6 专题6 拓展培优4 圆锥曲线中的二级结论（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

拓展培优4　圆锥曲线中的二级结论　▶ 对应学生用书P103 【考情分析】　圆锥曲线是高考数学的热点之一，善于总结解题技巧，才是提升数学解题速度与准确率的关键.因此掌握一些常用的圆锥曲线二级结论，对于小题的解决、提速有很大的帮助；对于某些大题的证明也可以有一定的启发. 拓展1　焦点三角形 角度1　焦点三角形的面积 (1)已知P是椭圆＋＝1上的点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若＝，则△F1PF2的面积为(　　 ) A.3 B.9 C. D.9 解析：选A.因为＝＝cos∠F1PF2＝，0≤∠F1PF2≤π，所以∠F1PF2＝，根据椭圆焦点三角形的面积公式＝b2tan， 得＝9tan＝3. (2)设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为2，则a＝(　　 ) A.1 B.2 C. D.4 解析：选B.法一：设＝m，＝n，由∠F1PF2＝90°，△PF1F2的面积为2， 可得所以4c2＝－2mn＝4a2－8　①， 由离心率为，可得＝，代入①式，可得a＝2. 法二：设∠F1PF2＝θ，则θ＝90°，根据椭圆焦点三角形的面积公式＝b2tan＝b2＝2， 又e＝＝，解得a＝2. [规律方法]　焦点三角形的面积公式 P为椭圆(或双曲线)上异于长轴(或实轴)端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则在椭圆中，＝b2tan；在双曲线中，＝. 对点练1.(1)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上.若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为(　　 ) A.2 B.4 C.8 D.9 解析：选B.根据椭圆焦点三角形的面积公式得＝b2tan＝4tan＝4. (2)已知点P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为(　　 ) A.6 B.12 C. D.2 解析：选C.法一：由椭圆＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝4. 设＝m，＝n，则m＋n＝10， 在△PF1F2中，由余弦定理可得：(2c)2＝m2＋n2－2mn·cos∠F1PF2＝(m＋n)2－2mn－2mn·， 可得64＝100－mn，得mn＝， 故＝mn·sin∠F1PF2＝××＝. 法二：设∠F1PF2＝θ，由题意得θ∈(0，π)，则∈， 因为cos θ＝，则tan＝＝＝， 由椭圆焦点三角形的面积公式得＝b2tan＝9×＝. 角度2　离心率 (2024·山东淄博一模)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称，∠PF2Q＝，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的最小值是(　　 ) A. B. C. D. 解析：选A.如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2， 则根据椭圆及双曲线的定义得：＋＝2a1，－＝2a2， 所以＝a1＋a2，＝a1－a2，设＝2c，∠PF2Q＝， 根据椭圆与双曲线的对称性知四边形PF1QF2为平行四边形，则∠F1PF2＝， 则在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos， 化简得＋3＝4c2，即＋＝4， 则＋＝＋＝×＝×［4＋＋］≥×［4＋2］＝×＝， 当且仅当 即时等号成立. [规律方法]　(1)设P点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则①｜PF1｜｜PF2｜＝；②e＝. (2)设P点是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上异于实轴端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则①｜PF1｜｜PF2｜＝；②e＝. (3)若椭圆＋＝1(a1＞b1＞0)和双曲线－＝1(a2＞0，b2＞0)共焦点，P为公共点，且∠F1PF2＝2θ，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则有＋＝1. (4)设P点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任意一点，A1，A2为其左右顶点，记∠A1PA2＝θ，当P为短轴端点时，∠A1PA2最大，且e≥. 对点练2.(1)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2＝，则·＝(　　 ) A. B. C.2 D. 解析：选A.记∠F1PF2＝θ，则｜PF1｜｜PF2｜＝，即＝， 则·＝cos∠F1PF2＝×＝. (2)已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的公共点，且∠F1PF2＝.设e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，则3＋的最小值为(　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：选C.由结论(3)得＋＝4，所以3＋＝＝＋＋6)≥(2＋6)＝3，当＝，＝时等号成立. 拓展2　垂径定理 过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点且斜率不为0的直线交C于A，B两点，D为AB中点，若kAB·kOD＝，则C的离心率为(　　 ) A. B.2 C. D. 解析：选D.法一：不妨设过双曲线C的焦点且斜率不为0的直线为y＝k(x－c)，k≠0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由整理得x2＋2a2k2cx－(a2k2c2＋a2b2)＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝，D(，)， 则kOD＝＝，由kAB·kOD＝，可得·k＝， 则有a2＝2b2，即3a2＝2c2，则双曲线C的离心率e＝＝. 