7 专题6 拓展培优5 圆锥曲线中非对称韦达定理的应用（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

拓展培优5　圆锥曲线中非对称韦达定理的应用 ▶ 对应学生用书P107 【考情分析】　圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，非对称韦达定理的应用在高考中经常出现，常以解答题的形式压轴出现，难度较大. 【非对称韦达】 　　在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若Δ＞0，设它的两个根分别为x1，x2，则有根与系数关系：x1＋x2＝－，x1x2＝，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理，＋，＋之类的结构. 　　但在有些问题时，我们会遇到涉及x1，x2的不同系数的代数式的应算，比如求，或λx1＋μx2之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了.特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，形如x1＋2x2，λx1y2＋μx2y1，或之类中x1，x2的系数不对等的式子是非对称结构，称为“非对称韦达”. 拓展1　分式型 设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为x－3y＝0，焦点到渐近线的距离为1.A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，直线l过点T交双曲线于点M，N，记直线MA1，NA2的斜率为k1，k2. (1)求双曲线C的方程； (2)求证为定值. 解：(1)由题意可得解得 故双曲线C的方程为－y2＝1. (2)证明：由双曲线C的方程为－y2＝1，则A1，A2， 由题意可知直线l斜率不为0，故可设l：x＝my＋2，M，N， 联立消去x可得y2＋4my－5＝0， Δ＝16m2＋20＝36m2－180＞0，即m2＞5， 则y1＋y2＝－，y1y2＝－， 则＝＝，即my1y2＝， k1＝＝，k2＝＝， 则＝＝·＝·＝＝＝＝＝， 即为定值. [规律方法]　对于分式上下不对称型，一是根据韦达定理y1＋y2，y1y2的表达式，把y1y2转化为y1＋y2；二是保留y1y2不动，y1和y2中消去y1保留y2，化简得定值. 拓展2　比值型 设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，＝2. (1)求椭圆C的离心率； (2)如果｜AB｜＝，求椭圆C的方程. 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1＞0，y2＜0. 直线l的方程为y＝(x＋c)，其中c＝. 联立得(3a2＋b2)y2－2b2cy－3b4＝0，(下面给出四种处理方案) 方案1：解得y1＝，y2＝. 因为＝2，所以－y1＝2y2， 即－＝2·， 得离心率e＝＝. 方案2：由韦达定理得y1＋y2＝，y1y2＝－， 由＝2，得y1＝－2y2， 即＝－2，所以＋＝－， 即＝－. 则－＝－，整理得8c2＝3a2＋b2，即9c2＝4a2， 所以e＝＝. 方案3：由y1＝－2y2，得 则＝＝－. 将代入上式，得＝－， 即·(－)＝－，整理得e＝. 方案4：将y1＝－2y2代入 得 消去y2，得2()2＝， 整理得e＝. (2)因为｜AB｜＝｜y1－y2｜，所以·＝. 由＝，得b＝a，所以a＝，得a＝3，b＝， 椭圆C的方程为＋＝1. [规律方法]　方案1是直接求出y1，y2，利用y1与y2的关系式，代入消元求解. 方案2将＝－2取倒数相加，得到＋＝－，这样处理将不对称式转化为对称式，就可以将韦达定理的结果整体代入了. 方案3是利用条件y1＝－2y2，得到y1＋y2与y1y2的关系式＝－，然后就可以用韦达定理处理了. 方案4是利用y1＝－2y2与y1＋y2，y1y2的表达式，代入消元求解. 拓展3　系数不等型 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右准线方程为x＝2. (1)求椭圆方程； (2)P(0，1)，A，B为椭圆的左、右顶点，过A作斜率为k1的直线交椭圆于E，连接EP并延长交椭圆于F，记直线BF的斜率为k2，若k1＝3k2，求直线EF的方程. 解：(1)由题意得解得 所以椭圆的方程为＋＝1. (2)方法一：显然直线EF的斜率存在，故设其方程为y＝kx＋1， 由 消去y得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，显然Δ＞0， 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝. 因为k1＝3k2，所以＝，(下面给出两种处理方案) 方案1：＝， 即2kx1x2＋(2k＋3)x1＋(6k－1)x2＋8＝0， 因为2kx1x2＝＝x1＋x2， 所以(k＋2)x1＋3kx2＋4＝0， 即(k＋2)x1＋3k(－x1)＋4＝0， 即(1－k)(x1＋)＝0， 所以1－k＝0或x1＋＝0(舍去)， 所以k＝1， 所以直线EF的方程为y＝x＋1. 方案2：平方得＝　①， 又因为E(x1，y1)，F(x2，y2)在椭圆上， 所以＝(4－)，＝(4－)　②， 将②代入①可得＝，即2x1x2＋5(x1＋x2)＋8＝0， 所以－＋8＝0，即4k2－5k＋1＝0， 解得k＝1或k＝(舍去)(若k＝，此时k1，k2一正一负，不符合). 所以直线EF的方程为y＝x＋1. 方法二：直线AE的方程为y＝k1(x＋2)， 由消去y得(2＋1)x2＋8x＋8－4＝0， 因为此方程有一根为－2，所以由韦达定理可得xE＝，故yE＝， 所以E(，)， 同理可得F(，)， 因为k1＝3k2，所以F(，)， 由E，F，P三点共线得＝，即4＋8＋12k1－9＝0， 即(2＋3)(2＋4k1－3)＝0，所以2＋4k1－3＝0， 所以直线EF的斜率为＝＝＝1， 所以直线EF的方程为y＝x＋1. [规律方法]　利用韦达定理中隐含着2kx1x2＝x1＋x2＝－的关系，所以代入消元得到(1－k)·(x1＋)＝0，从而求得k＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $