4 专题5 微点突破12 概率统计中的递推关系（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

微点突破12　概率统计中的递推关系　▶ 对应学生用书P88 【考情分析】　统计与概率内容是数学知识的综合应用，也是中学数学一个重要的交汇点，已经成为联系多项知识内容的媒介；数列是高中数学的重点内容，易与其他内容交汇融合.由于此类考题条件多，背景新颖，成为近年各种考试的一个热点问题，其所考查的数学知识和思想方法相当深刻，难度也较大. 重点1　递推数列在计数原理中的应用 (1)有A1，A2，…，A6共六个人，他们的座位分别为B1，B2，…，B6，现要求每一个人坐一个座位，且都不坐自己座位，则不同的方法种数为(　　) A.9 B.16 C.44 D.265 解析：选D.记n个人坐座位且自己不坐自己的座位的方法数构成一个数列{an}，易得a2＝1，a3＝2， 首先，让A1选位，A1不选B1，则共有(n－1)种方法，不妨设A1选了Bk(k≠1)，然后再让Ak选位， ①当Ak选B1时，则余下的(n－2)个人和(n－2)个座位，共有种坐法； ②当Ak不选B1时，则余下的(n－1)个人都有一个不能选的座位，则共有种坐法， 所以an＝(n－1)(＋)， 所以a4＝3(a2＋a3)＝9，a5＝4(a3＋a4)＝44，a6＝5(a4＋a5)＝265. (2)某班级在一次植树种花活动中负责对一片圆环区域花圃栽植鲜花，该圆环区域被等分为n个部分(n≥4)，每个部分从红，黄，蓝三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植，要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花.将总的栽植方案数用an表示，则a4＝　　　　　，an＝　　　　　. 解析：当n＝4时，若只用两种花色栽植有＝6种方法，若用三种花色栽植有＝12种方法，所以a4＝6＋12＝18. 由于圆环区域第一块有3种选法，为了从第2块开始，每一块与前一块不同，则第2块到第n块有两种选法，即有3·2n－1种选法，现考虑第n块，若与第1块不同，则有an种选法，若与第1块相同，则有an－1种选法， 故an＋an－1＝3·2n－1，则an－2n＝－， 所以an－2n＝＝2·＝2·＝2·，得an＝2n＋2·. 答案：18　2n＋·2 [规律方法]　在计数原理中，当计数的基数较大时，用枚举法会显得非常困难.如果问题带有明显的递推特征，把此类计数问题的基数从有限个且数目很少推广到n个，运用数列知识建立递推关系，经过推广就可以解决这类计数问题. 对点练1.某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有　　　　　　种.(用数字作答) 解析：设小明上n个台阶有an种方法，考虑最后一步： 若最后一步小明上1个台阶，则前n－1个台阶有an－1种方法且n≥2； 若最后一步小明上2个台阶，则前n－2个台阶有an－2种方法且n≥3. 由加法原理得an＝an－1＋an－2，易知a1＝1，a2＝2， 可得a3＝3，a4＝5，a5＝8，a6＝13，a7＝21，a8＝34，a9＝55，a10＝89. 所以小明不同的上楼方法共有89种. 答案：89 重点2　递推数列在概率、统计中的应用 角度1　an＝p·＋q型 (多选)甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为Pn.则下列结论正确的是(　　) A.P1＝0 B.P3＝ C.3Pn＋2Pn－1＝3 D.P2 024＞ 解析：选AD.设An表示经过第n次传球后，球在甲手中， 设n次传球后球在甲手中的概率为Pn，n∈N*，则P1＝0，故A正确； An＋1＝An＋1＋AnAn＋1， 所以Pn＋1＝P(An＋1＋AnAn＋1)＝P(An＋1)＋P(AnAn＋1)＝P()P(An＋1｜)＋P(An)P(An＋1｜An)＝(1－Pn)×＋Pn×0＝(1－Pn)， 所以Pn＋1＝(1－Pn)，所以Pn＋1－＝－(Pn－)，又P1－＝－≠0， 所以{Pn－}是以－为首项，－为公比的等比数列， 所以Pn＝＋(－)×(－)n－1， 所以P3＝＋(－)×(－)2＝，故B错误； 3Pn＋2Pn－1＝3×＋2Pn－1＝1＋Pn－1＝＋×，故C错误； P2 024＝＋(－)×(－)2 023＞，故D正确. 角度2　＝an·f(n)型 一个书包中有标号为“1，1，2，2，3，3，…，n，n”的2n张卡片，一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回，如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为Pn，则P3＝　　　　　，P7＝　　　　　. 解析：2n张卡片选取3张卡片的选法共有种， 事件“手中这3张卡片中含有2张相同卡片”的选法共有n(2n－2)种，由古典概型的计算公式可得其概率为＝， 拿掉这对卡片后，还剩(n－1)对卡片，此时书包为空的概率为， 因而Pn＝，且P2＝1， 则P3＝P2＝， P7＝××××＝. 答案：　 角度3　＝p·an＋q·型 (多选)棋盘上标有第0，1，2，…，100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n站的概率为Pn，设P0＝1，则下列结论正确的有(　　) A.P1＝，P2＝，P3＝ B.数列{Pn－}(1≤n≤99)是公比为－的等比数列 C.2P100＜P99＜P98 D.P100＞ 解析：选ABD.对于A，根据题意，第0站P0＝1，硬币掷出正面到达第1站，所以P1＝， 从第0站硬币掷出反面，或从第1站硬币掷出正面，到达第2站，所以P2＝＋×＝， 从第1站硬币掷出反面，或从第2站硬币掷出正面，到达第3站，所以P3＝×＋×＝，故A正确； 对于B，从第(n－2)站，硬币掷出正面到达第(n－1)站，所以＝， 从第(n－2)站硬币掷出反面，或从第(n－1)站硬币掷出正面，到达第n站， 所以Pn＝＋， 即Pn－＝－－)， 而P1－P0＝－1＝－， 所以数列{Pn－}(1≤n≤99)是以－为首项，－为公比的等比数列， 所以Pn－＝＝，故B正确； 对于C，P99＝(P99－P98)＋(P98－P97)＋…＋(P2－P1)＋(P1－P0)＋P0＝＋＋…＋＋1＝， 而P99－P98＝， 所以P98＝， 而当棋子跳到第99站时，游戏停止， 故P100＝P98＝， 从而得到2P100＝， 故P99＜2P100＝P98，故C错误； 对于D，P100＝P98＝＞，故D正确. [规律方法]　概率之间的关系如果是数列的前后项之间的关系，即递推关系，就可以从概率问题自然地过渡到数列问题，再用数列的方法解决.已知数列的递推关系求通项公式的典型方法： (1)当出现an＝＋m时，构造等差数列； (2)当出现an＝x＋y时，构造等比数列； (3)当出现an＝＋f(n)时，用累加法求解； (4)当出现＝f(n)时，用累乘法求解. 对点练2.如图是飞行棋部分棋盘，飞机的初始位置为0号格，抛掷一枚质地均匀的骰子，若抛出的点数为1，2，飞机向前移一格；若抛出的点数为3，4，5，6，飞机向前移两格，直到飞机移到第(n－1)(n≥5且n∈N*)格(失败集中营)或第n格(胜利大本营)时，游戏结束.则飞机移到第3格的概率为　　　　，游戏胜利的概率为　　　　　. 0 1 2 3 4 5 … n－1 n 解析：记飞机移动到第i格的概率为Pi(1≤i≤n－1，i∈N*)， 则P1＝，P2＝＋P1＝， P3＝P1＋P2＝， ＝Pi＋， 即＋Pi＝Pi＋， 所以数列是常数列， 所以Pi＋＝P2＋P1＝1， 即Pi－＝－， 又P1－＝－， 所以数列是以－为首项，－为公比的等比数列， 所以Pi－＝－＝， 所以Pi＝＋， 因为第n格只能由第(n－2)格跳到，Pn－2＝＋， 所以游戏胜利的概率P＝＝＋，n≥5且n∈N*. 答案：　＋，n≥5且n∈N* 学科网（北京）股份有限公司 $