求角B的大小： (②)设b=2,△4BC的面积为S,周长为L,求五的最大值. a= sint） 【变式9】已知 2.m 6=cos-sin 2 meR,函数f(x)=2a:b-m,且 π2π y=f()在区间L63上的最大值为2. (1)求m的值： 3π 若8+ √6 (2)锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 2且b=2,求 △ABC的周长I的取值范围， 【变式l0】己知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量 m=(2a,c),n=(sinC,-3) 且m⊥n. (1)求A: b3 (2)若c2△ABC 3v5 的面积为2，求a. 【题型六：解三角形的实际应用】 【例6】(25-26高一上：湖南永州开学考试)如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位 登山者到达海拔高度为n米的点A处.测得山峰顶端B的仰角为.则A、B两点之间的 距离为() B D E 海平面 m-n A.(m-n)sina米 B. sina米 m-n C.(m-n)cosa米 D. cosa米 【变式11】(25-26高一下·广东广州月考)一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东 75,距离为 2√ 12V3 6海里，灯谐C在1的北偏西30，距离为123海里，该游轮由4沿正北 方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则此时灯塔C位于游轮的 方向（用方向角作答） 【变式12】(24-25高一下·贵州黔东南期末)相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登项 拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图(1）)，如图 (2)，为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个 测量基点C与D,现测得∠BCD=30°，∠CDB=45°，BD=15m,在C点处测得该楼顶端 A的仰角为60°，则该楼的高度AB为 1m. 图1) 图(2) 【题型七：倍角关系】 【例71在△1BC中，A,B,C所对的边分别为4，b,C,且 3bsin C-c=ccos B (1)求B: (2)若b=3,求△ABC的周长1的取值范围. 【变式13】(24-25高一下江西抚州月考)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c 2asinCcosA=csin2B △ABC ,则 的形状为( A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D,等腰或直角三角形 【变式14】（25-26高下湖南张家界期中)在A1BC中，2csin2 2=c-ba,c分别为 角A,B,C的对边)，则△ABC的形状可能是( A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 【题型八：三角形解的个数】 【例8】(24-25高一下四川眉山期末)在△ABC中，A=30°，a=3,b=2,则这个三角形 有( ) A.一解 B.两解 C.无解 D.无法确定 【变式15】(24-25高一下四川成都期末)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, C,B=T =4,b=7,如果△4BC有两解，则a的值可能为( A.9 B.7V2 C.11 D.12 【变式16】在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.下列条件中能使△ABC 唯一确定的是( A.A=45°，B=60°，C=75 B.b=3,c=4,B=30° C.b=V5c=2B=60 D.b=12.c=12C=120 【题型九：三角形中的面积与周长问题】 a 【例9】在△ABC中，若∠A=60,b=,△4BC的面积S=5,则simA=() 2 A.35 B.3 2W2 2W39 C.3 D. 3 【变武17】(24-25高-下浙江月考)在AMBC中，若4C=48- 3,且5c=53 4 则△ABC的周长为 【变式181在条件Dbsin(4+C)+csinC-asin4=36 bsinAsinC,②c0sC26,③ 3 acosC+3asinC-b-c=0 中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足」 (1)求A: 回∠B4C的内角平分线交BC于点M,若A1BC的面积为25,4M=子5。求BC的 周长 Part3分层通关 【基础通关练】 1.(24-25高一下·贵州遵义·月考)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若 a2+c2-b2=4AB.CB= ,则 2.(24-25高一下陕西西安期末)在△ABC中，a=7,b=8,锐角C满足 inC=33 Γ14， cos B= 3.(24-25高一下广东江门期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为4，b,c.已 知Aπ 6,a=√2，b=2,则B=( ). A胃 B.晋读行 c D牙R 4.(24-25高-下广东湛江月考)在△1BC中，若4+B=2C,a=1,c=5 则B、 ( c. 2元 5π A.2 B.3 D.6 5.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，若 3 3sin'C=sinA+sinB+2sin Asin B,cosC-,4=( ) 4v6 2W6 A.3 B.4 C.3 D.5 6.在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b2-2 csin B+c2=a2,且 tan A a=2,则tan BtanC的最大值为( 5-1 5+1 A.5-2 B.3-V5 C.2 D.4 7.在M△1BC中，内角AB,C的对边分别是a,bc:若facoB--ic084=e:且C=号 5,则 ∠B=( ) π 3n A.10 B.5 C.10 π D.5 8.a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.已知a=4,absin Asin C=csin B,则 △ABC外接圆的面积为( A.16m B.64π C.128π D.256π 【提升通关练】 9.(24-25高一下·上海青浦期末)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C. 若2 besin2A=b2+c2-a2,则A的大小不可能为( A君 B.3 5π C.2 D.6 10.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=C,且 sinB-2+5sinB),则B=（ sin2A 2π 3π 5π A.3 B.3 C.4 D.6 1(2425高下云南月考)在A48C中，osC了，4C=3,4B=2N5,则AMC 的面积为( ) 4v2 A.25 B.√2 C.3 D.1 12.(24-25高一下·广东深圳期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 b=2,B= 3,△ABC的面积S。Mc=V5,则a+c=() A.3 B.4 C.5 D.6 13.在△MB C中.4B=5,4C=5,BC=2则MBC 的面积为 14在a1BC中，角4，B,C的对边分别为a,b,c,若6=5·c=7,C=骨 =3,则。4BC 的面积为 15.己知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,C.若 sin2A+csin A=sin Asin B+bsin C ,则该三角形的形状一定是( A.钝角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形 D.锐角三角形 16.设△MBC 的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 cnsin cosB. △ABC的形状为( ) A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 【培优通关练】 17.(25-26高一上·上海杨浦期末)已知△ABC的三个内角A,B,C满足 sin C=sin 24+sin(A-B) 则△ABC的形状是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 18.(24-25高一下安徽月考)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 a=7△ABC N3 acosC+3asinC-b-c=0 的面积为 ,且 则4ABC 的周长为 ( A.15 B.16 C.18 D.20 19,(2425高一下甘肃兰州期未)如图，在平面四边形4CBD中，4B=2,BD=V2 ∠ABD=∠ACD=交，∠CAD= 4 3,则CD的长为( A.1 B.3 c.v6 D 25 20.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 cos24=1+cos4_acosB-c 22 2b (1)求A: 因老D为BC上-点，MD平分∠B4C,且D-方，BC=5,求MBC的面积 21.在△ABC中，AB=5,D在边AB上，且2BD=3AD,BC=2CD, (I)若CD=2,求△ABC的周长； (2)求△ACD周长的最大值 V3(a2+c2-b2) =tan A 22.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且a2-b2-c2 (1)求角B的大小： ②者BC的面积为55.6=14，求△4BC 周长 23.在AMBC中，角A,B'C所对的边分别为a’b,c,已知csin B+C=asin C 2 (1)求角A的大小： (2)若b=1, sinB-②1 7,求边c及cos(2B+A)的值. 24.已知4，b,C分别是△1BC的角4B,C的对边， bsinB-asinA=sinC(2bcos2B-c) (1)求证：A=2B: (2)求。的取值范围， 第28讲 解三角形 目录 Part 1 考点突破 【考点1：知识点1：基本定理公式】 【考点2：知识点2：相关应用】 【考点3：知识点3：实际应用】 【考点4：解题方法总结】 Part2 题型探究 【题型一：正弦定理的应用】 【题型二：余弦定理的应用】 【题型三：判断三角形的形状】 【题型四：正、余弦定理的综合运用】 【题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】 【题型六：解三角形的实际应用】 【题型七：倍角关系】 【题型八：三角形解的个数】 【题型九：三角形中的面积与周长问题】 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：知识点1：基本定理公式】 知识点1：基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理得，即，解得.故选：A. 正弦定理把"边"与"角"通过正弦值连起来：已知两角一边用"角化边"求剩余元素，已知两边及一角（尤其 SSA）要先判断解的个数。余弦定理是"知三边求角、知两边夹角求第三边"的主工具，常和面积公式 S=½ab·sinC 配套使用。动手前先画示意图、标已知，再决定用哪条定理。 【例1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用余弦定理求出角的余弦值，即可确定角. 【详解】由余弦定理，可得， 又因为，故. 故选：C. 【考点2：知识点2：相关应用】 知识点2：相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，又由题知， 所以，整理得到，， 又由余弦定理，所以，所以， 又，所以. 故选：C. 解三角形的"相关应用"集中在边角互化与定理联立：碰到 a·cosB+b·cosA 这类式子先用射影定理或余弦定理展开化简；碰到角的关系优先化成边的关系再处理。多定理并用时先定主线（求边还是求角），避免来回切换把式子弄乱。 【例2】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正弦定理将、余弦定理求解即可. 【详解】 由正弦定理得: . 则 . 又因为 ，所以 ， 所以 ， 在中由余弦定理得: .代入得: . 解得: 或 ， 又因为 ，则 . 故， 故选：C. 【考点3：知识点3：实际应用】 知识点3：实际应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． 2、方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． 3、方向角：相对于某一正方向的水平角． （1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． （2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． （3）南偏西等其他方向角类似． 4、坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． （2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 【答案】 【解析】如图，设切点为，连接．由题意得， 设， 在中， , 当且仅当时取等号． 设，则， 所以， 故 （当且仅当时取等号）， 所以， 解得，所以的最小值为． 故答案为：. 实际应用题（测高、测距、航海）的突破口永远是"建模型"：把文字叙述转成三角形、标出已知边角，判断该用正弦还是余弦。坡角、仰角、方位角这些概念先想清几何含义再代入，别急着套公式。 【例3】（24-25高一下·北京房山·期末）如图，甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，当甲、乙两船相距最近时，行驶的时间为（    ）    A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】A 【分析】设行驶时间为小时，甲、乙两船相距最近，根据余弦定理表达出，由二次函数开口方向和对称轴，得到答案. 【详解】设行驶时间为小时，甲、乙两船相距最近，设距离为， 其中，显然， 则 其中开口向上，对称轴为， 故当小时，取得最小值，也即取得最小值. 故选：A 【考点4：解题方法总结】 解题方法总结 1、方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 3、三角形中的射影定理 在 中，；；． 解三角形通法：① 画图标已知；② 选定理（求边用余弦、求角用正弦/余弦、SSA 判解数）；③ 联立化简；④ 用面积公式收尾。遇到"最值/范围"问题，先把目标式化成单角三角函数再求区间最值。 【例4】记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若为锐角三角形，，求周长范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）应用正弦定理及余弦定理解三角形即可； （2）先应用正弦定理用角表示边长，再根据锐角三角形求角的范围，最后求三角函数的值域即得. 【详解】（1）在中，由射影定理得， 则题述条件化简为， 由余弦定理得． 可得                   所以. （2）在中， 由正弦定理得， 则周长， 因为，则， 因为为锐角三角形，， 则得， 故． Part 2 题型探究 【题型一：正弦定理的应用】 【例1】在中，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，然后检验即可. 【详解】由正弦定理，得，即． 又因为，所以或． 经检验：当时，；当时，，均符合题意． 故选：D． 【变式1】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理，即，解得. 故选：D. 【变式2】（24-25高一下·北京朝阳·期中）在中，已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由正弦定理结合三角形大边对大角性质即可求解. 【详解】由正弦定理得，即， 解得，又为三角形内角，所以或， 又因为，所以，又，所以． 故选：A． 【题型二：余弦定理的应用】 【例2】（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由余弦定理运算得解. 【详解】由余弦定理，可得，即， 整理得，解得. 故选：A. 【变式3】（24-25高一下·安徽安庆·月考）在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理化简可得，计算可得，由正弦定理可得，代入可得答案. 【详解】由余弦定理得， 所以，所以，故． 由正弦定理，得， 故． 故选：B． 【变式4】在中，，则（    ） A．3 B．5 C．4 D． 【答案】D 【分析】应用二倍角余弦公式求得，再应用余弦定理求边长. 【详解】由，且， 所以，可得. 故选：D 【题型三：判断三角形的形状】 【例3】在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据正弦定理得到边的关系，再利用余弦定理判断即可. 【详解】设中，角对应的边分别是， 由正弦定理得:，即， 所以， 因为，所以为钝角，即为钝角三角形. 故选:C. 【变式5】（24-25高一下·安徽·月考）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化，倍角公式结合三角函数性质可判断选项正误. 【详解】， 则或，则是等腰或直角三角形. 故选：B. 【变式6】（24-25高一下·贵州毕节·月考）已知在中，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】先求出，再利用余弦定理可得，从而可得答案. 【详解】因为，所以， 则，即， 所以，所以，所以为等腰三角形，又， 所以为等边三角形． 故选：C． 【题型四：正、余弦定理的综合运用】 【例4】（24-25高一下·广西南宁·月考）在锐角中，，，分别为内角，，的对边.已知，，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同角的正余弦的平方关系求得，进而由余弦定理求得，再利用正弦定理可求解. 【详解】因为为锐角三角形，所以，又，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 在中，由正弦定理可得，所以，解得. 故选：C. 【变式7】（24-25高一下·安徽合肥·期末）的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理将角转化为边，可得，然后利用余弦定理可知结果. 【详解】在中，由正弦定理，可得：，， ，可得：，整理可得：， 由余弦定理可得：， . 故选：A. 【变式8】（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，面积为S.若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式与边角互换即可求得结果. 【详解】因为，，且，所以， 即， 由正弦定理得：, 又因为三角形中,, ， 因为,所以. 故选：C. 【题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】 【例5】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)设，的面积为S，周长为L，求的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】 （1）先根据正弦定理进行边化角，然后再根据弦化切求解出的值，则可知； （2）先根据正弦定理将表示为角的正弦形式，然后表示出三角形面积和周长，利用二倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合正弦型函数的性质可求的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以， 又因为，所以. （2）因为，所以， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以 ， 又因为，所以，所以， 当且仅当，即时有最大值为， 综上所述，的最大值为. 【变式9】已知，，，函数，且在区间上的最大值为. (1)求m的值； (2)锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求的周长l的取值范围. 【答案】(1)1(2) 【分析】 （1）利用向量的坐标运算以及倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可求实数的值； （2）根据正弦定理结合三角恒等变换及三角函数的图象与性质进行求解． 【详解】（1） ， ， ， 当时，即时，函数取得最大值， 则． （2） ， ，由于为锐角，所以，则， 由，得， ， ， ， ，则， 的周长的取值范围是． 【变式10】已知锐角的内角的对边分别为，向量，且． (1)求； (2)若的面积为，求． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）根据向量垂直结论得到三角函数式子，后运用正弦定理进行边角互化即可； （2）运用面积公式得到方程，结合条件,求出,再用余弦定理求即可. 【详解】（1）由题意得， 由正弦定理得， 又，所以，则，即． 因为，所以． （2）由， 得，结合，得． 由余弦定理得， 得． 【题型六：解三角形的实际应用】 【例6】（25-26高一上·湖南永州·开学考试）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】在中直接由正弦函数的定义计算即可. 【详解】如图，在中，，，， 所以，米， 故选：B. 【变式11】（25-26高一下·广东广州·月考）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 【答案】南偏西 【分析】由正弦定理得到，由余弦定理得，从而由正弦定理得到，结合，得到，得到答案. 【详解】如图，在中，，    由正弦定理得 ，解得， 在 中，由余弦定理得 ， 因为 ，所以解得， 由正弦定理得 ，解得， 故 或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向． 故答案为：南偏西 【变式12】（24-25高一下·贵州黔东南·期末）相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为 m. 【答案】 【分析】先由正弦定理求出，然后在直角中即可求解. 【详解】中，由正弦定理得， 所以， 直角中，. 故答案为：. 【题型七：倍角关系】 【例7】在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若，求的周长l的取值范围． 【答案】(1)(2)． 【分析】（1）由正弦定理化边为角化简求解即得；（2）由正弦定理，根据边及角得， 再将周长化边为角，结合辅助角公式求解范围可得. 【详解】（1）由正弦定理，得， ∵，， ∴，即， 又∵，则， ，则； （2）由（1）及正弦定理可知，， ， ， ∴， 又，，∴， ∴， ∴，即， ∴的周长l的取值范围为． 【变式13】（24-25高一下·江西抚州·月考）已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】根据正弦定理化边为角，然后化简可判断三角形的形状. 【详解】根据正弦定理可得：. 因为，所以. 所以或者. 即或者. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 【变式14】（25-26高一下·湖南张家界·期中）在中，分别为角的对边），则的形状可能是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理化边为角，再结合降幂公式及两角和的正弦公式化简即可得解. 【详解】因为， 所以，即，即， 由正弦定理可得， 所以，得， 在中，所以， 又，所以，即三角形为直角三角形. 故选：B. 【题型八：三角形解的个数】 【例8】（24-25高一下·四川眉山·期末）在中，，则这个三角形有（   ） A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意可得，则有，即有，从而得，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以，， 所以有，即， 所以， 所以三角形为钝角三角形，只有一个解. 故选：A. 【变式15】（24-25高一下·四川成都·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，如果有两解，则a的值可能为（    ） A．9 B． C．11 D．12 【答案】A 【分析】由题意知且，所得范围取交集，找出符合范围的a的值即可. 【详解】由正弦定理得：，且有两解，所以，且，所以，故符合题意的有A. 故选：A 【变式16】在中，内角，，的对边分别为，，.下列条件中能使唯一确定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】对于AD：根据三角形的性质直接判断即可；对于BC：利用正弦定理的结论直接判断即可. 【详解】对于选项A：因为三个内角确定，但三边不确定，可知不能确定，故A错误； 对于选项B：因为，可知， 所以满足条件的有2个，故B错误； 对于选项C：因为，所以满足条件的有1个，故C正确； 对于选项D：因为为最大角，但，不满足大角对大边， 所以不存在，故D错误； 故选：C. 【题型九：三角形中的面积与周长问题】 【例9】在中，若的面积，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由面积公式求出，再由余弦定理求出，代入求解. 【详解】由，得， 又由余弦定理， 所以， 所以， 故选：D. 【变式17】（24-25高一下·浙江·月考）在中，若，且，则的周长为 ． 【答案】 【分析】利用三角形的面积公式，求得，再由余弦定理，列出方程求求得，进而求得的值，即可求解. 【详解】由中，，且， 可得，解得， 又由余弦定理得，即， 可得，则，所以， 所以的周长为． 故答案为：． 【变式18】在条件①，②，③中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题. 已知的内角，，的对边分别为，，，且满足______. (1)求； (2)的内角平分线交于点，若的面积为，，求的周长. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）应用正弦定理边角关系及三角恒等变换求出三角函数值，再结合角的范围求教即可； （2）把三角形面积结合角平分线得出边长，再应用余弦定理得出,即可得出边长. 【详解】（1）若选①， ， ， 由正弦定理得， 由余弦定理得， ，解得.     ， . 若选②， 由正弦定理得， 即， ， . ，， ，， .     若选③， 由正弦定理得，， 即， 所以， 即， ，，整理得， 即，，， ，即. （2）， ，即. 又，     . . ， 的周长为. Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角的对边分别为，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据条件及余弦定理得，再由数量积的定义，即可求解. 【详解】由余弦定理可知， 由，得， 即，所以， 故答案为：. 2．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，，，锐角C满足， 【答案】 【分析】根据给定条件求出，再利用余弦定理求出及. 【详解】由，且为锐角，得， 由余弦定理，得，解得， 由余弦定理得. 故答案为： 3．（24-25高一下·广东江门·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（    ）． A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意利用正弦定理求解即可 【详解】由正弦定理可得：，解得， 因为，所以， 所以或. 故选：D 4．（24-25高一下·广东湛江·月考）在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合三角形内角和可得，再根据正弦定理可得，进而可得. 【详解】由，且，所以， 由正弦定理可得，解得， 又，∴，∴，故 故选：A 5．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，且，则（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】根据正弦定理角化边，由三角形面积公式求，再结合余弦定理，即可求解. 【详解】由正弦定理角化边，可知，，且 则，，则， 则，① 由余弦定理，② 由①②得，，即. 故选：B 6．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得，再由，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得，即可得到结果. 【详解】因为，且，则， 由余弦定理可得，所以， 即，由正弦定理可得， 其中，则，所以， 又， 化简可得， 且为锐角三角形，则， 所以， 即， 解得或（舍）， 所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为. 故选：B 7．在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 8．，，分别为内角，，的对边．已知，，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理和题设条件求得，再由，求得，利用圆的面积公式，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得，可得． 设外接圆的半径为，则，即， 故外接圆的面积为． 故选：B. 【提升通关练】 9．（24-25高一下·上海青浦·期末）在中，角、、的对边分别为、、．若，则的大小不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理化简题中等式，可得，然后利用二倍角公式并结和为三角形的内角，计算出角的大小 【详解】根据余弦定理，可得，结合， 可知，即， 当时，等式成立，结合,可得; 当时，等式可化为,结合,可得或， 综上所述，，或. 故选：B 10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知等式结合正弦定理可得，再由余弦定理可得，最后结合同角的三角函数关系和特殊三角函数值得到结果即可 【详解】由及正弦定理得，即， 由及余弦定理可得， ∴，∴，∴. 又，∴. 故选：D. 11．（24-25高一下·云南·月考）在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由余弦定理求出长，由求得，代入三角形面积公式计算即得. 【详解】因为，角是锐角，所以， 由余弦定理，，解得， 所以的面积. 故选：B. 12．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理计算易得. 【详解】由题意，，可得； 由余弦定理，， 代入条件，可得，解得. 故选：B. 13．在中，，，，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求出，再求,即可由面积公式求解.． 【详解】中，，，， 由余弦定理得 , 由于，所以， 所以的面积为： 故答案为： 14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】因为，，，利用余弦定理求出，由三角形的面积公式，即可求得. 【详解】由余弦定理，， 代入，，， 得，即， 解得或（舍去）， 则的面积为. 故答案为：. 15．已知的三个内角所对的边分别为．若，则该三角形的形状一定是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【分析】利用正弦定理的边角转化，将已知变形，化简从而得出 【详解】因为， 由正弦定理（为外接圆的直径）， 可得， 所以． 又因为，所以．即为等腰三角形. 故选：C 16．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（     ） A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】根据正弦定理边角互化可得，进而由三角函数的性质求解. 【详解】由得, 由二倍角公式可得或， 由于在，,所以或,故为等腰三角形或直角三角形 故选：B 【培优通关练】 17．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】根据两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，结合二倍角的正弦公式、正弦定理进行运算判断即可. 【详解】 ， ，或， 当时，因为，所以，因此该三角形是直角三角形； 当时，可得， 由正弦定理可得：，所以由，可得，因此该三角形是等腰三角形， 综上所述：该三角形是等腰或直角三角形. 故选：D 18．（24-25高一下·安徽·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的周长为（    ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】由正弦定理边化角，结合辅助角公式得到，再结合三角形面积公式及余弦定理求得，即可求解. 【详解】由正弦定理得， ，， ，， ，又， . ， ，由，， 得， 则 故， 周长为. 故选：C 19．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）如图，在平面四边形ACBD中，，，，，则CD的长为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在和中利用余弦定理和正弦定理即可求解. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得，， 即，， 又在中，，，， 由正弦定理得，，即， 解得. 故选：B. 20．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求A； (2)若D为上一点，平分，且，，求的面积. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）用二倍角公式将化为，再边角互化，三角恒等变换化解即可； （2）用等面积法和用余弦定理结合即可求解． 【详解】（1）因为 由正弦定理得 化简得 又因为 所以 由于，所以 则，即 （2）如图所示， 因为 所以，即 由余弦定理知.即 所以，解得或（舍去） 所以． 21．在中，，在边上，且. (1)若，求的周长; (2)求周长的最大值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由余弦定理求出，，从而求出三角形的周长； （2）设，则，由三角形三边关系求出，由余弦定理得到，表达出的周长为，，构造函数，求导得到其单调性，从而求出最大值. 【详解】（1）若，则， 又，， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故的周长为； （2）由（1）知，， 设，则， 由三边关系可得，解得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 故， 所以的周长为， 令，， 则， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值， 最大值为. 22．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，，求的周长. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，余弦定理边化角，利用同角三角函数的商数关系化简，再由正弦定理边化角，得，可得角的大小； （2）由的面积求出，再由余弦定理求出，可得的周长. 【详解】（1）中，由，得， 由余弦定理得， 即， 由正弦定理得， ，，得， ，则. （2）若的面积为，则，得， ，由余弦定理，得， 解得， 的周长为. 23．在中，角，，所对的边分别为，，，已知 (1)求角的大小； (2)若，，求边及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可求，根据角的范围即可求解的值； （2）由已知利用正弦定理可得的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用二倍角公式可求，的值，由余弦定理可得，解方程可求的值，利用两角和的余弦公式即可求解的值． 【详解】（1）因为，可得， 所以由正弦定理可得， 又为三角形内角，， 所以， 因为，，， 所以，可得， 所以； （2）因为，，， 所以由正弦定理，可得， 所以为锐角，，，， 由余弦定理，可得， 整理可得，解得或（舍去）， 所以． 24．已知分别是的角的对边，. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解. （2）由（1）知，，利用正弦定理可得，然后利用换元思想得，利用函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由正弦定理及知， ， 由余弦定理得，， 或. . （2）由（1）和正弦定理得， ， ， 设，则，则， 设， 则在上单调递增，则， 即. 的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $