4 专题4 微点突破9 球的切接问题（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

微点突破9　球的切接问题　▶ 对应学生用书P65 【考情分析】　空间几何体的外接球、内切球、截面问题是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置. 重点1　几何体的外接球 角度1　墙角模型 适用类型：一条侧棱垂直于底面，且底面为直角三角形或矩形的棱锥. 解题方法：通常构造长方体，外接球直径等于长方体的体对角线长(设长方体的同一顶点的三条棱长分别为x，y，z，其外接球的半径为R，则2R＝⇒R＝). 对于类型V：三组对棱长度分别相等的三棱锥，虽不符合墙角模型，但也可以将三棱锥放入长方体中，设三棱锥三组对棱长度分别为a，b，c，长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为x，y，z，其外接球的半径为R，则⇒R＝＝. (2025·甘肃白银三模)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，PA＝3，AB＝1，AC＝2，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥A-DEF的外接球的表面积为(　　 ) A. B. C. D.3π 解析：选B.设棱AB，AC，PA的中点分别为H，M，G，连接HF，MF，DG，EG，DH，EM，构造长方体DGEN-HAMF， 则长方体DGEN-HAMF外接球的表面积即为三棱锥A-DEF外接球的表面积.依题意，HD＝，HF＝1，HA＝，设长方体DGEN-HAMF外接球的半径为R，则(2R)2＝()2＋12＋()2＝＝， 所以其外接球的表面积S＝4πR2＝. 角度2　汉堡模型 适用类型：圆柱、直棱柱、有一条侧棱垂直于底面的棱锥(特例，可补形成直棱柱). 解题方法：通常先作出过底面外接圆圆心(圆柱是底面圆圆心)且垂直于底面的垂线，与高等长的垂线段的中点位置即为球心的位置，设圆柱底面圆或直棱柱底面外接圆的半径为r，圆柱或直棱柱的高为h，再利用解直角三角形可知外接球的半径R＝. (2025·吉林延边一模)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝，AA1＝2，且∠BAC＝，则该三棱柱的外接球的体积为(　　 ) A. B.4π C.π D. 解析：选D.设△ABC外接圆半径为r，圆心为O1，设外接球球心为O，半径为R，因为BC＝，∠BAC＝，在△ABC中，由正弦定理得＝＝2＝2r⇒r＝1，则O1A＝r＝1，则有OO1＝AA1＝，所以R2＝r2＋O＝1＋3＝4⇒R＝2，所以球的体积为V＝πR3＝π×23＝. 角度3　锥体模型 适用类型：圆锥、棱锥. 解题方法：(1)对于圆锥和顶点在底面的射影是底面外接圆圆心的棱锥，先作出过底面外接圆圆心(圆锥是底面圆圆心)且垂直于底面的垂线，设圆锥底面圆或棱锥底面外接圆的半径为r，圆锥或棱锥的高为h，再利用解直角三角形可知外接球的半径R＝(圆锥或棱锥在半球内时，此公式也适用). (2)对于有一个侧面垂直于底面的棱锥，如类型Ⅲ中平面ABC⊥平面BCD，过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，设三棱锥的高为h，外接球的半径为R，球心为O，O1到BC的距离为d，O与O1的距离为m，则从而解得R. (2025·四川雅安二模)已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为(　　 ) A.9π B.π C.π D.π 解析：选B.如图，作正四棱锥P-ABCD，连接AC，BD，交于点O，连接PO， 则PO⊥平面ABCD，则OP＝1，OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝＞OP， 根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高PO的延长线上，设为E，连接EC， 则球的半径r＝EP＝EC，则OE＝r－1， 则在Rt△EOC内，由OC2＋EO2＝EC2可得2＋(r－1)2＝r2， 解得r＝，故正四棱锥外接球的体积为V＝πr3＝π·()3＝. 角度4　台体模型 适用类型：圆台、棱台. 解题方法：对于圆台的外接球，球心一定在上、下底面中心连线上；对于棱台的外接球，球心一定在上、下底面外接圆圆心连线上. 以圆台为例，设圆台上，下底面圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2高为h，圆台外接球球心为O，半径为R，设OO2＝x，利用x2＋＝(h－x)2＋(类型Ⅰ)或x2＋＝(h＋x)2＋(类型Ⅱ)，求出x，则R＝. (2025·河北沧州一模)在正四棱台A1B1C1D1-A2B2C2D2中，A1B1＝，A2B2＝3，A1A2＝6，则该正四棱台外接球的表面积为(　　 ) A.108π B.54π C.36π D. 27π 解析：选B.设正四棱台上底面A1B1C1D1的中心为O1，下底面A2B2C2D2的中心为O2，因为A1B1＝，A2B2＝3，所以O1A1＝1，O2A2＝3. 过A1作A1E⊥O2A2于E，易得A2E＝2， 设该正四棱台外接球的球心为O，则O在直线O1O2上，O1O2＝A1E＝＝4， 设OO1＝x，则OO2＝｜4－x｜， 设外接球的半径为R，则R2＝O＋O1＝O＋O2 ，即x2＋12＝(4－x)2＋32，解得x＝，则R2＝()2＋1＝，所以外接球的表面积为4πR2 ＝54π. [规律方法]　求解空间几何体的外接球问题的策略 (1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径. (2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的. (3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 对点练1.(1)(2025·山西吕梁一模)在正三棱锥中S-ABC，棱SA，SB，SC两两垂直，若△ABC的边AB＝2，则该正三棱锥外接球的表面积为(　　 ) A.5π B.60π C.20π D.30π 解析：选D.由题意知，正三棱锥S-ABC是正方体的一个角，补成正方体如图所示： 正方体的体对角线长是外接球的直径， 因为AB＝2，所以SA＝SB＝SC＝， 则外接球直径为2R＝× ，所以R＝， 所以外接球的表面积为4πR2＝30π. (2)(2025·广东广州一模)已知球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为(　　 ) A.π B.π C.π D.3π 解析：选B.作出示意图如图所示： 设球的半径为OA＝OB，由题意可得∠OAB＝，所以△OAB是等边三角形， 所以∠AOB＝，所以∠O1OB＝， 因为球O的表面积为4π，所以4π×OA2＝4π，解得OA＝1，所以OB＝AB＝1， 所以O1B＝OB＝，所以圆台的侧面积为π(1＋)×1＝. (3)(2025·河北保定一模)已知三棱锥A-BCD中，CD⊥平面ABD，AB＝AD＝2，BD＝6，CD＝2，则三棱锥A-BCD的外接球表面积为(　　 ) A.12π B.24π C.40π D.52π 解析：选D.在△ABD中，AB＝AD＝2，BD＝6， 所以cos B＝＝＝，所以sin B＝. 设△ABD外接圆半径为r，则＝2r⇒r＝2. 又CD⊥平面ABD，且CD＝2，设三棱锥A-BCD的外接球半径为R， 则R2＝r2＋()2＝13，所以三棱锥A-BCD的外接球表面积为4πR2＝4π×13＝52π. 重点2　几何体的内切球 解决几何体内切球问题的两大通法： (1)轴截面法：利用内切球的定义(球心到各面距离相等)直接找球心和半径.应先作出一个适当的截面，一般是多面体对角线所在的截面，再利用等面积或者相似三角形的性质求解. (2)等体积法：适用于常见的多面体，无需找球心，直接求半径.连接球心与多面体各顶点，将多面体分解成一些棱锥，求出各个棱锥的体积之和V，再求出多面体的表面积，根据球心到各个面的距离都为内切球半径R及各个棱锥的体积之和与多面体的体积相等求得内切球半径，即R＝. (1)(2025·天津河北二模)正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等)，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为(　　 ) A. B.2 C.3 D.4 解析：选C.若正八面体的棱长为2，令其外接球、内切球半径分别为R，r ，且R＝， 由各侧面的面积S＝×22×sin 60°＝，且构成八面体的两个正四棱锥的高为， 则正八面体的体积V＝8×·r·S＝2×××22，所以r＝， 所以外接球与内切球的表面积之比为R2∶r2＝2∶＝3∶1. (2)(2025·四川南充三模)如图是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若AD＝BD＝3，∠ABC＝120°，则该圆台的内切球的表面积为(　　 ) A.π B.2π C.4π D.8π 解析：选D.∠ABC＝120°＝，AB＝AD＋BD＝6， 故＝AB＝4π，＝BD＝2π，故圆台上底面半径r1＝＝1，下底面半径r2＝＝2， 如图，取圆台的轴截面，则圆台的高h＝＝2， 则该圆台的内切球的半径r＝＝，故内切球表面积S＝4πr2＝8π. [规律方法]　(1)解决内切球问题的轴截面法主要思想就是把立体几何问题转化为平面问题，在平面图形中求内切球的半径. (2)利用等体积法求内切球的半径时，分割几何体，不要漏掉或重复. 对点练2.(1)若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为S1，S2，侧面积为S，则(　　 ) A.S2＝S1S2 B.S＝S1＋S2 C.＝＋ D.S＝2 解析：选C.设小球半径为R，因为一个小球与一个四棱台的每个面都相切，所以四棱台的体积等于以球心为顶点，以四棱台的上、下底面和四个侧面为底面的六个四棱锥的体积之和，其高都是球的半径R，且棱台的高是2R， 则四棱台的体积为V＝RS1＋RS2＋RS＝(S1＋S2＋)·2R， 得S＝S1＋S2＋2＝(＋)2，即＝＋. (2)(2025·湖南岳阳一模)将一个底面半径为2，高为2的圆锥形石材打磨成一个球，则该球表面积的最大值为(　　 ) A. B. C. D. 解析：选A.由题意可得圆锥的母线长为＝4，所以圆锥的轴截面是等边三角形， 根据题意可得所求表面积最大的图的半径即为圆锥的轴截面等边三角形内切圆的半径，设其为r， 由等边三角形的性质可得tan 30°＝，所以r＝， 所以球的表面积为4πr2＝4π()2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $