专题5 重难突破10 圆锥曲线中非对称韦达定理的解题技巧(Word练习)-【精讲精练】2026年高考数学二轮专题辅导与训练

[对应学生用书P184] 1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P为椭圆上一点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值． 解析　(1)因为椭圆的离心率为，所以a＝2c. 又因为a2＝b2＋c2，所以b＝c. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 又因为点P为椭圆上一点，所以＋＝1，解得c＝1. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y＝kx＋1. 设M(x1，y1)，N(x2，y2). 联立 消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0. 所以由根与系数关系可知x1＋x2＝－， x1x2＝－. 因为k1＝，k2＝，且k1＝2k2， 所以＝. 即＝.　① 又因为M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上， 所以y＝(4－x)，y＝(4－x).　② 将②代入①可得＝， 即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0. 所以3＋10＋12＝0， 即12k2－20k＋3＝0. 解得k＝或k＝，又因为k>1，所以k＝. 2．已知双曲线C：－＝1(a>0)的左顶点为A，右焦点为F，P是直线l：x＝上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N. (1)证明：∠APN＝2∠NPF； (2)取a＝1，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 解析　(1)证明　过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则MN∥AF， 连接AM，PM，NF.因为在圆P中，PH⊥AF，PH⊥MN，所以|AM|＝|NF|，|MH|＝|HN|. 由题易知右焦点F(2a，0)，设点N，则－＝1，整理得y＝3x－3a2. 因为＝＝＝＝＝2， 所以|NF|＝2|HN|，所以|AM|＝|NF|＝|MN|. 在圆P中，由相等弦长所对的圆心角相等，得∠APM＝∠MPN＝∠NPF， 所以∠APN＝2∠NPF. (2)由题知双曲线C：x2－＝1，渐近线为y＝±x，右焦点为F， 直线PF的斜率不为0，设直线PF的方程为x＝my＋2. 因为直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，则m∈∪. 设D，E，R， 联立方程组得y2＋12my＋9＝0， 则y1＋y2＝，y1y2＝. 由题知，直线DR的方程为y－y2＝， 令y＝0，得x＝＝＝＝ ＝＝，所以直线DR过定点. 3．已知F1(－1，0)，F2(1，0)，动点Z满足|ZF1|＋|ZF2|＝4. (1)求动点Z的轨迹曲线E的标准方程； (2)四边形ABCD内接于曲线E，点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，设直线AC，BD的斜率分别是k1，k2，且k1k2＝. ①记直线AC，BD的交点为G，证明：点G在定直线上； ②证明：AB∥CD. 解析　(1)因为|ZF1|＋|ZF2|＝4>|F1F2|＝2，所以Z点的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其长轴长2a＝4，焦距为2c＝2，b＝＝，所以曲线E的标准方程为＋＝1. (2)证明　由题意作出图形如图所示． ①设点G(x，y)，因为y＝k1(x－2)，所以k1＝，因为y＝k2x＋，所以k2＝，因为k1k2＝，所以·＝，整理得(2y－x)(2y＋x－2)＝0，因为ABCD为四边形，所以2y＋x－2≠0，所以点G在定直线x－2y＝0上． ②由题知A(2，0)，B(0，)，直线AB：y＝－x＋，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线CD：y＝kx＋m，将y＝kx＋m代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，所以k1k2＝×＝＝[k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2－(kx1＋m)] ＝ ，所以 ＝，(16k3＋24k2＋12k＋18)x2＋4m(4k2－3)＋36－48k2＝0， 解得k＝－，所以AB∥CD. 4．已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆E上，MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为4＋2，面积为c. (1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与椭圆E交于C，D两点(不同于左右顶点)，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，问是否存在实常数λ，使得k1＝λk2恒成立？若成立，求出λ的值，若不成立，请说明理由． 解析　(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)， 依题意，得即 解得所以椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)依题意，可设直线l的方程为x＝ty＋1， 联立方程 化简整理，得y2＋2ty－3＝0， 易得Δ>0恒成立， 设C，D，由根与系数的关系， 得可得ty1y2＝， 于是＝·＝＝ ＝＝＝＝＝，即k1＝k2， 故存在实数λ＝，使得k1＝λk2恒成立． 学科网（北京）股份有限公司 $