法二：由垂径定理知，kAB·kOD＝＝e2－1，所以e＝. [规律方法]　椭圆与双曲线中的垂径定理 椭圆中的垂径定理：已知A，B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·kOM＝－＝e2－1. 双曲线中的垂径定理：已知A，B是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·kOM＝＝e2－1. 对点练3.(1)已知原点为O，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与直线l：x－y＋1＝0交于A，B两点，线段AB的中点为M.若直线OM的斜率为－，则椭圆C的离心率为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选B.法一(点差法)：设A，B，则M， 则两式相减可得－＝， 所以－＝1×，即a2＝4b2， 即a2＝4，3a2＝4c2，故＝. 法二(垂径定理)：kAB·kOM＝1×(－)＝－＝e2－1，所以e＝. (2)过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)右焦点F的直线l：x－y－2＝0交C于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为－，则椭圆C的标准方程为　　　　. 解析：法一：在x－y－2＝0中，令y＝0得x＝2，所以椭圆右焦点为F(2，0)，即c＝2， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，2x0＝x1＋x2，2y0＝y1＋y2， 所以两式相减得＋＝0， 所以＝－＝－，即kAB＝－，从而－＝1，所以a2＝2b2， 又c2＝a2－b2＝b2＝4，因此a2＝8， 所以椭圆标准方程为＋＝1. 法二：在x－y－2＝0中，令y＝0得x＝2，所以椭圆右焦点为F(2，0)，即c＝2， 由kAB·＝1×(－)＝－，得＝，所以a2＝2b2， 又c2＝a2－b2＝b2＝4，因此a2＝8， 所以椭圆标准方程为＋＝1. 答案：＋＝1 拓展3　椭圆、双曲线的第三定义 平面内与两个定点A1(－a，0)，A2(a，0)的斜率乘积等于常数e2－1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点).其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于－1小于0时为椭圆，此时e2－1＝－；当常数大于0时为双曲线，此时e2－1＝. 如图，A，B分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于另一点Q.若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选C.根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ＝e2－1，又所以kAQ·kBP＝4kAQ·kBQ＝4(e2－1)＝－1，则e＝. [规律方法]　第三定义推论：平面内与两个关于原点对称的点A(m，n)，B(－m，－n)的斜率乘积等于常数e2－1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含A，B两点).当常数大于－1小于0时为椭圆，此时e2－1＝－；当常数大于0时为双曲线，此时e2－1＝. 对点练4.(2022·新高考甲卷)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析：选A.A， 设P，则Q， 则kAP＝，kAQ＝， 故kAP·kAQ＝·＝＝， 又＋＝1，则＝， 所以＝，即＝， 所以椭圆C的离心率e＝＝＝. 拓展4　焦点弦 1.已知F1，F2分别为椭圆(双曲线)的左、右焦点，直线l过左焦点F1与曲线(焦点在x轴上)交于A，B两点，设∠AF1F2＝α，e为离心率，p为焦点到对应准线的距离，则p＝. (1)椭圆焦半径公式：｜AF1｜＝，｜BF1｜＝，＋＝. (2)椭圆焦点弦弦长公式：｜AB｜＝｜AF1｜＋｜BF1｜＝. (3)①若直线与双曲线交于一支(如图1)，则｜AF1｜＝，｜BF1｜＝，＋＝. ②若直线与双曲线交于两支(如图2)，则｜AF1｜＝，｜BF1｜＝， ＝. (4)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则｜AB｜＝｜AF1｜＋｜BF1｜＝. 若直线与双曲线交于两支，则｜AB｜＝｜｜AF1｜－｜BF1｜｜＝. 2.已知直线l过焦点F与抛物线(焦点在x轴上)交于A，B两点，设∠AFx＝α，e为抛物线离心率，p为抛物线的焦点到对应准线的距离. (1)抛物线焦半径公式：｜AF｜＝＝，｜BF｜＝＝，＋＝＝. (2)抛物线焦点弦弦长公式：｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝＝. 3.焦点弦定理 已知焦点在x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于A，B两点，直线AB的倾斜角为α，＝λ，则曲线的离心率满足等式｜ecos α｜＝. (1)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且cos θ＝.若｜AB｜＝｜AF1｜，则双曲线C的离心率为(　　 ) A.4 B. C. D.2 解析：选D.｜AF2｜＝，｜BF2｜＝， ｜AB｜＝｜AF2｜＋｜BF2｜＝｜AF1｜＝2a＋｜AF2｜⇒｜BF2｜＝2a⇒＝2a⇒e2－e－3＝0⇒e＝2. (2)已知椭圆方程为＋y2＝1，AB为椭圆过右焦点F的弦，则｜AF｜＋2｜FB｜的最小值为　　　　　. 解析：由焦半径公式可得＋＝4， 所以｜AF｜＋2｜FB｜＝(｜AF｜＋2｜FB｜)＝＋＋≥， 当且仅当＝时取等号， 又＋＝4， 得 故｜AF｜＋2｜FB｜的最小值为. 答案： [规律方法]　(1)要注意公式中α的含义. (2)公式中的加减符号易混淆. (3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样. 对点练5.过双曲线C：－＝1的右焦点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若｜AF｜＝，则｜BF｜＝　　　　. 解析：设∠AFO＝α，因为｜AF｜＝＜2＋， 所以点A必在双曲线右支上， 由焦半径公式得｜AF｜＝＝＝， 解得cos α＝，所以sin α＝， 从而tan α＝，双曲线C的渐近线的斜率为±， 因为＞，所以点B也在双曲线的右支上，如图， 由图可知，∠BFO＝π－∠AFO＝π－α， 所以｜BF｜＝＝＝2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $