1 专题3 第1讲 等差数列、等比数列（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

第1讲　等差数列、等比数列　　　▶ 对应学生用书P43 【考情分析】　等差数列、等比数列是高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式以及性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或综合解答题的形式考查，属于中档题目. 1.(2025·北京卷)已知是公差不为0的等差数列，a1＝－2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝(　　 ) A.－20 B.－18 C.16 D.18 解析：选C.设等差数列的公差为d， 因为a3，a4，a6成等比数列，且a1＝－2， 所以＝a3a6，即＝(－2＋2d)(－2＋5d)，解得d＝2或d＝0(舍去)， 所以a10＝a1＋9d＝－2＋9×2＝16. 2.(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列的前n项和.若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(　　) A.－20 B.－15 C.－10 D.－5 解析：选B.根据S3＝3a2＝6得a2＝2，根据S5＝5a3＝－5得a3＝－1，所以{an}的公差d＝a3－a2＝－3，所以a6＝a3＋3d＝－10，所以S6＝S5＋a6＝－5－10＝－15. 3.(多选)(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列的前n项和，q为的公比，q＞0，若S3＝7，a3＝1，则(　　 ) A.q＝ B.a5＝ C.S5＝8 D.an＋Sn＝8 解析：选AD.对于A，由题意得 结合q＞0，解得故A正确； 对于B，则a5＝a1q4＝4×＝，故B错误； 对于C，S5＝＝＝，故C错误； 对于D，an＝4×＝23－n，Sn＝＝8－2-n+3， 则an＋Sn＝23－n＋8－23－n＝8，故D正确. 4.(2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，则的前12项和为(　　) A.48 B.112 C.80 D.144 解析：选C.当n＝1时，a1＝S1＝－12＋8×1＝7，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋8n－＝－2n＋9，显然a1＝7也符合该式，所以an＝－2n＋9，所以｜an｜＝所以{｜an｜}的前12项和为＋＝80. 考点1　等差数列、等比数列的基本运算 等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) (1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d. (2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1，an＝am. (3)等差数列的求和公式：Sn＝＝na1＋d. (4)等比数列的求和公式：Sn＝ (1)(2024·山东泰安三模)已知Sn为等差数列的前n项和，a1＝－21，S7＝S15，则Sn的最小值为(　　 ) A.－99 B.－100 C.－110 D.－121 解析：选D.设的公差为d，因为a1＝－21，S7＝S15， 可得解得d＝2，所以an＝2n－23， 可得Sn＝－21n＋×2＝n2－22n， 所以当n＝11时，Sn取得最小值S11＝112－22×11＝－121. (2)(多选)(2025·陕西宝鸡三模)已知数列是公比为q的等比数列，其前n项和为Sn，a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则(　　 ) A.q＝2 B.a1＝ C.Sn＝ D.a1＋a2＋a3＋a2＋a3＋a4＋a3＋a4＋a5＋…＋a10＋a11＋a12＝1 023 解析：选ABD.根据题意，a1＋a2＋a3＝1，q＝2，两式相除得q＝2，A正确； 又a1＋a1q＋a1q2＝1，即a1＋2a1＋4a1＝1，可得a1＝，B正确； Sn＝＝，C错误； 根据选项A，可知a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…为首项为1，公比为2的等比数列， 所以a1＋a2＋a3＋a2＋a3＋a4＋a3＋a4＋a5＋…＋a10＋a11＋a12＝(a1＋a2＋a3)＋(a2＋a3＋a4)＋＋…＋(a10＋a11＋a12)＝1＋2＋22＋…＋29＝＝1 023，D正确. [规律方法]　等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a1，公差d或公比q. (2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝pqn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列. (3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算. 对点练1.(1)(2025·山东聊城二模)各项均为正数的等比数列的前5项和为，且3a3＋4a1＝a5，则a3＝(　　 ) A.2 B.4 C.8 D.16 解析：选A.设等比数列的首项为a1，公比为r(r＞0)，根据题意3a1r2＋4a1＝a1r4，即r4－3r2－4＝0，解得r＝2(r2＝－1舍)， 而S5＝a1＝，故a1＝，所以a3＝a1r2＝·22＝·4＝2. (2)(多选)(2025·湖南长沙一模)已知在首项为1，公差为d的等差数列中，a1，a2，a6是等比数列的前三项，数列的前n项和为Sn，则(　　 ) A.d＝3 B.Sn＝ C.是公差为3的等差数列 D.bn＝4n－1 解析：选ABD.因为a1a6＝，即a1＝，又a1＝1，所以1＝，整理得d2－3d＝0，又因为d≠0，解得d＝3，故A正确； 由d＝3得an＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以Sn＝，故B正确； 所以＝，所以是首项为1，公差为的等差数列，故C错误； b1＝a1＝1，b2＝a2＝4，＝4，即的公比为4，故bn＝4n－1，故D正确. 考点2　等差数列、等比数列的性质 1.通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；对于等比数列，有aman＝apaq＝. 2.前n项和的性质： (1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－，…成等比数列(q＝－1且m为偶数时除外). (2)对于等差数列有S2n－1＝(2n－1)an. (1)(2025·山东烟台一模)已知等比数列的前n项和为Sn，a2＋a3＝6，a1a4＝8，则S4＝(　　 ) A.－15 B.－5 C.5 D.15 解析：选D.由等比数列性质可知，a2·a3＝a1a4＝8， 又a2＋a3＝6，解得或 当时，q＝＝2，所以a1＝1，故S4＝＝15， 当时，q＝＝，所以a1＝8， 故S4＝＝15， 综上，S4＝15. (2)(多选)(2025·福建龙岩二模)已知数列的前n项和为Sn，则(　　 ) A.若是等差数列，则S2，S4－S2，S6－S4成等差数列 B.若是等比数列，则S2，S4－S2，S6－S4成等比数列 C.若＝1，且a1＝1，则存在数列，使得S102＝1 D.若＝1，且a1＝1，则存在k∈N*，使得S4k＋1＝100 解析：选AC.对于选项A，是等差数列，设其公差为d，因为S2＝a1＋a2，S4－S2＝a3＋a4＝a1＋a2＋4d，S6－S4＝a5＋a6＝a1＋a2＋8d，则2＝S2＋，所以S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，故A正确； 对于选项B，例如an＝，则S2＝a1＋a2＝－1＋1＝0，可得S2，S4－S2，S6－S4不成等比数列，故B错误； 对于选项C：例如周期数列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…，满足＝1，且a1＝1，此时S102＝25×＋1＋0＝1，故C正确； 对于选项D，因为＝1，且a1＝1，所以该数列的项奇偶交替，且为整数，而前4k＋1项包含2k＋1个奇数，2k个偶数，这些项的和为奇数，而S4k＋1＝100为偶数，矛盾，故D错误. [规律方法]　等差数列、等比数列的性质问题的求解策略 (1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解. (2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题. 对点练2.(1)(2025·四川雅安二模)记Sn为等差数列的前n项和，若a3＋a7＝10，a5a9＝65，则＝(　　 ) A.14－n B.n－2 C.12－n D.n－4 解析：选D.已知是等差数列，根据等差数列的性质可得a3＋a7＝a5＋a5＝2a5＝10，则a5＝5. 又因为a5a9＝65，所以5a9＝65，解得a9＝13. 设等差数列的公差为d，根据等差数列通项公式an＝a1＋(n－1)d，可得解得d＝2，a1＝－3， 根据等差数列的前n项和公式可得Sn＝n×(－3)＋×2＝－3n＋n(n－1)＝n2－4n. 将Sn＝n2－4n代入，可得＝＝n－4. (2)(2025·江西赣州二模)设等比数列的前n项和为Sn，若S20＝21，S30＝49，则S10＝(　　 ) A.－7 B.7 C.63 D.7或63 解析：选B.由等比数列片段和的性质知，S10，S20－S10，S30－S20成等比数列， 所以＝S10(S30－S20)，则＝S10(49－21)， 所以－70S10＋441＝(S10－7)(S10－63)＝0，则S10＝7或S10＝63， 等比数列的公比为q， 若S10＝63时，则S20－S10＝S10q10⇒－42＝63·q10，而q10＞0，显然等式不成立； 若S10＝7时，则S20－S10＝S10q10⇒14＝7·q10⇒q10＝2＞0，满足题设； 所以S10＝7. 考点3　等差数列、等比数列的证明 1.等差数列、等比数列的判定方法： 等差数列 等比数列 定义法 an＋1－an＝d ＝q(q≠0) 通项法 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 中项法 2an＝an－1＋an＋1(n≥2) ＝an－1an＋1(n≥2，an≠0) 前n项 和法 Sn＝an2＋bn(a，b为常数) Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0，1) 2.证明数列为等差(比)数列一般使用定义法. (2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝x2－4，设曲线y＝f(x)在点(xn，f)处的切线与x轴的交点为(xn＋1，0)(n∈N*)，且x1＞0. (1)用xn表示xn＋1； (2)若x1＝3，记an＝ln，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式. 解：(1)因为f(x)＝x2－4，所以f'(x)＝2x， 则曲线y＝f(x)在点处的切线方程为y－(－4)＝2xn(x－xn)， 将点代入方程，得4＋＝2xnxn＋1， 因为x1为正实数，所以xn为正实数，xn＋1＝＋. (2)因为xn＋1＝＋， 所以xn＋1＋2＝＋＋2＝， xn＋1－2＝＋－2＝，由题意得an＝ln， 则an＋1＝ln＝ln＝2ln＝2an， 而x1＝3，则＝2， 故为公比为2的等比数列，且a1＝ln＝ln 5， 得到an＝2n－1ln 5，故ln＝2n－1ln 5， 两边取指数得到＝，解得xn＝. [反思感悟]　(1)＝an－1an＋1(n≥2)是{an}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0. (2)｛an｝为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明｛an｝为等比数列. (3)证明｛an｝不是等比数列可用特值法. 对点练3.已知数列的前n项和为Sn，且Sn＝3n2＋2n＋1. (1)求a1； (2)求的通项公式，并证明{an＋1－2n+1}为等差数列. 解：(1)令n＝1可得S1＝a1＝3＋22＝7，即a1＝7. (2)由Sn＝3n2＋2n+1，可得Sn－1＝3(n－1)2＋2n，n≥2， 两式相减可得an＝6n－3＋2n，n≥2， 当n＝1时，不满足， 所以的通项公式为an＝ 令cn＝an＋1－2n＋1，n∈N＋，所以n＋1≥2， 由的通项公式可得cn＝an＋1－2n+1＝6(n＋1)－3＋2n+1－2n+1＝6n＋3， 由通项公式可知cn+1－cn＝6(n＋1)＋3－6n－3＝6， 所以为等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $