6 专题4 微点突破11 立体几何中的动态问题（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

微点突破11　立体几何中的动态问题　▶ 对应学生用书P70 【考情分析】　高考立体几何中的动态问题包含动点的轨迹、最值与范围、折叠与展开问题等，解决的方法主要有几何法与函数法，难度中等偏上，命题形式可能为解答题，也可能为客观题. 重点1　动点的轨迹问题 (多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为平面ABCD内一动点，则下列命题正确的是(　　 ) A.若点N到点M的距离为2，则点N的轨迹所围成图形的面积为3π B.若直线MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为椭圆 C.若直线MN与直线BC所成的角为，则点N的轨迹为双曲线 D.若点N到直线CC1的距离与点N到直线AD的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 解析：选ACD.作NG∥BC交DC于G，连接MG，DN， 由题意DD1⊥平面ABCD，DD1⊥DN，△MDN为直角三角形，MD＝1， 若点N到点M的距离为2，则DN＝＝， 点N在平面ABCD的轨迹是半径为的圆， 轨迹所围成图形的面积为π×()2＝3π，所以A正确； 若直线MN与平面ABCD所成的角为，则∠DNM＝，DN＝＝， 点N在平面ABCD的轨迹是半径为的圆，所以B错误； 建立如图所示的空间直角坐标系，D(0，0，0)，M(0，0，1)， 设N(x，y，0)，作NG⊥DC，连接MG， 则∠MNG＝，MN＝，＝，＝，整理得－y2＝1，所以C正确； 再作NH⊥AD，连接NC， 由题意可知点N到直线CC1的距离为线段NC的长，点N到直线AD的距离为线段HN， NC＝HN，所以点N的轨迹为抛物线，所以D正确. [规律方法]　解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法 (1)几何法：根据平面的性质进行判定. (2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算. (3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除. 对点练1.(多选)在如图所示的棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1所在的平面上运动，则下列命题中正确的(　　 ) A.若点P总满足PA⊥BD，则动点P的轨迹是一条直线 B.若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆 C.若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆 D.若点P到平面BAA1B1与到直线CD的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线 解析：选ABD.对于A：因为CC1⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，可得CC1⊥BD， 因为AC⊥BD，AC∩CC1＝C，所以BD⊥面ACC1A1， 因为点P总满足PA⊥BD，所以PA⊂面ACC1A1，点P∈面ACC1A1， 因为P∈面BCC1B1，所以点P在面ACC1A1与面BCC1B1的交线上， 所以动点P的轨迹是一条直线CC1，故选项A正确； 对于B：点P的轨迹是以A为球心，半径为的球面与平面BCC1B1的交线，即点P的轨迹是小圆，设小圆的半径为r ，因为球心A到平面BCC1B1的距离为AB＝1，所以r＝＝1，交线即以B为圆心，1为半径的小圆(在平面BCC1B1内)，所以小圆的周长为2πr＝2π，故选项B正确； 对于C：点P到直线AB的距离即是点P到点B的距离，即平面BCC1B1内点P满足PB＋PC＝1＝BC，所以满足条件的点P的轨迹是线段BC，而不是椭圆，故选项C不正确； 对于D：点P到平面BAA1B1与到直线CD的距离相等，则动点P的轨迹是以线段BC的中点为顶点，直线BC为对称轴的抛物线(在平面BCC1B1内)，故选项D正确. 重点2　折叠展开问题 (多选)(2025·山西晋中三模)如图(1)，在长方形ABCD 中，AB＝2，BC＝，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE，分别交BD于点M，N，将△CBD沿直线BD折起到△PBD的位置，如图(2)，则下列说法正确的是(　　 ) A.在翻折的过程中，恒有BD⊥平面PEN B.若G为直线PN上一点，则点G到直线AM的最短距离为 C.当二面角P-BD-A的大小为时，PA＝ D.当平面PBD⊥平面ABD时，三棱锥P-ABD外接球的表面积为6π 解析：选ABD.在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝，E，F分别为AB，CD的中点，计算可得BD＝，AF＝，易知△DMF∽△BMA， 又＝，所以＝，则DM＝，AM＝， 所以AM2＋DM2＝AD2，所以AF⊥BD，同理可得BD⊥EC. 对于A，由上述过程可知在翻折的过程中，BD⊥PN，BD⊥EN， 因为PN∩EN＝N，PN，EN⊂平面PEN，所以BD⊥平面PEN，故A正确； 对于B，与A同理可得BD⊥平面AMF，因为AM⊂平面AMF，所以AM⊥BD， 由BD⊥平面PEN，PN⊂平面PEN，可得BD⊥PN， 所以MN为AM，PN的公垂线段，所以点G到直线AM的最短距离为MN，而MN＝BD＝，故B正确； 对于C，因为＝＋＋，二面角P-BD-A的大小为，则〈，〉＝， 所以＝(＋＋)2＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝()2＋()2＋()2＋0＋2×××(－)＋0＝2，所以PA＝，故C错误； 对于D，因为△PBD和△ABD都是直角三角形，且BD为公共边， 所以BD的中点为其所在三角形的外心，同时也是三棱锥P-ABD外接球的球心， 所以外接球半径R＝BD＝， 所以三棱锥P-ABD外接球的表面积S＝4πR2＝6π，故D正确. [规律方法]　画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系. 对点练2.(多选)在菱形ABCD中，AB＝1，∠ABC＝120°，将△ABD沿对角线BD折起，使点A至点P(P在平面ABCD外)的位置，则(　　 ) A.在折叠过程中，总有BD⊥PC B.存在点P，使得PC＝2 C.当PC＝1时，三棱锥P-BCD的外接球的表面积为 D.当三棱锥P-BCD的体积最大时，PC＝ 解析：选AC.如图所示，取PC的中点E，连接BE，DE，则BE⊥PC，DE⊥PC， 因为BE∩DE＝E，BD，DE⊂平面BDE，所以PC⊥平面BDE，又BD⊂平面BDE， 所以BD⊥PC，A项正确； 在菱形ABCD中，AB＝1，∠ABC＝120°， 所以AC＝， 当△ABD沿对角线BD折起时，0＜PC＜，所以不存在点P，使得PC＝2，B项错误； 当PC＝1时，将正四面体补成正方体，根据正方体的性质可知， 三棱锥P-BCD的外接球就是该正方体的外接球， 因为正方体的各面的对角线长为1，所以正方体的棱长为， 设外接球的半径为R，则4R2＝12＋()2＝， 所以三棱锥P-BCD的外接球的表面积S球＝4πR2＝，C项正确； 当三棱锥P-BCD的体积最大时，平面PBD⊥平面BCD， 取BD的中点O，连接PO，OC， 易知PO⊥平面BCD，则PO⊥OC， 又PO＝OC＝AC＝，所以PC＝＝，D项错误. 重点3　最值、范围问题 (多选)(2025·江苏盐城三模)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是BD1，A1B1的中点，G是AD的四等分点(靠近A点)，下列结论正确的是(　　 ) A.当点P在线段AA1上运动时，点P到平面EGD1的距离的最小值为 B.若P在底面ABCD内(包含边界)运动，且满足DP＝1，则动点P的轨迹的长度为π C.若正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切，则两球半径之和为 D.当点P在底面ABCD内(包含边界)运动，且满足PF∥平面B1CD1时，PF长度的最小值是 解析：选AC.以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则有D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，E(，，)，F(1，，1)，G(，0，0)， 对于A：＝(－，，)，＝(，，－)，设平面D1EG的法向量为n＝(x，y，z)， 则令y＝－1得n＝(4，－1，3)， 设点P(1，0，a)(0≤a≤1)，所以＝(－1，0，1－a)， 所以点P到平面EGD1的距离为d＝＝＝≥，故A正确； 对于B：设点P(x，y，0)(0≤x≤1，0≤y≤1)，则＝(x，y，0)，所以｜｜＝＝1⇒x2＋y2＝1，即点P的轨迹为四分之一圆，即轨迹长度为×2π×1＝，故B错误； 对于C：设两球的半径分别为r1，r2，由题意有两球分别与正方体的三面相切， 所以球心分别为(r1，r1，r1)，(1－r2，1－r2，1－r2)，由两球相切， 所以r1＋r2＝＝，所以(r1＋r2)2＝3[(r1＋r2)－1]2⇒2(r1＋r2)2－6(r1＋r2)＋3＝0，因为r1＋r2＜2，解得r1＋r2＝，故C正确； 对于D：设点P(x，y，0)(0≤x≤1，0≤y≤1)，所以＝(1－x，－y，1). 设平面B1CD1的法向量为m＝(a，b，c)，＝(1，0，1)，＝(1，1，0)， 所以令a＝1，得m＝(1，－1，－1)， 由PF∥平面B1CD1，有m·＝1－x－(－y)－1＝0⇒x＝y－， 所以｜｜＝＝＝， 当x＝时，PF的长度最小为，故D错误. [反思感悟]　在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题时常用的解题思路. (1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值. (2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值. 对点练3.(多选)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半径为5，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，且AB＝6，则(　　 ) A.直三棱柱ABC-A1B1C1的体积的最大值是24 B.直三棱柱ABC-A1B1C1的体积的最大值是72 C.直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积的最大值是48＋48 D.直三棱柱ABC-A1B1C1的表面积的最大值是48＋66 解析：选BCD.由题意可得直三棱柱ABC-A1B1C1的高为2＝8， 设AC＝a，BC＝b，则a2＋b2＝36，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积V＝ab×8＝4ab， 因为36＝a2＋b2≥2ab，所以ab≤18， 当且仅当a＝b时，等号成立，则V＝4ab≤72，故A错误，B正确. 直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积S1＝(a＋b＋6)×8＝8(a＋b)＋48， 因为36＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab， 所以(a＋b)2－36＝2ab≤2×()2＝(a＋b)2，解得a＋b≤6， 则S1＝8(a＋b)＋48≤48＋48，当且仅当a＝b时，等号成立，故C正确. 直三棱柱ABC-A1B1C1的上、下底面的面积之和S2＝ab≤18， 当且仅当a＝b时，等号成立， 则直三棱柱ABC-A1B1C1的表面积S＝S1＋S2≤48＋66， 当且仅当a＝b时，等号成立，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $