2 专题3 第2讲 数列求和与综合问题（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

第2讲　数列求和与综合问题　　　▶ 对应学生用书P46 【考情分析】　1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法.　2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等.　3.主要以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等. (2024·新高考甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)因为4Sn＝3an＋4　①， 所以当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4　②， 则当n≥2时，①－②得4an＝3an－3an－1，即an＝－3an－1. 当n＝1时，由4Sn＝3an＋4得4a1＝3a1＋4，所以a1＝4≠0， 所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列， 所以an＝4×(－3)n－1. (2)因为bn＝(－1)n－1nan＝(－1)n－1n×4×＝4n·3n－1， 所以Tn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n－1　③， 所以3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n　④， ③－④得－2Tn＝4＋4(31＋32＋…＋3n－1)－4n·3n＝4＋4×－4n·3n＝－2＋(2－4n)·3n， 所以Tn＝1＋(2n－1)·3n. 考点1　数列求和 1.分组转化法求和 (1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，或cn＝且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列｛cn｝的前n项和. (2)若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和. 2.裂项相消法求和 裂项常见形式： (1)分母两项的差等于常数 ＝－)； ＝－). (2)分母两项的差与分子存在一定关系 ＝－； ＝［－］. (3)分母含无理式 ＝－. 3.错位相减法求和 如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法.用其求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式. 角度1　分组转化法求和 (2025·湖北黄冈二模)记Sn为数列的前n项和，已知a1＝1，a2＝2，当n≥2时，Sn+1＋2Sn-1＝3Sn. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足b1＝3，bk+1＝ak＋bk，求数列的前n项和Tn. 解：(1)由题意得，当n≥2时，有Sn+1－Sn＝2(Sn－Sn－1)，即an+1＝2an， 因为a2＝2a1，所以an+1＝2an，对任意n∈N*都成立， 故数列是首项为1，公比为2的等比数列，从而an＝2n－1. (2)由bk+1＝ak＋bk，可得bn－bn－1＝an－1， 则bn＝b1＋＋＋…＋＋＝b1＋a1＋a2＋…＋an－2＋an－1＝3＋20＋21＋…＋2n－3＋2n－2＝3＋＝2n－1＋2， 当n＝1时，b1＝3符合上式，故bn＝2n－1＋2. 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝(20＋2)＋(21＋2)＋…＋(2n－2＋2)＋＝＋2n＝＋2n＝2n＋2n－1. 角度2　裂项相消法求和 已知数列{an}是等差数列，其前n项和为An，a7＝15，A7＝63；数列{bn}的前n项和为Bn，2Bn＝3bn－3(k∈Z*). (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列{}的前n项和Sn. 解：(1)数列{an}是等差数列，设公差为d， 则 化简得解得a1＝3，d＝2， 所以an＝2n＋1，n∈N*. 由已知2Bn＝3bn－3， 当n＝1时，2B1＝3b1－3＝2b1，解得b1＝3， 当n≥2时，2Bn－1＝3bn－1－3， 所以2Bn－2Bn－1＝(3bn－3)－(3bn－1－3)＝3bn－3bn－1，n∈N*，即bn＝3bn－1， 所以数列{bn}构成首项为3，公比为3的等比数列， 所以bn＝3n，n∈N*. (2)由(1)可得An＝＝＝n(n＋2)，n∈N*， 所以＝＝－)， 所以Sn＝＋＋＋…＋＋＋＝(1－＋－＋－＋…＋－＋－＋－)＝(1＋－－)＝－＋)＝－. 角度3　错位相减法求和 (2025·安徽合肥二模)已知是等差数列，是等比数列，且a1＝b1＝3，a2＋a4＝2b2，a1a3＝b3. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和. 解：(1)设公差为d，公比为q，a2＋a4＝2b2， 故2a1＋4d＝2b1q，6＋4d＝6q，a1a3＝b3， 故3＝3q2，联立解得 故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3·3n－1＝3n. (2)＝＝，设数列的前n项和为Sn， 则Sn＝＋＋＋＋…＋　①， Sn＝＋＋＋＋…＋　②， 两式①－②得Sn＝1＋＋＋＋…＋－＝－＝－， 所以Sn＝－. [规律方法]　(1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差. (2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项. (3)用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确地写出“Sn－qSn”的表达式. 对点练1.已知各项均为正数的数列满足a1＝a2＝1，数列的前n项和为an·an+1.正项等比数列满足b1＝a3，b3＝a6. (1)求数列的通项公式； (2)若cn＝，证明：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜. 解：(1)由题意可得＝anan＋1－an－1an， 所以＝an， 因为an＞0，所以an＝an＋1－an－1， 即an＋1＝an＋an－1，所以a3＝a1＋a2＝2＝b1， a6＝a4＋a5＝a2＋a3＋a3＋a4＝a2＋a3＋a3＋a2＋a3＝2a2＋3a3＝8＝b3， 设等比数列的公比为q， 则q2＝＝＝4，q＝2，bn＝2n. (2)cn＝＝＝， 所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝［1＋＋＋(－)＋…－］＜. 考点2　数列的综合问题 数列与函数、不等式，以及数列新定义的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解. (1)如图，正方形ABCD的边长为a，取ABCD的各边中点E，F，G，H作第二个正方形EFGH，然后再取EFGH的各边中点，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，那么所有的正方形的面积之和趋近于(　　 ) A.a2 B.2a2 C.3a2 D.4a2 解析：选B.记第n个正方形的面积为Sn，第n个正方形的边长为an， 则第n个正方形的对角线长为an， 所以第n＋1个正方形的边长为an+1＝an，所以＝， 所以数列是首项为a1＝a，公比为的等比数列， 所以an＝a×，所以Sn＝＝a2×， 所以＝＝， 所以数列是首项为S1＝a2，公比为的等比数列， 所以S1＋S2＋…＋Sn＝＝2a2×， 所以若这个作图过程可以一直继续下去，则所有这些正方形的面积之和将趋近于常数2a2. (2)若A＝为一个有序实数组，其中ai∈(－1，0，1){i＝1，2，3，…，n}，f表示把A中每个－1都变为－1，0，每个0都变为－1，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：A＝，则f＝.定义Ak＋1＝f，k＝1，2，3，…，若A1＝，An中有bn项为1，则的前2 025项和为　　　　. 解析：因为A1＝，依题意得，A2＝，A3＝(－1，0，－1，1，－1，1，0，1)， 显然，A1中有2项，其中1项为－1，1项为1， A2中有4项，其中1项为－1，1项为1，2项为0， A3中有8项，其中3项为－1，3项为1，2项为0， 由此可得An中共有2n项，其中1和－1的项数相同都为bn， 设An中有cn项为0，所以2bn＋cn＝2n，b1＝1， 从而2bn－1＋cn－1＝2n－1　①， 因为f表示把A中每个－1都变为－1，0，每个0都变为－1，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，则bn＝bn－1＋cn－1　②， ①＋②得bn＋bn-1＝2n－1　③， 所以bn+1＋bn＝2n　④， 所以的前2 025项和为b1＋＋＋…＋＝1＋22＋24＋26＋…＋22 024＝1＋＝. 答案： [规律方法]　数列的“新定义问题”，主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，关键是将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系，主要考查的还是数列的基础知识. 对点练2.(1)如果数列对任意的n∈N*，都有an+2＋an＞2an+1成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项an∈Z，a1＝1，a2＝3，ak＝2 025，则正整数k的最大值为(　　 ) A.62 B.63 C.64 D.65 解析：选B.由题干条件an+2＋an＞2an+1，即an+2－an+1＞an+1－an， 也即数列的相邻两项之差严格递增，要使得正整数k最大，则数列增长尽可能缓慢， 需要让相邻两项差值尽可能小，即相邻两项差值构成公差为1的等差数列， 因为a2－a1＝3－1＝2，则a3－a2＝3＞a2－a1＝2，a4－a3＝4＞a3－a2＝3，…，所以an+1－an＝n＋1， 采用累加法an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝， 令ak＝＝2 025，即k2＋k－4 050＝0，解得k＝≈63.14， 当k＝63时，a63＝＝2 016＜2 025，符合题意； 当k＝64时，a64＝＝2 080＞2 025，无法构造“速增数列”满足题意. (2)如图，某数阵满足：各项均为正数，每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，a2，1＝2，a3，2＝12，a1，4·a3，1＝a3，4，则a7，8＝　　　　，＝　　　　. 　　a1，1　　a1，2　　a1，3　　…　　a1，n 　　a2，1　　a2，2　　a2，3　　…　　a2，n 　 　…　 　…　 　…　　…　　… 　　an，1　　an，2　　an，3　　…　　an，n 解析：设每一列等比数列的公比都为q，则a3，1＝a1，1·q2，a3，4＝a1，4·q2， 则由a1，4·a3，1＝a3，4，可得a1，4·a1，1·q2＝a1，4·q2，则a1，1＝1，则q＝＝2， 故ai，1＝2i－1，由a3，2＝12，则a1，2＝＝3，则ai，2＝3·2i－1， 故ai，2－ai，1＝3·2i－1－2i－1＝2i，即ai，j＝2i－1＋·2i＝·2i－1， 故a7，8＝·27－1＝15×64＝960； 则ai，j＝ai，1＋ai，2＋…＋ai，n＝＝n2·2i－1， 则＝＝n2·20＋n2·21＋…＋n2·2n－1＝＝n2·2n－n2. 答案：960　n2·2n－n2 学科网（北京）股份有限公司 $