6 专题2 拓展培优3 极化恒等式、等和线、奔驰定理（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

拓展培优3　极化恒等式、等和线、奔驰定理　▶ 对应学生用书P38 【考情分析】　利用向量的极化恒等式、等和线与奔驰定理可以快速对向量问题进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，使向量问题的解决更加快速. 拓展1　极化恒等式 极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]. (1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)在平行四边形PMQN中，O是对角线交点，则： ①·＝(｜｜2－｜｜2)(平行四边形模式)； ②·＝｜｜2－｜｜2(三角形模式). 如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则·的取值范围为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选B.取CD的中点E，连接PE，如图所示， 所以PE的取值范围是，即[2，2]， 又由·＝(＋)·(＋)＝－＝PE2－4，所以·∈. [规律方法]　在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤 (1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点； (2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值. 注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式. 对点练1.已知椭圆C：＋＝1的左右焦点分别为F1，F2，点M在直线l：x＋y－4＝0上运动，则·的最小值为(　　 ) A.7 B.9 C.13 D.15 解析：选A.由椭圆C∶＋＝1可得F1(－1，0)，F2(1，0)，根据极化恒等式可得·＝－·＝－1， 点M在直线l∶x＋y－4＝0上运动，根据点到直线的距离公式可得＝＝2，故·最小值为7. 拓展2　等和线 1.平面向量共线定理 已知平面内一组基向量，及任一向量，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若λ＋μ＝1，则A，B，P三点共线；反之亦然. 2.平面向量等和线定理 平面内一组基底，及任一向量，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k＝＝＝，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线. (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0. 在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　 ) A. B. C. D.1 解析：选A.法一　设＝t，则＝＝＋)＝＋＝＋－)＝(－＋，∴λ＝－，μ＝，∴λ＋μ＝. 法二(等和线法)　如图，BC为以，为基底值是1的等和线，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝. 由图易知，＝. [规律方法]　用等和线求基底系数和的步骤 (1)确定值为1的等和线； (2)平移该线，作出满足条件的等和线； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值. 对点练2.在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，且＝λa＋μb，则λ＋μ＝(　　 ) A.1 B. C. D. 解析：选A.(等和线法)如图，作＝，延长CD与AG相交于G， 因为C，F，G三点共线，所以λ＋μ＝1. 拓展3　奔驰定理 奔驰定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S1·＋S2·＋S3·＝0(其中S1，S2，S3分别为△PBC，△PAC，△PAB的面积). “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SA·＋SB·＋SC·＝0.以下命题错误的是(　　 ) A.若SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则M为△ABC的重心 B.若M为△ABC的内心，则BC·＋AC·＋AB·＝0 C.若∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC＝∶2∶1 D.若M为△ABC的垂心，3＋4＋5＝0，则cos∠AMB＝－ 解析：选C.对于A：取BC的中点D，连接MD， 由SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则＋＋＝0，所以2＝＋＝－， 所以A，M，D三点共线，且＝， 设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得＝，＝，所以M为△ABC的重心，故A正确； 对于B：由M为△ABC的内心，则可设内切圆半径为r， 则有SA＝BC·r，SB＝AC·r，SC＝AB·r，所以r·BC·＋r·AC·＋r·AB·＝0，即BC·＋AC·＋AB·＝0，故B正确； 对于C：由M为△ABC的外心，则可设△ABC的外接圆半径为R， 又∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，则有∠BMC＝2∠BAC＝90°，∠AMC＝2∠ABC＝120°，∠AMB＝2∠ACB＝150°， 所以SA＝R2·sin∠BMC＝R2·sin 90°＝R2，SB＝R2·sin∠AMC＝R2·sin 120°＝R2，SC＝R2·sin∠AMB＝R2·sin 150°＝R2，所以SA∶SB∶SC＝2∶∶1，故C错误； 对于D：如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E， 由M为△ABC的垂心，3＋4＋5＝0，则SA∶SB∶SC＝3∶4∶5， 又S△ABC＝SA＋SB＋SC，则＝4，＝3， 设MD＝x，MF＝y，则AM＝3x，BM＝2y， 所以cos∠BMD＝＝cos∠AMF＝，即3x2＝2y2，＝， 所以cos∠BMD＝，所以cos∠AMB＝cos(π－∠BMD)＝－，故D正确. [反思感悟]　三角形四心的向量表示及结论(可利用奔驰定理证明) (1)点O是△P1P2P3的重心⇔＋＋＝0⇔＝＝＝； (2)点O是△P1P2P3的垂心⇔·＝·＝·⇔tan P1·＋tan P2·＋tan P3·＝0⇔∶∶＝tan P1∶tan P2∶tan P3(△P1P2P3不是直角三角形)； (3)点O是△P1P2P3的内心⇔a＋b＋c＝0⇔∶∶＝a∶b∶c(其中a，b，c是△P1P2P3的三边，分别对应角P1，P2，P3)； (4)点O是△P1P2P3的外心⇔｜｜＝｜｜＝｜｜⇔sin∠P2OP3＋sin∠P1OP3＋sin∠P1OP2＝0⇔∶∶＝sin∠P2OP3∶sin∠P1OP3∶sin∠P1OP2. 对点练3.已知△ABC所在平面内一点D满足＋＋＝0，则△ABC的面积是△ABD的面积的(　　 ) A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍 解析：选A.因为＋＋＝0，即2＋2＋＝0，所以S△BDC∶S△ADC∶S△ADB＝2∶2∶1，所以△ABC的面积是△ABD的面积的5倍. 学科网（北京）股份有限公司 $