5 专题2 微点突破5 三角形中的特征线（Word教参）-【正禾一本通】2026年高考数学二轮专题复习高效讲义

微点突破5　三角形中的特征线　▶ 对应学生用书P35 【考情分析】　与三角形的特征线(中线、角平分线、高线)有关的解三角形问题是高考的热点，命题形式灵活新颖，实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形，难度中档或偏下. 重点1　三角形的中线 1.中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 2.中线的向量表示：＝＋＋2·｜｜·｜｜·cos∠BAC). (2025·广西桂林一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝(a＋c)2－ac. (1)求B； (2)若b＝3，求△ABC的周长的最大值； (3)若△ABC的面积为，D为AC的中点，且＝2，求BD的长. 解：(1)∵b2＝(a＋c)2－ac，∴b2＝a2＋c2＋ac， 又据余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，∴cos B＝－， ∵B∈，∴B＝. (2)由b＝3及已知得9＝(a＋c)2－ac， 又∵ac≤，∴(a＋c)2－9＝ac≤， ∴a＋c≤2，当且仅当a＝c＝时，等号成立， 故△ABC的周长最大值为3＋2. (3)S△ABC＝acsin B＝ac＝⇒ac＝4，则c＝， 由b2＝a2＋c2－2accos B，得12＝a2＋c2＋4，则a2＋c2＝8， 故a2＋＝8，化简得a4－8a2＋16＝＝0，解得a＝2， ∴a＝c＝2，又D为AC的中点，∴BD⊥AC， 又＝， ∴由勾股定理得＝＝＝1. [规律方法]　解决三角形中线问题的常用方法 (1)利用角互补及余弦定理求解； (2)利用中线长定理求解，但要书写其证明过程； (3)利用向量法求解. 对点练1.(2025·河北秦皇岛一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin C＝sin＋1. (1)求B； (2)若△ABC的面积为，b＝2，求AC边上的中线长. 解：(1)已知sin C＝sin(B＋)＋1. 根据诱导公式，可得sin(B＋)＝cos B，则原式变为sin C＝cos B＋1. 由正弦定理可得b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， 代入上式可得×sin C＝cos B＋1，化简得sin B＝cos B＋1. 将等式变形为sin B－cos B＝1，根据辅助角公式可得2(·sin B－cos B)＝1， 即2sin(B－)＝1，所以sin(B－)＝. 因为0＜B＜π，所以－＜B－＜，则B－＝，解得B＝. (2)已知△ABC的面积为，B＝， 根据三角形面积公式S△ABC＝acsin B，可得acsin＝， 即ac×＝，解得ac＝2. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，已知b＝2，B＝， 可得22＝a2＋c2－2×2×cos， 即4＝a2＋c2－2，解得a2＋c2＝6. 设AC中点为D，则＝＋)，两边平方可得＝＋＋2·)， 可得＝(c2＋a2＋2accos B)＝(6＋2×2×cos)＝(6＋2)＝2， 所以｜｜＝，即AC边上的中线长为. 重点2　三角形的高线 1.h1，h2，h3分别为△ABC边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. 2.求高一般采用等面积法，即求某底边上的高，需要求出面积和底边长度. 3.高线的两个作用：①产生直角三角形；②与三角形的面积相关. (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高. 解：(1)∵A＋B＝3C， ∴π－C＝3C，即C＝， 又2sin(A－C)＝sin B＝sin(A＋C)， ∴2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， ∴sin Acos C＝3cos Asin C， ∴sin A＝3cos A， 即tan A＝3，所以0＜A＜， ∴sin A＝＝. (2)由(1)知，cos A＝＝， 由sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＋)＝， 由正弦定理＝，可得b＝＝2， ∴AB·h＝AB·AC·sin A， ∴h＝b·sin A＝2×＝6. [规律方法]　解决三角形的高线问题往往利用正、余弦定理求得三角形的某些边和角来表示三角形的面积，然后解S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝×边长×h，求高h. 对点练2.(2025·河南周口二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝2sin. (1)求B； (2)若b＝2，过点B作BD⊥AC，D为垂足，求BD的最大值. 解：(1)由＝2sin及正弦定理，得＝cos C＋sin C， 所以sin A＝sin Bcos C＋sin Bsin C，又sin A＝sin， 则sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bcos C＋sin Bsin C， 化简可得cos Bsin C＝sin Bsin C，又C∈，sin C≠0， 所以cos B＝sin B，所以tan B＝，又B∈，所以B＝. (2)设BD＝h，由三角形的面积公式可得S△ABC＝bh＝acsin B，解得h＝ac， 又b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，当且仅当a＝c时，等号成立， 又b＝2，所以ac≤4，当且仅当a＝c＝2时，等号成立， 故h＝ac≤×4＝，即BD的最大值为. 重点3　三角形的角平分线 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. 1.内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则＝. 2.角平分线长公式：AD＝. (2025·吉林长春二模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且c＝b－acos C，角A的平分线交BC于D，且BD＝2DC. (1)求角A； (2)若AC＝3，求AD的长. 解：(1)由c＝b－acos C和正弦定理，可得sin C＝sin B－sin A·cos C， 因sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C， 则sin C＝sin A·cos C＋sin C·cos A－sin A·cos C，即·sin C＝sin C·cos A， 因为sin C≠0，则得cos A＝，因为0＜A＜π，则A＝. (2)如图，因为AD是∠CAB的平分线，则＝＝2，解得AB＝6， 又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，则·AB·AC·sin＝·AB·AD·sin＋·AC·AD·sin， 即6×3×＝6·AD·＋3·AD·，解得AD＝2. [反思感悟]　解决与三角形的角平分线有关问题的方法 (1)利用角平分线定理、找边之间的关系； (2)角平分线把三角形分成两个小三角形，故可利用此两个小三角形的面积和为大三角形的面积求解. 对点练3.(2025·贵州六盘水一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a－c＝2bcos C. (1)求角B的大小； (2)若bsin A＝，点D是边AC上的一点，BD平分∠ABC，且BD＝2，求△ABC的面积. 解：(1)由余弦定理得2a－c＝2b·， 整理可得a2＋c2－b2＝ac， ∴cos B＝＝， 又B∈，∴B＝. (2)在△ABC中，由正弦定理＝得asin B＝bsin A＝，∴a＝＝2， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝，又BD＝a＝2，∴∠BDC＝∠C＝， ∴A＝π－＝，∴b＝＝＝， ∴S△ABC＝absin C＝×2×sin＝×(×＋×)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $